【数学】广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试试题（理）（解析版）

【数学】广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试试题（理）（解析版）

广东省东莞市2020届高三上学期期末调研测试 数学试题（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．‎ ‎1.已知集合，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，解得，所以..，所以.‎ 故选：A.‎ ‎2.己知，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. 1 C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,,所以,则,‎ 故选：D.‎ ‎3.已知向量,满足，,且与的夹角为，则（ ）‎ A. 1 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题,,‎ 解得,‎ 故选：A.‎ ‎4.已知数列为等差数列，为其前 项和，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由等差数列的性质可得，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ ‎5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和90后从事互联网行业者岗位分布图（90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生），则下列结论中不一定正确的是（ ）‎ 整个互联网行业从业者年龄分布饼状图 90后从事互联网行业者岗位分布图 ‎ ‎ A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上 B. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 C. 互联网行业中从事设计岗位的人数90后比80前多 D. 互联网行业中从事市场岗位的90后人数不足总人数的10%‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于选项A,由饼状图可得90后占,故A正确；‎ 对于选项B,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的,故B错误；‎ 对于选项C,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的,故C正确；‎ 对于选项D,互联网行业中从事市场岗位的90后占总体的,故D正确,‎ 故选：B.‎ ‎6.函数（其中为自然对数的底数）的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,的定义域为,‎ 因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,故排除A、C；‎ 又因为,则当时,,,‎ 所以,‎ 故选：D.‎ ‎7.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值为（ ）‎ A. B. -3 C. 3 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,,‎ 因为是定义在上的奇函数,‎ 所以,‎ 故选：D.‎ ‎8.如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面两颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，至少含有一颗上珠的概率为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题,则,‎ 故选：A.‎ ‎9.已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数图象上所有点向右平移个单位长度 得到函数的图象，‎ 令，‎ 得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的最小值为， 故选：C.‎ ‎10.设是给定的平面，是不在内的任意两点．有下列四个命题：‎ ‎①在内存在直线与直线异面；②在内存在直线与直线相交；‎ ‎③存在过直线的平面与垂直；④存在过直线的平面与平行．‎ 其中，一定正确的是（ ）‎ A. ①②③ B. ①③ C. ①④ D. ③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题,对于②,当直线平面时,②不成立；‎ 对于④,当直线平面时,④不成立；‎ 对于①③,根据直线与平面的位置关系,显然成立,‎ 故选：B.‎ ‎11.已知圆的半径是，点是圆内部一点（不包括边界），点是圆圆周上一点，且，则的最小值为（ ）‎ A. B. 12 C. D. 13‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题,因为,‎ 所以,‎ 则当,即时,,‎ 因为,‎ 所以当取得最小值时,,‎ 故选：C.‎ ‎12.已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小,‎ 设截面半径为,球的半径为,则,‎ 因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则 ‎,令,,则,‎ 在中,,即,则,‎ 在中,,即,则,‎ 解得,则,‎ 在中,,‎ 因为点在线段上,,设中点为,则,‎ 所以,‎ 在中,,即,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以截面面积为,‎ 故选：A.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.“角谷定理”的内容为对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2；如此循环，最终都能够得到1．右图为研究角谷定理的一个程序框图．若输入的值为6，则输出的值为_______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】当时,是偶数,则,；‎ 当时,不是偶数,则,；‎ 当时,是偶数,则,；‎ 当时,不是偶数,则,；‎ 当时,是偶数,则,；‎ 当时,是偶数,则,；‎ 当时,是偶数,则,；‎ 当时,是偶数,则,‎ 故答案为：8.‎ ‎14.已知，则___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 故答案为：.‎ ‎15.若展开式中的系数为13，则展开式中各项系数和为______（用数字作答）．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】由题,的系数为,则,‎ 所以原式为,令,则展开式中各项系数和为,‎ 故答案为：64.‎ ‎16.