2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案:第3章 3 抛物线的简单几何性质

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文档介绍

2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案:第3章 3 抛物线的简单几何性质

www.ks5u.com ‎3.3.2 ‎抛物线的简单几何性质 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握抛物线的几何性质.(重点) ‎ ‎2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.(重点)‎ ‎3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.(难点)‎ ‎1.通过抛物线几何性质的应用,培养学生的数学运算核心素养.‎ ‎2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习,提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.‎ ‎(1)通过多媒体课件展示.抛物线形反射镜,平行光束聚焦于焦点,激发学生兴趣.‎ ‎(2)问题:一抛物线形拱桥跨度为4米,拱顶离水面2米,一水面漂浮一宽2米,高出水面1.6米的大木箱,问能否通过该拱桥?‎ 为了解决这个问题,我们先来研究一下抛物线的简单几何性质.‎ ‎1.抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0)‎ y2=-2px(p>0)‎ x2=2py(p>0)‎ x2=-2py(p>0)‎ 图形 性质 焦点 准线 x=- x= y=- y= 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 ‎(0,0)‎ 离心率 e=1‎ ‎2.焦点弦 直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由抛物线的定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,故|AB|=x1+x2+p.‎ ‎3.直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系:相离、相切和相交.‎ 设直线y=kx+m与抛物线y2=2px(p>0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,将y=kx+m代入y2=2px,消去y并化简,得k2x2+2(mk-p)x+m2=0.‎ ‎①k=0时,直线与抛物线只有一个交点;‎ ‎②k≠0时,Δ>0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点.‎ Δ=0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点.‎ Δ<0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点.‎ 思考:直线与抛物线只有一个公共点,那么直线与抛物线一定相切吗?‎ ‎[提示] 可能相切,也可能相交,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只有一个公共点.‎ ‎1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)抛物线是无中心的圆锥曲线. (  )‎ ‎(2)抛物线y2=2px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p. (  )‎ ‎(3)抛物线y=-x2的准线方程为x=. (  )‎ ‎[提示] (1)√ (2)√ (3)×‎ ‎2.顶点在原点,对称轴为y轴,顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是(  )‎ A.x2=16y    B.x2=8y C.x2=±8y D.x2=±16y D [顶点到准线的距离为,则=4.解得p=8,又因对称轴为y轴,则抛物线方程为x2=±16y.]‎ ‎3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|=(  )‎ A.10 B.8‎ C.6 D.4‎ B [|AB|=x1+x2+p=6+2=8.]‎ ‎4.若双曲线-=1(p>0)的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p=________.‎ ‎4 [双曲线的左焦点为(-,0),由条件可知,-=-,解得p=4.]‎ 抛物线性质的应用 ‎【例1】 (1)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2,则抛物线的方程为________.‎ ‎(2)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=4,求抛物线的方程.‎ ‎[思路探究] (1)利用抛物线和圆的对称性,先确定出交点坐标,然后再求方程.‎ ‎(2)根据抛物线的定义,将条件转化到三角形中,再根据三角形的关联性求解.‎ ‎(1)y2=3x或y2=-3x [根据抛物线和圆的对称性知,其交点纵坐标为±,交点横坐标为±1,则抛物线过点(1,)或(-1,),设抛物线方程为 y2=2px或y2=-2px(p>0),‎ 则2p=3,从而抛物线方程为y2=3x或y2=-3x.]‎ ‎(2)[解] 如图,分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,‎ 设|BF|=a,则由已知得:‎ ‎|BC|=2a,‎ 由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°,‎ 在Rt△ACE中,∵|AF|=4,|AC|=4+3a,‎ ‎∴2|AE|=|AC|,∴4+3a=8,从而得a=,∵BD∥FG,∴=,p=2.因此抛物线的方程是y2=4x.‎ 用待定系数法求抛物线方程的步骤 提醒:求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置,不同的焦点设出不同的方程.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1.若直线x=m与抛物线y2=4x交于A、B两点,F是其焦点,若△ABF 为等边三角形,求m的值.‎ ‎[解] 根据题意△ABF为等边三角形,则 tan 60°=,m>0,‎ 解得m=7±12.‎ 直线与抛物线的位置关系 ‎【例2】 (1)过定点P(0,1)作与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线有几条?‎ ‎(2)若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a≠0)恰好有一个公共点,试求实数a的取值集合.‎ ‎[思路探究] (1)分斜率存在、不存在两种情况,存在时将直线方程代入抛物线方程,转化为Δ=0求解;不存在时显然满足题意.‎ ‎(2)→ ‎→分类讨论方程有一解时a的取值 ‎[解] (1)当直线的斜率不存在时,直线x=0,符合题意.