2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识4

2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识4

4.1 　一元二次函数 激趣诱思 知识点拨 现准备要围成一个矩形花圃 , 花圃的一边利用足够长的墙 , 另外三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成 , 围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD , 设 AB 边的边长为 x 米 , 问当 x 取何值时 , 矩形的面积最大 ? 同学们这道题目不陌生吧 , 在初中我们学过了一元二次函数 , 知道了其图象为抛物线 , 并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征 . 本节我们将进一步研究一元二次函数 y=ax 2 +bx+c ( a ≠0) 的图象的平移 , 函数值的变化趋势 , 最大值或最小值等性质 . 激趣诱思 知识点拨 一、 一元 二次函数的图象及其变换 1 . 通常把一元二次函数的图象叫作抛物线 . 2 . 一元二次函数 y=a ( x-h ) 2 +k 的图象可以由 y=ax 2 的图象经过向左 ( 或向右 ) 平移 |h| 个单位长度 , 再向上 ( 或向下 ) 平移 |k| 个单位长度而得到 . 名师点 析 一元 二次函数 y=a ( x-h ) 2 +k ( a ≠0), a 决定 了 一元 二次函数 图象的开口大小及方向 ; h 决定 了 一元 二次函数 图象的左右平移 , 而且 “ h 正右移 , h 负左移 ”; k 决定 了 一元 二次函数 图象的上下平移 , 而且 “ k 正上移 , k 负下移 ” . 简记为 “ 左加右减 , 上加下减 ” . 激趣诱思 知识点拨 微练习 将 一元 二次函数 y=- 2 x 2 的顶点移到 ( - 3,2) 后 , 得到的新函数的解析式为 　　　　　　　 . 解析 : 可设新函数的解析式为 y=a ( x-h ) 2 +k , 由平移规律知 h=- 3, k= 2, 因为形状与开口不变 , 故 a=- 2 . 所以新函数的解析式为 y=- 2( x+ 3) 2 + 2 . 答案 : y=- 2( x+ 3) 2 + 2 激趣诱思 知识点拨 二、一元二次函数的性质 一元 二次函数 y=a ( x-h ) 2 +k ( a ≠0) 的性质如下 : 向上 向 下 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 答案 : D 　 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 一元 二次函数 图象的平移变换 例 1 抛物线 y= 2( x- 1) 2 + 3 可以看作是由抛物线 y= 2 x 2 经过以下哪种变换得到的 ( 　　 ) A. 向左平移 1 个单位长度 , 再向上平移 3 个单位长度 B. 向右平移 1 个单位长度 , 再向上平移 3 个单位长度 C. 向左平移 1 个单位长度 , 再向下平移 3 个单位长度 D. 向右平移 1 个单位长度 , 再向下平移 3 个单位长度 答案 : B 　 解析 : ∵ 抛物线 y= 2( x- 1) 2 + 3 顶点坐标为 (1,3), 抛物线 y= 2 x 2 顶点坐标为 (0,0), ∴ 抛物线 y= 2( x- 1) 2 + 3 可以看作由抛物线 y= 2 x 2 向右平移 1 个单位长度 , 再向上平移 3 个单位长度得到的 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思 感悟 一元 二次函数 图象平移问题的解题策略 (1) 要注意平移的方向 , 即由哪个函数变换到另一个函数 ; (2) 将函数化为 y=a ( x-h ) 2 +k ( a ≠0) 的形式 ; (3) 判定 h 与 k 的正负 , 利用 “ 左加右减 , 上加下减 ” 的规则判定平移的方向和大小 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 一元 二次函数 的性质及应用 例 2 (1) 求函数 y=x 2 - 3 x- 7( x ∈ N ) 的最小值 . (2) 在区间 [2,3] 上 , 求函数 y=x 2 - 3 x- 7 的最大值与最小值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 求 一元 二次函数 在闭区间上的最值的方法 一看开口方向 ; 二看对称轴和区间的相对位置 , 简称 “ 两看法 ” . 只需作出二次函数相关的部分简图 , 利用数形结合法就可以得到问题的解 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 延伸探究 在 区间 [ - 1,3] 上 , 求函数 y=x 2 - 3 x- 7 的最大值与最小值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 一元 二次函数 的最 值 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 2 . 当自变量 x 的取值范围为闭区间 [ m , n ] 时 , 其最值在 m , n , - 三 者所对应的函数值中取得 , 最值情况如下 : 当 a> 0 时 , 抛物线开口向上 , ① 若 - ∈ [ m , n ]( 如下图 ① , ② ), 顶点取最小值 , 离对称轴较远点处取得最大值 . ② 若 - ∉ [ m , n ]( 如下图 ③ , ④ ), 函数在区间内单调 , 较远端点处取得最大值 , 较近端点处取得最小值 . 当 a< 0 时 , 仍是在顶点处或者端点处来取得最值 , 至于是最大值还是最小值 , 就受对称轴 x =- 与 区间 [ m , n ] 的相对位置的影响了 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 典例 当 x 为何值时 , 函数 y= ( x-a 1 ) 2 + ( x-a 2 ) 2 + … + ( x-a n ) 2 取最小值 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 1 . 将抛物线 y= ( x- 2) 2 + 1 向左平移 2 个单位长度 , 得到的新 抛物线 的 顶点 坐标是 ( 　　 ) A.(4,1) B . (0,1) C . (2,3) D . (2, - 1 ) 2 . 一元 二次函数 y=- x 2 + 2 x- 5, 当 x 取全体实数时 , 有 ( 　　 ) A. 最大值 - 5 B . 最小值 - 5 C. 最大值 - 4 D . 最小值 - 4 答案 : B 　 解析 : ∵ 二次函数解析式为 y= ( x- 2) 2 + 1, ∴ 顶点坐标 (2,1), 向左平移 2 个单位长度 , 得到的点是 (0,1) . 答案 : C 　 解析 : 配方 , 得 y=- ( x- 1) 2 - 4, 所以当 x=- 1 时 , y max =- 4 . 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 3 . 对于 一元 二次函数 y=- 4 x 2 + 8 x- 3, (1) 指出图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标 ; (2) 画出它的图象 , 并说明其图象由 y=- 4 x 2 的图象经过怎样平移得来 . 解 : (1) 函数 y=- 4 x 2 + 8 x- 3 =- 4( x- 1) 2 + 1 图象的开口向下 ; 对称轴方程为 x= 1; 顶点坐标为 (1,1); (2) 图象如图所示 , 其图象由 y=- 4 x 2 的图象向右平移 1 个单位长度得到 y=- 4( x- 1) 2 的图象 , 再将 y=- 4( x- 1) 2 的图象向上平移 1 个单位长度而得 .