已知函数（其中为自然对数的底数），则不等式的解集为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题,欲解,即,‎ ‎,,‎ 当时,单调递增,,‎ 在单调递减,在上单调递减,则,‎ 所以满足,‎ 当时,单调递减,在上递减,在上递增,‎ 则另,即,解得,‎ 所以当时,,‎ 综上,,‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：本大题共5小题，每小题12分，共60分．‎ ‎17.已知数列中，且 ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎（1）证明：∵,∴,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∴为等比数列,首项为,公比为3‎ ‎（2）解：由（1）得,,∴,‎ ‎18.如图，在中，内角所对的边分别为，且．‎ ‎（1）求角A的大小；‎ ‎（2）若，边上的中线的长为7，求的面积．‎ 解：（1）因为,‎ 根据正弦定理,得,‎ 即,‎ 所以,‎ 整理得,‎ 因为,所以,‎ 又因为,则 ‎（2）由（1）知,又因为,所以,所以,‎ 因为是中点,‎ 设,则,‎ 在中,根据余弦定理,得,‎ 即 ‎ 即,解得,‎ 故的面积 ‎19.如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．‎ ‎（1）若点是的中点，求证：平面平面；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．‎ 解：（1）∵点在底面上的射影为点,∴平面,‎ ‎∵四边形是边长为的正方形,∴,‎ ‎∵三角形的面积为1,∴,即,∴,‎ ‎∵,点是的中点,‎ ‎∴,同理可得,‎ 又因为,平面,‎ ‎∴平面,‎ ‎∵平面,‎ ‎∴平面平面 ‎（2）存在,‎ 如图,连接,易得两两互相垂直,‎ 分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,‎ 则,假设存在点使得二面角余弦值为,‎ 不妨设,‎ ‎∵点在棱上,∴,‎ 又,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,则,∴,‎ 令,可得,∴平面一个法向量为,‎ 又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,‎ ‎∴,即,‎ 解得或（舍）‎ 所以存在点符合题意,点为棱靠近端点的三等分点 ‎20.东莞的轻轨给市民出行带来了很大的方便，越来越多的市民选择乘坐轻轨出行，很多市民都会开汽车到离家最近的轻轨站，将车停放在轻轨站停车场，然后进站乘轻轨出行，这给轻轨站停车场带来很大的压力．某轻轨站停车场为了解决这个问题，决定对机动车停车施行收费制度，收费标准如下：4小时内（含4小时）每辆每次收费5元；超过4小时不超过6小时，每增加一小时收费增加3元；超过6小时不超过8小时，每增加一小时收费增加4元，超过8小时至24小时内（含24小时）收费30元；超过24小时，按前述标准重新计费．上述标准不足一小时的按一小时计费．为了调查该停车场一天的收费情况，现统计1000辆车的停留时间（假设每辆车一天内在该停车场仅停车一次），得到下面的频数分布表：‎ ‎（小时）‎ 频数（车次）‎ ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ ‎200‎ ‎350‎ ‎50‎ 以车辆在停车场停留时间位于各区间的频率代替车辆在停车场停留时间位于各区间的概率．‎ ‎（1）现在用分层抽样的方法从上面1000辆车中抽取了100辆车进行进一步深入调研，记录并统计了停车时长与司机性别的列联表：‎ 男 女 合计 不超过6小时 ‎30‎ ‎6小时以上 ‎20‎ 合计 ‎100‎ 完成上述列联表，并判断能否有90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关？‎ ‎（2）（i）表示某辆车一天之内（含一天）在该停车场停车一次所交费用，求的概率分布列及期望；‎ ‎（ii）现随机抽取该停车场内停放的3辆车，表示3辆车中停车费用大于的车辆数，求的概率．‎ 参考公式：，其中 ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.780‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 解：（1）由题,不超过6小时的频率为,则100辆车中有40辆不超过6小时,60辆超过6小时, ‎ 则列联表如下：‎ 男 女 合计 不超过6小时 ‎10‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎6小时以上 ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 根据上表数据代入公式可得 所以没有超过90%的把握认为“停车是否超过6小时”与性别有关 ‎（2）（i）由题意知：的可取值为5,8,11,15,19,30,则 所以的分布列为：‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎11‎ ‎15‎ ‎19‎ ‎30‎ ‎∴‎ ‎（ii）由题意得,所以,‎ 所以 ‎21.已知函数（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（1）求的单调性；‎ ‎（2）若，对于任意，是否存在与有关的正常数，使得成立？如果存在，求出一个符合条件的；否则说明理由．‎ 解：（1）,‎ ‎①当时,恒成立,所以在上单调递增；‎ ‎②当时,,,所以在上的单调递增；‎ ‎③当时,令,得,‎ 当时,,单调递减；‎ 当时,,单调递增；‎ 综上所述：当时,在上的单调递增；‎ 当时,在上单调递减,在上单调递增 ‎（2）存在,‎ 当时,,‎ 设存在与有关的正常数使得,即 ‎,‎ 需求一个,使成立,只要求出的最小值,满足,‎ ‎∵,∴在上单调递减,在上单调递增,‎ ‎∴,‎ 只需证明在内成立即可,‎ 令,‎ ‎,‎ ‎∴在单调递增,‎ ‎∴,‎ 所以,故存在与有关的正常数使成立 ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．‎ ‎22.在直角坐标系中，圆的普通方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出圆的参数方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点在上，点Q在上，求的最小值及此时点的直角坐标．‎ 解：（1）圆的方程可化为,圆心为,半径为,‎ ‎∴圆的参数方程为（为参数）,‎ 直线的极坐标方程可化为,‎ ‎∵,∴直线的直角坐标方程为 ‎（2）法一：设曲线上的点,‎ 点到直线：的距离：‎ ‎,‎ 当时,,‎ 此时点坐标为,所以,此时点的坐标为 法二：曲线是以为圆心,半径为的圆,‎ 圆心到直线的距离,‎ 所以,‎ 此时直线经过圆心,且与直线垂直,‎ ‎,所以,所在直线方程为,即,‎ 联立直线和圆的方程,解得或,‎ 当取得最小值时,点的坐标为,‎ 所以,此时点的坐标为 ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）记函数的最大值为，若，证明：．‎ 解：（1）由题,,‎ ‎①当时,恒成立,所以；‎ ‎②当时,即,所以；‎ ‎③当时,显然不成立,所以不合题意：‎ 综上所述,不等式的解集为 ‎（2）由（1）知,于是,‎ 由基本不等式可得,‎ 当且仅当时取等,所以