‎ 当直线的斜率存在时,设过点P的直线方程为y=kx+1,当k=0时,直线l的方程为y=1,满足直线与抛物线y2=2x仅有一个公共点;‎ 当k≠0时,将直线方程y=kx+1代入y2=2x,消去y得k2x2+2(k-1)x+1=0.由Δ=0,得k=,直线方程为y=x+1.故满足条件的直线有三条.‎ ‎(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点,所以方程组只有一组实数解,消去y,得[(a+1)x-1]2=ax,即(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0 ①.‎ ‎(ⅰ)当a+1=0,即a=-1时,方程①是关于x的一元一次方程,解得x=-1,这时,原方程组有唯一解 ‎(ⅱ)当a+1≠0,即a≠-1时,方程①是关于x的一元二次方程.‎ 令Δ=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=0(舍去)或a=-.‎ 所以原方程组有唯一解 综上,实数a的取值集合是.‎ 直线与抛物线交点问题的解题思路 ‎(1)判断直线与抛物线的交点个数时,一般是将直线与抛物线的方程联立消元,转化为形如一元二次方程的形式,注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程,则利用判别式判断方程解的个数.‎ ‎(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形:(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行;(2)直线与抛物线相切.‎ ‎[跟进训练]‎ ‎2.若抛物线y2=4x与直线y=x-4相交于不同的两点A,B,求证OA⊥OB.‎ ‎[证明] 由消去y,得x2-12x+16=0.‎ ‎∵直线y=x-4与抛物线相交于不同两点A,B,‎ ‎∴可设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则有x1+x2=12,x1x2=16.‎ ‎∵·=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-4)(x2-4)=x1x2+x1x2-4(x1+x2)+16=16+16-4×12+16=0,‎ ‎∴⊥,即OA⊥OB.‎ 中点弦及弦长公式 ‎【例3】 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q所平分,求AB所在直线的方程.‎ ‎[思路探究] 设A(x1,y1),B(x2,y2),用点差法求kAB;也可以设直线AB的方程,与抛物线方程联立,利用根与系数的关系,通过“设而不求”求解.‎ ‎[解] 法一:(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有y=8x1,y=8x2,∴(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).‎ 又y1+y2=2,∴y1-y2=4(x1-x2),‎ 即=4,∴kAB=4.‎ ‎∴AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.‎ 法二:由题意知AB所在直线斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB所在直线的方程为y=k(x-4)+1.‎ 联立消去x,得ky2-8y-32k+8=0,‎ 此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标.‎ 由根与系数的关系得y1+y2=.‎ 又y1+y2=2,∴k=4.‎ ‎∴AB所在直线的方程为4x-y-15=0.‎ ‎“中点弦”问题解题方法 ‎[跟进训练]‎ ‎3.已知抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.‎ ‎[解] 当抛物线焦点在x轴正半轴上时,可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则焦点F,直线l的方程为y=x-.设直线l与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),过点A,B向抛物线的准线作垂线,垂足分别为点A1,点B1,则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=+=x1+x2+p=6,‎ ‎∴x1+x2=6-p.①‎ 由消去y,得=2px,即x2-3px+=0.∴x1+x2=3p,代入①式得3p=6-p,∴p=.‎ ‎∴所求抛物线的标准方程是y2=3x.‎ 当抛物线焦点在x轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2=-3x.‎ 抛物线的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时,两条直线的斜率有什么关系?‎ ‎[提示] 两条直线的斜率互为相反数.‎ ‎2.如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题?‎ ‎[提示] 常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量,通过运算说明与参数无关,进而找到定点、定值.也常用特值法找定点、定值.‎ ‎【例4】 如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点为坐标原点,点P(1,2),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上.‎ ‎(1)求抛物线的方程及其准线方程;‎ ‎(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,证明:直线AB的斜率为定值.‎ ‎[思路探究] 第(1)问可以利用待定系数法解决;第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来.‎ ‎[解] (1)由题意可设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则由点P(1,2)在抛物线上,得22=2p×1,解得p=2,‎ 故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.‎ ‎(2)证明:因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,所以kPA=-kPB,即=-.‎ 又A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,所以x1=,x2=,从而有=-,即=-,得y1+y2=-4,故直线AB的斜率kAB===-1.‎ ‎1.若本例题改为:如图所示,已知直线l:y=2x-4交抛物线y2=4x于A,B两点,试在抛物线AOB这段曲线上求一点P,使△PAB的面积最大,并求出这个最大面积.如何求解?‎ ‎[解] 由解得或 由图可知,A(4,4),B(1,-2),‎ 则|AB|=3.‎ 设P(x0,y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离,则 d== ‎=|(y0-1)2-9|.‎ ‎∵-2
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