山东省菏泽市2021届新高三上学期期初第一次模拟考试数学试题 PDF版含解析

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2020 年高三学期期初第一次模拟考试 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦 干净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1. 复数 z 满足 i iz 21 7   （i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数 z A. i31 B. i31 C. i3 D. i3 2. 集合  22  xxA ，  40,  xxyyB ，则下列关系正确的是 A. BCA R B. ACB R C. BCAC RR  D. RBA  3. 已知直线l ： 0 myx 经过抛物线C ：  022  ppxy 的焦点，l 与C 交于 A 、B 两点，若 6AB ， 则 p 的值为 A. 2 1 B. 2 3 C.1 D. 2 4. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢 又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积= 2 1 （弦 矢+矢 矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田 弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧 田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦 AB 等于 6米，其弧田弧所在圆为圆O ， 若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 2 7 平方米，则 AOBcos A. 25 1 B. 25 3 C. 5 1 D. 25 7 5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人，数学、英语两科满分 者8 人，数学、语文两科满分者 7 人，语文、英语两科满分者 9 人，三科都没得满分者3人.这个班最多、最少 人分别是 A. 39,45 B. 38,46 C. 38,45 D. 39,46 6. 已知 ，  ， 是三个不同的平面， m  ， n  ，则 A. 若 nm  ，则   B.若   ，则 nm  C.若 nm // ，则  // D.若  // ，则 nm // 7. 数列 na 的前 n 项和 kS n n  3 （ *Nn ， k 为常数），那么下面结论正确的是 A. 0k 时， na 是等比数列 B. k 为任意实数时， na 是等比数列 C. 1k 时， na 是等比数列 D. na 不可能是等比数列 8. 已知四边形 ABCD ，  120BAD ，  60BCD ， 2 ADAB ，则 AC 的最大值为 A. 3 34 B. 4 C. 3 38 D.8 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的。 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9. 下列说法正确的是 A. 若 x ， 0y ， 2 yx ，则 yx 22  的最大值为 4 ； B. 若 2 1x ，则函数 12 12  xxy 的最大值为 1 ； C. 若 x ， 0y ， 3 xyyx ，则 xy 的最小值为1； D. 函数 xxy 42 cos 4 sin 1  的最小值为9 . 10. 已知函数       0,0,0sin AxAxf 的部分图像如图所示，其图像最高点和最低点的 横坐标分别为 12  和 12 7 ，图像在 y 轴上的截距为 3 .给出下列命题正确的是 A.  xf 的最小正周期为 2 ； B.  xf 的最大值为 2 ； C. 14   f ； D.     6 xf 为偶函数 11. 已知 a ， b ， c ， d 均为实数，则下列命题正确的是 A. 若 ba  ， dc  ，则 bdac  B. 若 0ab ， 0 adbc ，则 0 b d a c C. 若 ba  ， dc  ，则 cbda  D. 若 ba  ， 0 dc ，则 c b d a  12. 已知函数  xf 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时，    1 xexf x ，则下列命题正确的是 A. 当 0x 时，    1  xexf x B. 函数  xf 有 3个零点 C.   0xf 的解集为    1,01,  D. Rxx  21 , ，都有     221  xfxf 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 从 6,5,4,3,2 这5 个数字中任取 3个，则所取 3个数之和为偶数的概率为 . 14. 已知圆C ： 0211022  yyx 与双曲线  0,012 2 2 2  bab y a x 的渐近线相切，则该双曲线的离心 率为 . 15. 已知正三棱锥 ABCS  的侧棱长为 34 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积为 . 16. 为了学习中央号召的“工匠精神”，某校组织学生开展工件制作活动，如右图是某 小组设计的一个工件的横截面图，该工件由一个圆柱与一个三棱锥构成，AB 是圆柱 横截面⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点， BCOE  于点 H ，交⊙O 于点 E ，点 D 为 OE 的 延 长 线 上 一 点 ， DC 的 延 长 线 与 BA 的 延 长 线 交 于 点 F ， 且 BCDBOD  ，连接 BD 、AC 、CE ，过 E 作 FDEG  于点G ，如果 1AF ， 3 3sin FCA ，则 EG . 