【数学】2021届一轮复习人教A版函数、不等式恒成立问题解法学案

【数学】2021届一轮复习人教A版函数、不等式恒成立问题解法学案

函数、不等式恒成立问题解法（老师用）‎ 恒成立问题的基本类型：‎ 类型1：设，（1）上恒成立；（2）上恒成立。‎ 类型2：设 ‎（1）当时，上恒成立，‎ 上恒成立 ‎（2）当时，上恒成立 上恒成立 类型3：‎ ‎。‎ 类型4：‎ ‎ 恒成一、用一次函数的性质 ‎ 对于一次函数有：‎ 例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。‎ 解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范围是。‎ 二、利用一元二次函数的判别式 ‎ 对于一元二次函数有：‎ ‎（1）上恒成立；‎ ‎（2）上恒成立 例2：若不等式的解集是R，求m的范围。‎ 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。‎ ‎（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；‎ ‎（2）时，只需，所以，。‎ 三、利用函数的最值（或值域）‎ ‎（1）对任意x都成立；‎ ‎（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。‎ 例3：在ABC中，已知恒成立，求实数m的范围。‎ 解析：由 ‎，，恒成立，，即恒成立，‎ 例4：（1）求使不等式恒成立的实数a的范围。‎ 解析：由于函，显然函数有最大值，。‎ 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：‎ ‎（2）求使不等式恒成立的实数a的范围。‎ 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以。‎ ‎ 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。‎ 四：数形结合法 ‎ 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。‎ 例5：已知，求实数a的取值范围。‎ 解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。‎ ‎ 例6：若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）‎ A、 B、 ‎ C、 D、‎ 解析：由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。，故选D。‎ 同步练习 ‎1、设其中，如果时，恒有意义，求的取值范围。‎ 分析：如果时，恒有意义，则可转化为恒成立，即参数分离后，恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。‎ 解：如果时，恒有意义，对恒成立.‎ 恒成立。‎ 令，又则对恒成立，又 在上为减函数，，。‎ ‎2、设函数是定义在上的增函数，如果不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围。‎ 分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为对于任意恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。‎ 解：是增函数对于任意恒成立 对于任意恒成立 对于任意恒成立，令，，所以原问题，又即 易求得。‎ 3、 已知当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。‎ 方法一）分析：在不等式中含有两个变量a及x，本题必须由x的范围（xR）来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。‎ 解：原不等式 当xR时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立 设则 ‎∴‎ 方法二）题目中出现了sinx及cos2x，而cos2x=1-2sin2x,故若采用换元法把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。‎ 解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为 a+1-2sin2x<5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1],‎ 不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立2t2-4t+4-a>0,t[-1,1]恒成立。‎ 设f(t)= 2t2-4t+4-a，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min=f(1)=2-a,2-a>‎0a<2‎ 4、 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。‎ 分析：在f(x)a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。‎ 解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.‎ ⅰ)当=（‎-2a）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-21,并且必须也只需 故loga2>1,a>1,10,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x2+20x与一次函数y=8x‎-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。‎ x y l1‎ l2‎ l ‎-20‎ o 解：令T1：y1= x2+20x=（x+10）2-100, T2：y2=8x‎-6a-3,则如图所示，T1的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T1和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间。（包括l1但不包括l2)‎ 当直线为l1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为‎-6a-3=160,a=;‎ 当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为‎-6a-3=0，a=∴a的范围为[，）。‎ ‎7、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。‎ 分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了p的范围要求x的相应范围，直接从x的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。‎ 解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：‎ o y ‎2‎ ‎-2‎ x y ‎-2‎ ‎2 x 方法一：或∴x<-1或x>3.‎ 方法二：即解得：‎ ‎∴x<-1或x>3.‎