高中数学必修2教案：第四章 4_2_1直线与圆的位置关系
4.2 直线、圆的位置关系
4．2.1 直线与圆的位置关系
[学习目标] 1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系．
[知识链接]
1．直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)，直线恒过定点(x0，y0)．
2．圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.(其中D2＋E2－4F>0)
3．点(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
[预习导引]
直线与圆的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到
直线的距离d＝
d
r
代数法：由
消元得到一元二次
方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形
要点一 直线与圆的位置关系的判断
例1 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点．
解 方法一 将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0，即－0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2，即－1，
所以点A在圆外．
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)．即kx－y－3－4k＝0，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
规律方法 1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程．
2．一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式．
跟踪演练2 求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．
解 由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5.
解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)
或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
要点三 圆的弦长问题
例3 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长．
解 方法一 由
得交点A(1,3)，B(2,0)，
∴弦AB的长为|AB|＝＝.
方法二 由
消去y得x2－3x＋2＝0.
设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.
∴|AB|＝
＝
＝＝
＝＝，
即弦AB的长为.
方法三 圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0,1)，半径r＝，
点(0,1)到直线l的距离为d＝＝，
所以半弦长为＝＝＝，所以弦长|AB|＝.
规律方法 求直线与圆相交时弦长的两种方法：
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2.
即|AB|＝2.
(2) 代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝ |y1－y2|，其中k为直线l的斜率．
跟踪演练3 直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．1 B．2 C．4 D．4
答案 C
解析 圆的方程可化为C：(x－1)2＋(y－2)2＝5，其圆心为C(1,2)，半径r＝.如图所示，取弦AB的中点P，连接CP，则CP⊥AB，
圆心C到直线AB的距离d＝|CP|＝＝1.在Rt△ACP中，|AP|＝＝2，故直线被圆截得的弦长|AB|＝4.
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
答案 D
解析 圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝0)相切，则m的值为( )
A．0或2 B．2 C. D．无解
答案 B
解析 由圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝2.
3．设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|等于( )
A．1 B. C. D．2
答案 D
解析 直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，
则|AB|＝2.
4．由点P(1,3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________．
答案 1
解析 点P到原点O的距离为|PO|＝，∵r＝3，
∴切线长为＝1.
5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
答案 2x－y＝0
解析 设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于 ＝0，即圆心(1,2)位于直线kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝|x1－x2|.
3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．
一、基础达标
1．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值为( )
A．－2 B．－4 C．－6 D．－8
答案 B
解析 由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，
圆心为(－1,1)，半径r＝.
圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝.
由r2＝d2＋()2得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
2．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为( )
A．2＋ B．2－
C. D．0
答案 A
解析 圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝，∴所求最大距离为2＋.
3．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切或相交
C．相交 D．相切
答案 C
解析 l过定点A(1,1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，
∴l与圆一定相交，故选C.
4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
答案 C
解析 因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得a＝±－1，因为a>0，所以a＝－1，故选C.
5．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于( )
A．－ B．1 C．2 D.
答案 C
解析 由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.
6．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．
答案
解析 圆心为(2，－1)，半径r＝2.
圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2 ＝.
7．求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离．
解 圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，
圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d2；
(2)若相切，则d＝r，即＝2，所以m＝±2；
(3)若相离，则d>r，即>2，
所以－20，∴C的方程表示圆心是(2a，－a)，半径是|a－2|的圆．
设圆心坐标为(x，y)，则有
消去a得y＝－x，
故圆心必在直线y＝－x上．
(3)解 由题意知|a－2|＝|a|，解得a＝.