四、解答题：本题共 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10 分） 在① 2c ；② 32b ③ 222 3 cabba  这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，求 CBF 的大 小和 ABF 的面积. 问题：已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， 2a .设 F 为线段 AC 上一点， BFCF 2 ， . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. （12 分） 已知数列 na 中， ma 1 ，且 1231  naa nn ，   Nnnab nn . （1）判断数列 nb 是否为等比数列，并说明理由； （2）当 2m 时，求数列   n n a1 的前 2020 项和 2020S . 19. （12 分） 某地以农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，播种了5000 粒种子，已知这批水稻种子的发芽率为 9.0 ， 成活率为 8.0 ，先对没有发芽的种子进行补种，每粒需要再补种 3粒种子，以确保能够正常发芽，记补种的种 子数为 X . 科研站之后要将这一批成功长成的植株送出，最初有 30 人参加，该科研站设置了第   Nnn 个月中签的名 额为 162 n ，并且抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人比中签的人数少 2 人，如果某次抽签的人全 部中签，则活动立刻结束. （1）随机地抽取一粒，求这粒水稻种子能够成长为幼苗的概率； （2）求 X 的方差； （3）求任意一人参加活动时间的期望. 20. （12 分） 如图，四棱锥 ABCDP  中，底面 ABCD 为矩形， PA 底面 ABCD ， 6 ABPA ，点 E 是棱 PB 的中 点. （1）求直线 AD 与平面 PBC 的距离； （2）若 3AD ，求二面角 DECA  的平面角的余弦值. 21. （12 分） 已知动圆过定点  0,4A ，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为8 . （1）求动圆圆心的轨迹 C 的方程； （2）已知点  0,1B ，设不垂直于 x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点 P ，Q ，若 x 轴是 PBQ 的角平 分线，证明直线l 过定点. 22. （12 分） 设函数    Raxaaxxxxf  2ln 2 . （1）若函数  xf 有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 2a ， Nk  ，   222 xxxg  ，且当 2x 时不等式      xfxgxk  2 恒成立，试求 k 的 最大值. 2020 年高三学期期初第一次模拟考试 数学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 复数 z 满足 i iz 21 7   （i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数 z A. i31 B. i31 C. i3 D. i3 【答案】B 解：       ii i ii iiz 31155 2121 217   ， iz 31 ，故选 B. 2. 集合  22  xxA ，  40,  xxyyB ，则下列关系正确的是 A. BCA R B. ACB R C. BCAC RR  D. RBA  【答案】C 解：    2020  xxyyB ，    20,22  xxxCxxxC RBRA 或或 ，故选 C. 3. 已知直线l ： 0 myx 经过抛物线C ：  022  ppxy 的焦点，l 与C 交于 A 、B 两点，若 6AB ， 则 p 的值为 A. 2 1 B. 2 3 C.1 D. 2 【答案】B 解：设    2211 ,, yxByxA l 经过抛物线焦点      0,2 p 02  mp l 方程为： 04324 2 202 2 2 2 2 2        ppxxpxppxx pxy pxypyx 2 3,6321  ppppxxAB 选 B. 4. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢 又自乘，并之，二而一.其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积= 2 1 （弦 矢+矢 矢）.弧田是由圆弧（弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田 弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧 田所在圆的半径与圆心到弧田弧的距离之差，现有一弧田，其弧田弦 AB 等于 6米，其弧田弧所在圆为圆O ， 若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 2 7 平方米，则 AOBcos A. 25 1 B. 25 3 C. 5 1 D. 25 7 【答案】A 解：过O 作 ABOM  于点 M ，设 dOMrOB  ,      2 762 1 2  drdr     1 0762   dr drdr 9922  drdrQ   25 7 25 921sin212coscos 4 5 2        AOB d r ，故选 D. 5. 