2020版高中数学 第1章 解三角形 第3课时 三角形中的几何计算

2020版高中数学 第1章 解三角形 第3课时 三角形中的几何计算

第3课时　三角形中的几何计算 ‎1.掌握三角形的面积公式的应用.(重点)‎ ‎2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用.(难点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理　三角形面积公式 阅读教材P10探索与研究～P11，完成下列问题.‎ ‎1.三角形的面积公式 ‎(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；‎ ‎(2)S＝absin C＝bcsin_A＝casin_B；‎ ‎(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径).‎ ‎2.三角形中常用的结论 ‎(1)∠A＋∠B＝π－∠C，＝－；‎ ‎(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；‎ ‎(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；‎ ‎(4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，‎ tan(A＋B)＝－tan_C，‎ sin ＝cos ，‎ cos ＝sin .‎ ‎1.下列说法中正确的是________(填序号).‎ 9‎ ‎(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r；‎ ‎(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，则∠A＝60°；‎ ‎(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30°，则S△ABC的面积是6；‎ ‎(4)在△ABC中，若sin ‎2A＝sin 2B，则∠A＝∠B.‎ ‎【解析】　(1)错误.因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为S＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r.‎ ‎(2)错误.由三角形面积公式S＝bcsin A得，‎ ×2×2×sin A＝，所以sin A＝，则∠A＝60°或∠A＝120°.‎ ‎(3)正确.因为三角形的面积S＝absin C＝×6×4×sin 30°＝6.‎ ‎(4)错误.因为在△ABC中，若sin ‎2A＝sin 2B，则2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＝－∠B.‎ ‎【答案】　(3)‎ ‎2.在△ABC中，a＝6，∠B＝30°，∠C＝120°，则△ABC的面积为________‎ ‎【解析】　由题知∠A＝180°－120°－30°＝30°.∴＝，∴b＝6，∴S＝×6×6×sin 120°＝9.‎ ‎【答案】　9 ‎3.在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为________.‎ ‎【解析】　S△ABC＝absin C＝15，∴sin C＝.‎ 由正弦定理＝2R，∴c＝2R×sin C＝3.‎ ‎【答案】　3‎ ‎4.若△ABC的面积为，BC＝2，∠C＝60°，则边AB的长度等于________.‎ ‎【解析】　在△ABC中，由面积公式得S＝BC·AC·sin C＝×2·AC·sin 60°＝AC＝，‎ ‎∴AC＝2.‎ ‎∵BC＝2，C＝60°，‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ 9‎ ‎∴AB＝2.‎ ‎【答案】　2‎ ‎[小组合作型]‎ 三角形面积的计算 ‎　(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，∠B＝，∠C＝，则△ABC的面积为(　　)‎ A.2＋2 B.＋1‎ C.2－2 D.－1‎ ‎(2)在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则∠C＝________________.‎ ‎(3)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为________. ‎ ‎【导学号：18082012】‎ ‎【精彩点拨】　(1)利用正弦定理求边c，然后利用三角形面积公式求解.‎ ‎(2)由三角形面积S＝absin C与余弦定理cos C＝相结合求解.‎ ‎(3)由已知可先利用三角形面积公式S＝bcsin A求出AC，然后利用余弦定理求BC.‎ ‎【自主解答】　(1)由正弦定理＝及已知条件得c＝2，又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.‎ 从而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.‎ ‎(2)由S△ABC＝(a2＋b2－c2)得 absin C＝(a2＋b2－c2)，即sin C＝.‎ ‎∴sin C＝cos C，即tan C＝1，∴∠C＝.‎ ‎(3)由S△ABC＝，得AB·AC·sin A＝，‎ 即×‎2AC×＝，‎ 9‎ ‎∴AC＝1.由余弦定理得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A ‎＝22＋12－2×2×1×＝3.∴BC＝.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)　(3) ‎1.由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用.‎ ‎2.如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.已知在△ABC中，cos A＝－，cos B＝，BC＝5，求△ABC的面积.‎ ‎【解】　由cos A＝－，得sin A＝＝.‎ 由cos B＝，得sin B＝＝.‎ 所以sin C＝sin(A＋B)‎ ‎＝sin Acos B＋cos Asin B ‎＝×＋×＝－＝.‎ 由正弦定理得AC＝＝＝.‎ 所以△ABC的面积为S＝·BC·AC·sin C＝×5××＝.‎ 三角形的证明问题 ‎　在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c.‎ 证明：＝.‎ ‎【精彩点拨】　由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开.‎ ‎【自主解答】　法一：由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，‎ ‎∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，‎ 整理得：＝.‎ 9‎ 依正弦定理有＝，＝，‎ ‎∴＝＝.‎ 法二：＝ ‎＝＝＝.‎ ‎1.三角恒等式证明的三个基本原则 ‎(1)统一边角关系.‎ ‎(2)由繁推简.‎ ‎(3)目标明确，等价转化.‎ ‎2.