高中数学讲义微专题45 均值不等式

高中数学讲义微专题45 均值不等式

微专题 45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设 （1）调和平均数： （2）几何平均数： （3）代数平均数： （4）平方平均数： 2、均值不等式： ，等号成立的条件均为： 特别的，当 时， 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1） ：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情 况 （2） ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3） ，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要 注意此不等式的适用范围 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当 求 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则 ，右侧依然含有 ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中 为了乘积消掉 ，则要将 拆为两个 ，则  0 1,2, ,ia i n   1 2 1 1 1n n nH a a a     1 2 n n nG a a a  1 2 n n a a aA n     2 2 2 1 2 n n a a aQ n     n n n nH G A Q   1 2 na a a   2n  2 2G A  2 a bab   2 , 0a b ab a b   2 2 a bab      2 2 2a b ab  ,a b R 0,x  2 3y x x  2 3 2 4y x xx   x 2 4y x x  x 3 x 2 x 2 2 2 334 2 2 2 23 3 4y x x xx x x x x         ② 乘积的式子→和为定值，例如 ，求 的最大值。则考虑变积为 和后保证 能够消掉，所以 （3） 等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立 （彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证 是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知 （ 为常数），求 的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰 好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数 项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知 ，求 的最小值 解： （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知 ，求 的最小值 解： 所以 即 ，可解得 ，即 30 2x     3 2f x x x  x       21 1 2 3 2 93 2 2 3 22 2 2 8 x xf x x x x x            1ax by  a m n x y 0, 0,2 3 1x y x y    3 2 x y  3 2 3 2 9 42 3 6 6y xx yx y x y x y            9 4 9 412 12 2 24y x y x x y x y       0, 0,2 4x y x y xy     2x y  22 21 1 222 2 2 8 x yx yxy x y            222 4 2 48 x yx y xy x y           22 8 2 32 0x y x y     2 4 3 4x y    min2 4 3 4x y   注：此类问题还可以通过消元求解： ，在代入到所求表达式求 出最值即可，但要注意 的范围由 承担，所以 二、典型例题： 例 1：设 ，求函数 的最小值为_______________ 思路：考虑将分式进行分离常数， ，使用均值不等式可 得： ，等号成立条件为 ，所以最小值为 答案： 例 2：已知 ，且 ，则 的最大值是________ 思路：本题观察到所求 与 的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即 ，代入方程中可得： ，解得： ，所以最大值为 4 答案：4 例 3：已知实数 ，若 ，且 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用 分离常数法将分式进行简化。 ，结合分母可将条 件 ，变形为 ，进而利用均值不等式求出最值 解： 4 22 4 1 xx y xy y x       0y  x  0,2x  1x   ( 5)( 2) 1 x xy x    ( 5)( 2) 41 51 1 x xy xx x          42 1 5 91y x x     41 11x xx    9 9 0, 0x y  1 1 5x y x y    x y x y 1 1 x y 2 1 1 4 1 1 2 x y x y x y x y             24 5 5 4 0x y x y x yx y         1 4x y   ,m n 0, 0m n  1m n  2 2 2 1 m n m n  1 4 4 15 1 8 1 3 2 2 4 12 12 1 2 1 m n m nm n m n          1m n     2 1 4m n    2 2 2 24 4 1 1 4 12 12 1 2 1 2 1 m n m n m nm n m n m n                  ，即 的最小值为 答案：A 例 4：已知正实数 满足 ，则 的最小值为__________ 思路：本题所求表达式 刚好在条件中有所体现，所以考虑将 视为一个整体，将等 式中的项往 的形式进行构造， ，而 可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于 的不等式，解不等式即 可 解： 方程变形为： 解得： 答案： 的最小值为 例 5：已知 ，则 的最小值为______________ 思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为 ， 所以可将 构造为 ，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：   4 1 4 13 22 1 2 1m n m n m n              1 2 1 4m n m n            4 14 1 4 1 1 1 22 1 4 12 1 2 1 4 4 2 1 