某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学 20 人，语文 20 人，英语 20 人，数学、英语两科满分者 8 人，数学、语文两科满分者 7 人，语文、英语两科满分者 9 人，三科都没得满分者 3人.这个班最多、最少人 分别是 A. 39,45 B. 38,46 C. 38,45 D. 39,46 【答案】D 解 ： 设 数 学 ， 语 文 ， 英 语 均 的 满 分 数 x 人 ， 故 这 个 班 共 有 xxxx  39339420 463939, 7007 0       x xx x  故选 D. 6. 已知 ，  ， 是三个不同的平面， m  ， n  ，则 A. 若 nm  ，则   B.若   ，则 nm  C.若 nm // ，则  // D.若  // ，则 nm // 【答案】D 解： 如图满足 nm  但 不与  垂直 A 错 如图 m,  与 n 重合了 故 B 错 如图 nm // 但 不与  平行，C 错 D 时面面平行的性质定理正确，故选 D. 7. 数列 na 的前 n 项和 kS n n  3 （ *Nn ， k 为常数），那么下面结论正确的是 A. 0k 时， na 是等比数列 B. k 为任意实数时， na 是等比数列 C. 1k 时， na 是等比数列 D. na 不可能是等比数列 【答案】A 解： kS n n  3 当 2n 时 kS n n    1 1 3 2n 时， 1 1 3    n nnn SSa 当 na 为等比数列时， kSa  311 也满足上试 1,23  kk 故选 C. 8. 已知四边形 ABCD ，  120BAD ，  60BCD ， 2 ADAB ，则 AC 的最大值为 A. 3 34 B. 4 C. 3 38 D.8 【答案】C 解：  180 BCDBAD DCBA ,,, 四点共圆 由 2 ADAB 得 ABDBD  32 外接圆的直径为 4120sin 32    4max  AC 故选 B. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的。 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9. 下列说法正确的是 A. 若 x ， 0y ， 2 yx ，则 yx 22  的最大值为 4 ； B. 若 2 1x ，则函数 12 12  xxy 的最大值为 1 ； C. 若 x ， 0y ， 3 xyyx ，则 xy 的最小值为1； D. 函数 xxy 42 cos 4 sin 1  的最小值为 9 . 【答案】BD 解：A: 42222   yxyx A 错； B: 112112 11212 12  xxxxy B 错； C:   11023 max  xyxyxyxyxyyx C 错； D：   4cos sin4 sin cos1cossincos 4 sin 1 cos 4 sin 1 2 2 2 2 22 2222     x x x xxxxxxxy 9425cos sin4 sin cos5 2 2 2 2  x x x x ，当且仅当 xx 22 sin2cos  时取“=”，故选 D 正确. 选 BD. 10. 已知函数       0,0,0sin AxAxf 的部分图像如图所示，其图像最高点和最低点的横 坐标分别为 12  和 12 7 ，图像在 y 轴上的截距为 3 .给出下列命题正确的是 A.  xf 的最小正周期为 2 ； B.  xf 的最大值为 2 ； C. 14   f ； D.     6 xf 为偶函数 【答案】BC 解：由题意得 22 21212 7 2    TT     xAxf 2sin 当 12 x 时 zkkk  ,23226  0k 时，     232 3032sin3       AAfxAxf          32sin2 xxf A 错；B 正确；C 正确；D 错. 选 BC. 11. 已知 a ，b ， c ， d 均为实数，则下列命题正确的是 A. 若 ba  ， dc  ，则 bdac  B. 若 0ab ， 0 adbc ，则 0 b d a c C. 若 ba  ， dc  ，则 cbda  D. 若 ba  ， 0 dc ，则 c b d a  【答案】ABC 解：A：取 0,1,3,2  dcba 则 dcba  , 但 02  bdac 故 A 错； B：由 0 adbc 两边同除以 0 b d a cab B 正确； C： cbdacdba  , C 正确； D:取 2,4,2,1  dcba 则 0,  dcba 但 c b d a c b d a  ,2 1,2 1 D 错，故选 BC. 12. 已知函数  xf 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时，    1 xexf x ，则下列命题正确的是 A. 当 0x 时，    1  xexf x B. 函数  xf 有 3个零点 C.   0xf 的解集为    1,01,  D. Rxx  21 , ，都有     221  xfxf 【答案】BCD 解：当 0x 时， 0 x ，    1  xexf x ，    1  xexf x ，    1  xexf x ，故 A 错； 当 0x 时，    1 xexf x ，    2 xexf x 当 2x 时，   0 xf ，  xf 单调递减；当 02  x 时，   0 xf ，  xf 单调递增；     2 12 efxf  极小值 由图像知  xf 有 3个零点分别为 1,0,1 ，故 B 正确；   0xf 的解集为    1,01,  ，故 C 正确；       21121  xfxf ，故 D 正确. 