三角恒等式证明的基本途径 ‎(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形.‎ ‎(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.在△ABC中，求证：＝.‎ ‎【证明】　由正弦定理得右边＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝左边.‎ ‎∴原等式成立.‎ ‎[探究共研型]‎ 三角形中的综合问题 探究1　如图1228所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？‎ 9‎ 图1228‎ ‎【提示】　在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角.‎ 探究2　在探究1中，若sin B＝sin ∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知AB＝m，DC＝n，如何求出AC?‎ ‎【提示】　若sin B＝sin ∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.‎ 探究3　在探究1的图形中若已知∠B与∠C的大小如何表示(或求)∠A，如何用∠B与∠C的正、余弦值表示∠A的正弦值？‎ ‎【提示】　∠A＝π－(∠B＋∠C)，sin A＝sin[π－(B＋C)]‎ ‎＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C.‎ ‎　在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠A＝，bsin－csin＝a.‎ ‎(1)求证：∠B－∠C＝；‎ ‎(2)若a＝，求△ABC的面积. ‎ ‎【导学号：18082013】‎ ‎【精彩点拨】　(1)先由正弦定理化边为角，再化简已知三角形即证.‎ ‎(2)结合第(1)问可直接求出∠B，∠C，再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解.‎ ‎【自主解答】　(1)由bsin－csin＝a，应用正弦定理，‎ 得sin Bsin－sin C·sin＝sin A，‎ 所以sin B－sin Csin B＋cos B＝，‎ 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1，‎ 因为0<∠B<π，0<∠C<π，从而∠B－∠C＝.‎ ‎(2)因∠B＋∠C＝π－∠A＝，所以∠B＝π，∠C＝.‎ 9‎ 由a＝，∠A＝得b＝＝2sin ，c＝＝2sin ，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝sin ·sin ＝cos sin ＝.‎ ‎1.解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键.‎ ‎2.三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.如图1229，在四边形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1，·＝1，sin∠BCD＝.‎ 图1229‎ ‎(1)求BC边的长；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积.‎ ‎【解】　(1)∵AC＝CD＝AB＝1，‎ ‎∴·＝||·||·cos∠BAC＝2cos∠BAC＝1，∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.‎ 在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×＝3，∴BC＝.‎ ‎(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，‎ ‎∴S△ABC＝BC·AC＝××1＝.‎ 又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，‎ sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝，‎ 从而sin∠ACD＝＝，‎ 9‎ ‎∴S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×1×1×＝.‎ ‎∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝.‎ ‎1.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝5，b＝4，cos C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A.8 B‎.6 ‎‎ C.4 D.2‎ ‎【解析】　∵cos C＝，∠C∈(0，π)，∴sin C＝，‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×5×4×＝6.故选B.‎ ‎【答案】　B ‎2.已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则(　　)‎ A.∠A＝30° B.∠A＝60°‎ C.∠A＝30°或150° D.∠A＝60°或120°‎ ‎【解析】　∵S＝bcsin A＝，‎ ‎∴×2×sin A＝，∴sin A＝，‎ ‎∴∠A＝60°或120°.故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3.在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边的长为________.‎ ‎【解析】　∵S△ABC＝×3×b×sin 120°＝，∴b＝5，∴由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴a＝7，即BC＝7.‎ ‎【答案】　7‎ ‎4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B＋∠C＝，a＝，b＝1，则S△ABC等于________.‎ ‎【解析】　因为∠B＋∠C＝π，所以∠A＝π－π＝，‎ 9‎ 由＝，得＝，则sin B＝，‎ 因为a>b，所以∠A>∠B，则∠B＝，‎ 所以∠C＝，‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝××1×1＝.‎ ‎【答案】　 ‎5.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，已知c＝2，∠C＝.‎ ‎(1)若△ABC的面积等于，求a，b；‎ ‎(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积.‎ ‎【解】　(1)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4.‎ 因为△ABC的面积等于，‎ 所以absin C＝，得ab＝4.‎ 联立方程 解得 ‎(2)由正弦定理，已知条件可化为b＝‎2a.‎ 联立方程 解得 所以△ABC的面积S＝absin C＝.‎ 9‎