n mm nm n m n m n                              4 11 2 95 24 2 1 4 n m m n           2 2 9 122 1 4 4 m n m n      2 2 2 1 m n m n  1 4 ,x y 2 4xy x y   x y x y x y x y      2 1xy x y xy x x y x y x y           1x y  x y      2 4 4 1 4xy x y xy x x y x y x y                 211 2 x yx y              21 42 x y x y            21 4 16x y x y           2 6 15 0x y x y      6 96 2 6 32x y       x y 2 6 3 2 0a b  4 (2 )a b a b   2b a b a  1 12 22 2a a b b       思 路 二 ： 观 察 到 表 达 式 中 分 式 的 分 母 ， 可 想 到 作 和 可 以 消 去 ， 可 得 ，从而 ，设 ，可从函 数 角 度 求 得 最 小 值 （ 利 用 导 数 ）， 也 可 继 续 构 造 成 乘 积 为 定 值 ： 答案：3 小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变 形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解 （2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元 （3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲 突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验 例 6：设二次函数 的值域为 ，则 的最大值为 __________ 思路：由二次函数的值域可判定 ，且 ，从而利用定值化简所求表达式： ，则只需确定 的范围 即可求出 的最值。由均值不等式可得： ，进而解出最值 解： 二次函数 的值域为 答案： 3 4 1 8 1 8(2 ) 3 (2 ) 3(2 ) 2 (2 ) 2 (2 )a a b b a b bb a b b a b b a b                  2b a b b     222 2 b a bb a b a        2 4 4 (2 )a ab a b a     2 4f a a a    3 2 2 4 43 32 2 2 2 a a a af a a a          2 4f x ax x c x R     0, 1 9 1 9c a  0a  0 4ac    1 9 9 18 9 18 511 9 9 9 9 13 9 13 a c a c c a ac a c a c a c                 9a c 1 9 1 9c a  9 12a c      2 4f x ax x c x R     0, 16 4 0 4 0 ac ac a             9 9 11 9 9 18 9 18 511 9 1 9 9 9 9 13 9 13 a c a c a c c a c a ac a c a c a c                       9 2 9 12a c ac   1 9 5 611 9 12 13 5c a       6 5 例 7：已知 ，则 的最大值是________ 思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分 子与分母能够将变量消掉，观察分子为 均含 ，故考虑将分母中的 拆分与 搭 配，即 ，而 ，所以 答案： 小炼有话说：本题在拆分 时还有一个细节，因为分子 的系数相同，所以要想分子分 母消去变量，则分母中 也要相同，从而在拆分 的时候要平均地进行拆分（因为 系数也相同）。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。 例 8 ： 已 知 正 实 数 满 足 ， 若 对 任 意 满 足 条 件 的 ， 都 有 恒成立，则实数 的取值范围为________ 思 路 ： 首 先 对 恒 成 立 不 等 式 可 进 行 参 变 分 离 ， 。 进 而 只 需 求 得 的最小值。将 视为一个整体，将 中的 利用均值不等式 换成 ，然后解出 的范围再求最小值即可 解： , ,x y z R 2 2 2 xy yz x y z    ,xy yz y 2y 2 2,x z 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 xy yz xy yz x y z x y y z                  2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 12 2 , 2 22 2 2 2x y x y xy z y z y yz        2 22 2 xy yz xy yz     2 2 2y ,xy yz ,xy yz 2y 2 2,x z ,x y 3x y xy   ,x y 2( ) ( ) 1 0x y a x y     a   1a x y x y      1x y x y   x y 3x y xy   xy x y x y  2 1( ) ( ) 1 0x y a x y a x y x y          , 0x y  2 2 x yxy       解得： 或 （舍） （在 时取得） 例 9：已知 ，则 的最小值是___________ 思路：观察到所求 的两项中 部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积 为定值，所以结合第二项的分母变形 的分子。