高中数学二轮专题复习学案-专题 分类讨论思想
专题 分类讨论思想
【思想方法诠释】
1．分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过基础性问
题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现
了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度．[来
源:Zxxk.Com][来源:学,科,网]
2．分类讨论的常见类型：
（1）由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对
数函数等．
（2）由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条
件下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等．
（3）由数学运算引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的
要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
（4）由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，
点、线、面的位置关系等．
（5）由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的
取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．
3．分类讨论的一般流程：
【核心要点突破】
要点考向 1：根据数学概念的要求分类讨论（概念型）
例 1：设 0
0 且 a≠1，比较|log a (1－x)|与|log (1＋x)|的大小。
注：本例是由对数函数的概念内涵引发的分类讨论，我们称为概念分类型．由概念内涵分类的还有很
多，如绝对值：|a|的定义分为 a＞0、a＜0、a=0 三种情况；直线的斜率分为：倾斜角 ，斜率 k 存在，
倾斜角 ，斜率不存在；指数、对数函数： 与 ，可分为
两种类型；直线的截距式分：直线过原点时为 y=kx，不过原点时为 等．
要点考向 2：根据运算的要求或性质、定理、公式的条件分类讨论
例 2：设等比数列{a n}的公比为 q ，前 n 项和 S n＞0（n =1 , 2 , 3 ,…）.
（1）求 q 的取值范围；
（2）设 b n= a n+2 -
2
3 a n+1 ,记{b n}的前 n 项和为 T n ，试比较 S n 与 T n 的大小 .
思路精析：要证的不等式和讨论的等式可以进 行等价变形；再应用比较法而求解。其中在应用等比
数列前 n 项和的公式时，由于公式的要求，分 q＝1 和 q≠1 两种情况
注：（1）一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，均值定理、等比数列的求和公式等性
质、定理与公式在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立，这时要小心，应根据题
目条件确定是否进行分类讨论．
（2）分类讨论的许多问题有些是由运算的需要引发的．比如除法运算中分母能否为零的讨论；解方
程及不等式两边同乘以一个数是否为零，是正数，还是负数的讨论；二次方程运算中对两根大小的讨论；
求函数单调性时，导数正负的讨论；排序问题、差值比较中的正负的讨论；有关去绝对值或根号问题中等
价变形引发的讨论等．
（3）在构建数学模型解决实际问题的过程中，往往由于实际问题中存在的诸多情况而引起分类讨论，
特别在近几年高考中概率的计算有很多题目渗透了分类讨论的思想，解题目时要注意分类的原则是“不重
不漏”．
要点考向 3：根据字母的取值情况分类讨论
例 3：设函数 f(x)＝ax 2 －2x＋2，对于满足 10，求实数 a 的取值范围。
【解析】当 a>0 时，f(x)＝a（x－ 1
a ） ＋2－
∴
1 1
1 2 2 0
a
f a
≤
＝ ≥( )
或
1 1 4
1 2 1 0
a
f a a( )＝
或
1 4
4 16 8 2 0
a
f a
≥
＝ ≥( )
∴ a≥1 或 1
2 ；
当 a<0 时，
f a
f a
( )
( )
1 2 2 0
4 16 8 2 0
＝ ≥
＝ ≥
，解得φ ；
当 a＝0 时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
注：题目中含有参数的问题（含参数型），主要包括：（1）含有参数的不等式的求解；（2）含有参数
的方程的求解；（3）对于解析式系数是 参数的函数，求最值与单调性问题；（4）二元二次方程表示曲线类
型的判定等．求解这类问题的一般思路是：结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论．讨论时，应
全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想．
要点考向 4：根据图形位置或形状变动分类讨论
例 4：在 xoy 平面上给定曲线 y 2 ＝2x，设点 A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点 A 的距离的最小值为 f(a)，
求 f(a)的函数表达式。
注：一般由图形的位置或形状变动引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变动；函数问题中敬意的
变动；函数图象形状的变动；直线由斜率引起的位置变动；圆锥曲线由焦点引起的位置变动或由离心率引
起的形状变动；立体几何中点、线、面的位置变动等．
【跟踪模拟训练】
一、选择题（每小题 6 分，共 36 分）
1．已知双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）
2．已知函数 的定义域的 R，则实数 a 的取值范围是（ ）
3．正三棱柱的侧面展开图是两边长分别为 2 和 4 的矩形，则它的体积为（ ）
4.“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍”是“直线 l 的斜率等于-2”的（ ）
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
5．对任意两实数 a、b,定义运算“*”如下：a*b= ,则函数 的值域
为（ ）
6.如图所示，在△AOB 中，点 A（2，1）， B（3，0），点 E 在射线 OB 上自 O 开始移动.设 OE=x,过 E 作 OB 的
垂线 l，记△AOB 在直线 l 左边部分的面积为 S，则函数 S=f（x）的图象是（ ）
二、填空题（每小题 6 分，共 18 分）
7．设 为椭圆 的两个焦点．P 为椭圆上一点．已知 P， 是一个直角三角形的三个顶
点，且 ，则 的值为
8.过点 M(2,4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1 作切线，所得切线方程是__________.
9.将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b、c,则方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为________.
三、解答题（10、11 题每题 15 分，12 题 16 分，共 46 分）
10．已知函数 （a≠0）定义域为 ，值域为[-5，1]，
求常数 a,b 的值。
11．已知函数
（1）求 f(x)的单调区间；
（2）若方程 f(x)=0 有三个不等实根，求 a 的取值范围．
12.已知等比数列｛an｝的前 n 项和为 Sn=2·3n+k(k∈R,n∈N*)，
（1）求数列｛an｝的通项公式；
（2）设数列｛bn｝满足 Tn 为数列｛bn｝的前 n 项和，试比较 3-16Tn 与 4(n+1)bn+1 的
大小，并证明你的结论.
参考答案
[来源:学科网 ZXXK]
1 解析：选 D．因为渐近线方程为 ．∴当 即： ，得： ，当 ，
即： ，得 ，综上 ．
2【解析】选 C.当 a=0 时，f(x)有意义，当 a≠0 时，由 ax2+ax-3≠0,得Δ =a2+12a＜0,即-12＜a＜0.综合
得-12＜a≤0.
3【解析】选 D．分两种情况分别计算得： ．
4【解析】选 B.若直线 l 的斜率等于-2，则直线 l 在 y 轴上的截距一定是它在 x 轴上的截距的 2 倍；但当
直线 l 在 y 轴上的截距是它在 x 轴上的截距的 2 倍时，其斜率不一定等于-2，因为直线 l 可以经过原点，
其斜率可以为任意值.所以“直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍”是“直线 l 的斜率等于-2”
的必要不充分条件.
5 解析：选 A．根据题目给出的情境可得，
由于 的图象在定义域上为增函数，可得 f(x)的值域为（-∞，0]．
6【解析】选 D．当 0
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