【数学】2020届数学（理）一轮复习人教版：第六章第三节　基本不等式及其应用作业

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教版：第六章第三节　基本不等式及其应用作业

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)‎ A级　基础夯实练 ‎1.(2018·惠州模拟)“a＞b＞‎0”‎是“ab＜”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.由a＞b＞0得，a2＋b2＞2ab；但由a2＋b2＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞‎0”‎是“ab＜”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2.(2018·成都二诊)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0，2] B．[－2，0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析：选D.因为1＝2x＋2y≥2，所以2x＋y≤，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号，故选D.‎ ‎3.(2018·东北三省四市二模)已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)‎ A．8 B．9‎ C．12 D．16‎ 解析：选B.由题意可得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.‎ ‎4.若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg，则(　　)‎ A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q 解析：选C.∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，(lg a＋lg b)＞，即Q＞P.∵＞，∴lg＞lg＝(lg a＋lg b)，即R＞Q，∴P＜Q＜R.‎ ‎5.若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．4‎ 解析：选C.由＋＝知a＞0，b＞0，所以＝＋≥2，即ab≥2，‎ 当且仅当，即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.‎ ‎6.(2018·长春二测)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝，a＋b＝12，则△ABC面积的最大值为(　　)‎ A．8 B．9‎ C．16 D．21‎ 解析：选B.由三角形的面积公式：‎ S＝absin C＝ab≤×＝9，‎ 当且仅当a＝b＝6时等号成立．‎ 则△ABC面积的最大值为9.‎ ‎7.(2018·广州模拟)若x，y满足约束条件且目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为7，则＋的最小值为(　　)‎ A．14 B．7‎ C．18 D．13‎ 解析：选B.画出可行域如图所示，由图形可知当直线经过x－y＝－1与2x－y＝2的交点N(3，4)时，目标函数取得最大值，即‎3a＋4b＝7，于是＋＝(‎3a＋4b)＝(25＋＋)≥(25＋2)＝7，‎ 即＋的最小值为7.‎ ‎8.(2018·南昌调研)已知函数y＝x＋(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________．‎ 解析：∵x＞2，m＞0，∴y＝x－2＋＋2≥2＋2＝2＋2，当且仅当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x＞2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.‎ 答案：4‎ ‎9.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则‎2a＋的最小值为________．‎ 解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴‎2a＋＝‎2a＋2－3b≥2＝2＝2＝.当且仅当‎2a＝2－3b，即a＝－3，b＝1时，‎2a＋取得最小值.‎ 答案： ‎10.(2018·宜春六校联考)已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．‎ ‎(1)求xy的最小值；‎ ‎(2)求x＋y的最小值．‎ 解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，‎ 得 ‎(1)因为x＞0，y＞0，‎ 所以3xy＝x＋y＋1≥2＋1.‎ 所以3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0.所以(3＋1)(－1)≥0.‎ 所以≥1.所以xy≥1.‎ 当且仅当x＝y＝1时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为1.‎ ‎(2)因为x＞0，y＞0，所以x＋y＋1＝3xy≤3·.所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.‎ 所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.‎ 所以x＋y≥2.当且仅当x＝y＝1时取等号．‎ 所以x＋y的最小值为2.‎ B级　能力提升练 ‎11.当0＜m＜时，若＋≥k2－2k恒成立，则实数k的取值范围为(　　)‎ A．[－2，0)∪(0，4] B．[－4，0)∪(0，2]‎ C．[－4，2] D．[－2，4]‎ 解析：选D.因为0＜m＜，所以×‎2m×(1－‎2m)≤×＝，当且仅当‎2m＝1－‎2m，即m＝时取等号，所以＋＝≥8，又＋≥k2－2k恒成立，所以k2－2k－8≤0，所以－2≤k≤4.所以实数k的取值范围是[－2，4]．故选D.‎ ‎12.(2018·河南林州一中模拟)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为(　　)‎ A．10 B．15‎ C．20 D．25‎ 解析：选C.由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5可得S8－S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝＝S4＋＋10≥2＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立．故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.‎ ‎13.(2018·日照模拟)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2，a＋＝4，则＋的最大值为________．‎ 解析：由x＝loga2，y＝logb2，得＋＝＋＝log‎2a2＋log2b＝log2(a2b)．又4＝a＋≥2，所以a2b≤16，故＋＝log2(a2b)≤4.‎ 答案：4‎ ‎14.(2018·南昌模拟)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ 解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2－200＝200，‎ 当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，‎ 故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，‎ 最低成本为200元．‎ ‎(2)不获利．设该单位每月获利为S元，‎ 则S＝100x－y＝100x－ ‎＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，‎ 因为x∈[400，600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．‎ 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．‎ ‎15.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．‎ ‎(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？‎ ‎(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由．‎ 解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x t，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)元．‎ 设每天所支付的总费用为y1元，则 y1＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝＋9x＋10 809≥2＋10 809＝10 989.‎ 当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．‎ 所以该厂每隔10天购买一次面粉，‎ 才能使平均每天所支付的总费用最少．‎ ‎(2)若该厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉．设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2，则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90＝＋9x＋9 729(x≥35)．‎ 令f(x)＝x＋(x≥35)，x2＞x1≥35，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－ ‎＝.‎ ‎∵x2＞x1≥35，‎ ‎∴x1－x2＜0，x1x2－100＞0，‎ ‎∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．‎ ‎∴当x＝35时，y2有最小值，约为10 069.7，‎ 此时y2＜10 989.‎ ‎∴该厂应该接受此优惠条件．‎ C级　素养加强练 ‎16.(2018·江西重点中学联考)已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝4，若点P是边BC上的动点，且P到AB，AC的距离分别为m，n，则＋的最小值为________．‎ 解析：如图所示，根据题意，过点P作PE⊥AB，PF⊥AC，则PE＝m，PF＝n，‎ 又由AB＝AC，∠BAC＝120°，得∠ABC＝∠ACB＝30°，‎ 则PE＝PB，PF＝PC，‎ 即m＝PB，n＝PC.‎ 由PB＋PC＝BC＝4，得m＋n＝2，‎ 则＋＝·＝≥，‎ 即＋的最小值为，‎ 此时m＝2n.‎ 答案：