高中数学第三章不等式3-3二元一次不等式组与简单的线性3-3

高中数学第三章不等式3-3二元一次不等式组与简单的线性3-3

简单的线性规划问题 A级　基础巩固 一、选择题 ‎　1．设变量x，y满足约束条件则z＝x－3y的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－4 C．－6 D．－8‎ 解析：作可行域如图所示，当z＝x－3y过点A(－2，2)时，z取最小值，zmin＝－2－3×2＝－8.‎ 答案：D ‎2．若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|＋y的取值范围是(　　)‎ A．[－1，3] B．[1，11]‎ C．[1，3] D．[－1，11]‎ 解析：作出不等式组对应的平面区域如图所示，当x≥0时，z＝2x＋y，即y＝－2x＋z，由图象可知其经过A(0，－1)时，zmin＝－1，经过B(6，－1)时，zmax＝11；当x<0时，y＝2x＋z，由图象可知其经过C(－2，－1)时，zmax＝3，经过A(0，－1)时，zmin＝－1，所以－1≤z≤11.‎ 答案：D ‎3．已知变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最大值为(　　)‎ A．12 B．11 C．3 D．－1‎ 解析：‎ - 6 -‎ 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z经过点A时，z取得最大值．由⇒此时z＝3x＋y＝11.‎ 答案：B ‎4．已知x，y满足目标函数z＝2x＋y的最大值为7，最小值为1，则b，c的值分别为(　　)‎ A．－1，4 B．－1，－3‎ C．－2，－1 D．－1，－2‎ 解析：由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3，1)和点(1，－1)，‎ 所以解得 答案：D ‎5．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)‎ A．或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1‎ 解析：如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，‎ 故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；‎ 当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.‎ 答案：D 二、填空题 ‎6．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是____．‎ - 6 -‎ 解析：不等式组表示的可行域如图阴影部分所示，设t＝x＋2y，‎ 则y＝－x＋，‎ 当x＝0，y＝0时，tmin＝0，‎ z＝3x＋2y的最小值为1.‎ 答案：1‎ ‎7．已知x，y满足约束条件则x2＋y2的最小值是________．‎ 解析：画出满足条件的可行域(如图)，根据表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋y2的最小值是|AO|2.‎ 由 得A(1，2)，所以|AO|2＝5.‎ 答案：5‎ ‎8．若点P(m，n)在由不等式组所确定的区域内，则n－m的最大值为________．‎ 解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)，(3，4)，设目标函数为z＝y－x.则y＝x＋z，其纵截距为z，由图易知点P的坐标为(2，5)时，n－m的最大值为3.‎ 答案：3‎ - 6 -‎ 三、解答题 ‎9．设函数z＝2x＋5y，其中x，y满足条件 求z的最大值与最小值．‎ 解：在平面直角坐标系xOy内画出不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图中阴影部分)．‎ 把z＝2x＋5y变形为y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一组平行直线．‎ 由图可以看出，当直线y＝－x＋z经过可行域上的点M时，截距z最大，即z最大．‎ 解方程组得 故M(2，3)．‎ 此时zmax＝2×2＋5×3＝19.‎ 易知直线y＝－x＋z经过原点时，截距最小，‎ 故zmin＝0.‎ ‎10．已知－1

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