因为 ，所以 ，则 ，所以原式 ，因为要求得最小值，所以 时， ，故 最小值为 答案： 小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的 互为倒数为突破口，从 而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造 例 10：已知 ，且 是常数，又 的最小值 是 ，则 ________ 思路：条件中有 ，且有 ，进而联想到求 最小值的过程中达 到的最值条件与 相关： ，即 2 3 2 x yx y xy             24 12x y x y     6x y  2x y     min 1 1 376 6 6x y x y          6x y  37 6a  1, 0, 0x y y x    1 2 1 x x y  1 2 1 x x y  x 1 2 x 1x y   1 2y x    11 1 1 2 2 2 4 4 x y x y x x x x       1 12 14 4 1 4 4 1 4 x xx y x y x x x y x x y x           0x  min 1 4 4 x x        1 2 1 x x y  3 4 3 4 x , , , , 2 5, 9,m nm n s t R m n n ms t       ,m n 2s t 1 3m n  9m n s t   min2 1s t   2s t ,m n      1 1 2 12 2 2 2 2 29 9 9 m n mt sns t s t m n m n mns t s t                     2s t 的最小值为 ，所以 ，解得 ，所以 答案：7 三、历年好题精选 1、(2016，天津河西一模）如图所示，在 中， ，点 在线段 上，设 ， ， ，则 的最小 值为（ ） A. B. C. D. 2、（2016，南昌二中四月考）已知 都是负实数，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 3、（2016，重庆万州二中）已知 为正实数，且 ，则 的最小值 为________ 4、（扬州市 2016 届高三上期末）已知 且 ，则 的最 小值为________ 5、已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 不存在 6、设 ， 为坐标原点。若 三点 共线，则 的最小值是_________ 7、已知 ，且 ，则 的最大值是（ ）  1 2 2 29 m n mn   1 2 2 2 19 2 5 m n mn m n n m           1 2 m n    3 7m n  ABC DBAD  F CD AB a  AC b  AF xa yb    1 41  yx 226  36 246  223 ,a b 2 a b a b a b  5 6  2 2 1 2 2 1  2 2 1 ,a b 2a b  2 22 21 a b a b    1a b  2log 3log 7a bb a  2 1 1a b   na 7 6 52a a a  ,m na a 14m na a a 1 4 m n 3 2 5 3 25 6      1, 2 , , 1 , ,0 , 0, 0OA OB a OC b a b          O , ,A B C 1 2 a b  , 0,a b  2 1a b  2 22 4s ab a b   A. B. C. D. 8、设 ，若 ，则 的最大值为 9、已知 ，且 ，则 的最小值是 习题答案： 1、答案：D 解析： ，因为 三点共线，所以 ，根据 所 求 表 达 式 构 造 等 式 为 ， 所 以 有 ： 2 1 2  2 1 2 1 2 1 2  , , 1, 1x y R a b   3, 2 3x ya b a b    1 1 x y a b 1ab  2 2a b a b   2AF xAB yAC xAD yAC        , ,C F D 2 1x y   2 1 2x y   ，由均值不等式可得： ，所以 2、答案：B 解析： 是正实数 3、答案： 解析： 4、答案：3 解析：  1 4 1 1 4 1 1 82 1 2 41 2 1 2 1 y xx yx y x y x y                       1 8 1 82 4 21 1 y x y x x y x y        1 4 1 6 4 2 3 2 21 2x y     2 2 2 2 2 2 2 2 11 1 22 3 2 3 2 3 a b a ab b ab a ba b a b a ab b a ab b b a               , 0a b  ,a b b a 2 22 2 2a b a b b a b a      11 1 3 2 2 2 2 22 2 2 3 a b a b a b          2 2 3 2 22 2 12 1 21 1 a b a ba b a b             2 1 31a b a b      2 11 1a b     2a b   1 3a b      2 22 2 1 1 2 12 1 1 11 1 3 1 a b a ba b a b a b                         2 1 2 11 11 2 13 1 3 1 b ba a a b a b                     2 11 2 223 1 3 b a a b      232log 7 2 log 7log 3 0loga a a a b b bb        2log 1 log 3 0a ab b    或 5、答案：A 解析： 解得： 或 （舍） 而 下面验证等号成立条件： 解得： 所以等号成立， 的最小值为 注：本题要注意到 ，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不 满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件 6、答案： 解析： 三点共线 7、答案：A 1log 2a b  log 3a b  1a b  1log log2a ab a   2b a  2 1 1 1 11 1 2 1 1 31 1 1 1a a a ab a a a                2 2 7 6 5 5 5 52 2 2a a a q a qa a q q        2q  1q   1 1 1 1 1 14 2 2 4m n m na a a a a a      22 16 6m n m n       ,m n N   1 4 1 1 4 1 41 46 6 n mm nm n m n m n                  4 42 4n m n m m n m n    1 4 9 3 6 2m n    2 24 4 2 6 n m n m n mm n m n          2 4 m n    1 4 m n  3 2 ,m n N  8 , ,A B C AB AC ∥    1,1 , 1,2AB a AC b        2 1 1 2 1a b a b         1 2 1 2 42 2 2 8b aa ba b a b a b              解析： 8、答案：1 解析： 9、答案： 解析： 2 22 2 2 2 2 2 a bab ab          2 22 2 2 2 14 2 2 2 2 a ba b a b          2 2 14 2a b    2 1 2s   3x ya b  log 3, log 3a bx y   3 3 3 1 1 1 1 log log loglog 3 log 3a b a b abx y         2 2 3 32 a bab       3 1 1 log 3 1x y    2 2 2 2 2 22 2 2 2 2a b a ab b a ba b a b a b          