2020年高中数学第二章随机变量及其分布2
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2.4 正态分布
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．正态曲线关于 y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．不确定
解析：均值即为其对称轴，∴μ＝0.
答案：C
2．如图是当 σ 取三个不同值 σ1、σ2、σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1、σ2、σ3 的大小
关系是( )
A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3
C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ3
解析：当 μ＝0，σ＝1 时，f(x)＝
1
2πe 在 x＝0 处取最大值
1
2π，故 σ2＝1.由正态
曲线的性质知，当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定，σ 越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮
胖”，故选 D.
答案：D
3．若随机变量 X 的正态分布密度函数为 f(x)＝
1
2πe ，X 在(－2，－1)和(1,2)内取值
的概率分别为 p1、p2，则 p1、p2 的关系为( )
A．p1>p2 B．p1
c)＝a，则 P(X>4－c)等于( )
A．a B．1－a
C．2a D．1－2a
解析：因为 X 服从正态分布 N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线 x＝2 对称，所以 P(X>4－c)＝
P(Xc)＝1－a.
答案：B
2
2
x−
2
2
x−
2
5．(2015 年高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0,32)，从
中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ，σ2)，则 P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－
2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
解析：P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6<ξ<6)＝95.44%，则 P(3<ξ<6)＝
1
2×(95.44%－68.26%)
＝13.59%.
答案：B
6．在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N(1，σ2)(σ＞0)．若 X 在(0,1)内取值的概
率为 0.4，则 X 在(0,2)内取值的概率为________．
解析：由题意得 μ＝1，
∴P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，
∴P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8.
答案：0.8
7．设随机变量 X～N(1,22)，则 Y＝3X－1 服从的总体分布可记为________．
解析：因为 X～N(1,22)，所以 μ＝1，σ＝2.
又 Y＝3X－1，所以 E(Y)＝3E(X)－1＝3μ－1＝2，
D(Y)＝9D(X)＝62.
∴Y～N(2,62)．
答案：Y～N(2,62)
8．如果 ξ～N(μ，σ2)，且 P(ξ>3)＝P(ξ<1)成立，则 μ＝________.
解析：因为 ξ～N(μ，σ2)，故正态曲线关于直线 x＝μ 对称，又 P(ξ<1)＝P(ξ>3)，从
而 μ＝
1＋3
2 ＝2，即 μ 的值为 2.
答案：2
9．已知 ξ～N(0，σ2)且 P(－2≤ξ≤0)＝0.4，求 P(ξ>2)．
解析：根据正态曲线的对称性，得 P(－2≤ξ≤2)＝2P(－2≤ξ≤0)＝0.8.
∴P(ξ>2)＝
1－0.8
2 ＝0.1.
10．某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布 N(70,102)，如果规定低于 60 分为
不及格，则成绩不及格的人数占多少？
解析：设学生的得分情况为随机变量 X，X～N(70,102)，
则 μ＝70，σ＝10.
3
∵P(60＜X≤80)＝P(70－10＜X≤70＋10)＝0.682 6.
∴P(X＜60)＝
1
2[1－P(60＜X≤80)]
＝
1
2×(1－0.682 6)＝0.158 7.
即不及格学生占 15.87%.
[B 组 能力提升]
1．设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0，σ2)，已知 P(ξ≤－1.96)＝0.025，则 P(|ξ|<1.96)
＝( )
A．0.025 B．0.050
C．0.950 D．0.975
解析：ξ～N(0，σ2)，则 P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故选
C.
答案：C
2．如果提出统计假设：某工厂制造的零件尺寸 X 服从正态分布 N(μ，σ2)，当随机抽取某
一个测量值 α 时，可以说明假设不成立的是下列中的 ( )
A．α∈(μ－3σ，μ＋3σ) B．α∉(μ－3σ，μ＋3σ)
C．α∈(μ－2σ，μ＋2σ) D．α∉(μ－2σ，μ＋2σ)
解析：由生产实际中的 3σ 原则可知：P(μ－3σ
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