故本题选 BCD. 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 从 6,5,4,3,2 这5 个数字中任取 3个，则所取 3个数之和为偶数的概率为 . 【答案】 5 2 解：奇数 5,3 ；偶数 6,4,2 ；任取 3个数， 3个数之和为偶数的概率为 5 2 10 4 3 5 1 3 2 2 3 3  C CCCP . 14. 已知圆C ： 0211022  yyx 与双曲线  0,012 2 2 2  bab y a x 的渐近线相切，则该双曲线的离心率 为 . 【答案】 2 5 解：圆C ：   4502110 2222  yxyyx ，圆心为  5,0 ， 双曲线的一条渐近线方程为 0 aybxxa by 圆C 与双曲线的渐近线相切， 2 5255 22    a c c a ba ad 双曲线的离心率为 2 5e . 15. 已知正三棱锥 ABCS  的侧棱长为 34 ，底面边长为 6，则该正三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 64 解：设 S 在底面 ABC 上的射影点为O ，O 为 ABC 的中心 32333 2 AO ， 61248 SO 外接球球心 M 位于直线 SO 上，设 xOM  ， xSM  6     222222 123612612612 xxxxxxxSMAM  22412  xx 外接球半径 4r ，  6444 2 表S . 16. 为了学习中央号召的“工匠精神”，某校组织学生开展工件制作活动，如右图是某 小组设计的一个工件的横截面图，该工件由一个圆柱与一个三棱锥构成，AB 是圆柱 横截面⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点， BCOE  于点 H ，交⊙O 于点 E ，点 D 为 OE 的 延 长 线 上 一 点 ， DC 的 延 长 线 与 BA 的 延 长 线 交 于 点 F ， 且 BCDBOD  ，连接 BD 、AC 、CE ，过 E 作 FDEG  于点G ，如果 1AF ， 3 3sin FCA ，则 EG . 【答案】 6 33 解：连接OC ，易得 FD 为圆O 的切线且 DB 也为圆O 的切线，故 ODAC // ， CDHFCA  BCDBOD  ， ODBOBHCDH  3 3sin FCA ， 3 3sin  ODB ， rOB  ， rOD 3 ， rBD 2 3 1 3 121cos FDB ， 3 22sin  FDB ， r rFDB 2 2122tan  ，得 2 1r 2 3OD ， 2 13 DE ， 6 33 3 3 2 13sin  EDGDEEG . 四、解答题：本题共 6 小题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （10 分） 在① 2c ；② 32b ；③ 222 3 cabba  这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，求 CBF 的大 小和 ABF 的面积. 问题：已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c ， 2a . 设 F 为线段 AC 上一点， BFCF 2 ， . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：选①②：则 2 ca ， 32b ，有余弦定理可得 2 1 2cos 222  ac bcaABC ， 又  ,0ABC ， 3 2 ABC ， 6  CA 在 BCF 中，有正弦定理可得 C BF CBF CF sinsin  BFCF 2 ， 2 2sin  CBF 又 3 2 ABCCBF ， 4  CBF 12 5 43 2   ABF ， 12 5 612 5  AFB 则在 ABF 中， AFBABF  2 ABAF 16sin222 1    ABFS . 选②③： 2a ， 32b ， 222 3 cabba  ， 2c 有余弦定理可得： 2 3 2cos 222  ab cbaC 又  ,0C ， 6 C 6  CA ， 3 2  CAABC 在 BCF 中，有正弦定理可得 C BF CBF CF sinsin  BFCF 2 ， 2 2sin  CBF 又 3 2 CBACBF ， 4  CBF 12 5 43 2   ABF ， 12 5 612 5  AFB 则在 ABF 中， AFBABF  2 ABAF 16sin222 1    ABFS . 选①③： 2 ca ， 222 3 cabba  ，则 abcba 3222  有余弦定理可得： 2 3 2cos 222  ab cbaC 又  ,0C ， 6 C ca  ， 6  CA ， 3 2  CAABC ， 在 BCF 中，有正弦定理可得 C BF CBF CF sinsin  BFCF 2 ， 2 2sin  CBF 又 3 2 CBACBF ， 4  CBF 12 5 43 2   ABF ， 12 5 612 5  AFB 则在 ABF 中， AFBABF  2 ABAF 16sin222 1    ABFS . 18. （12 分） 已知数列 na 中， ma 1 ，且 1231  naa nn ，   Nnnab nn . （1）判断数列 nb 是否为等比数列，并说明理由； （2）当 2m 时，求数列   n n a1 的前 2020 项和 2020S . 解：（1） 1231  naa nn   nnnnn bnannanab 331123111   ①当 10 x 时， 01 b ，故数列 nb 不是等比数列； ②当 1m 时，数列 nb 是等比数列，其首项为 011  mb ，公比为 3. （2）由（1）知当 1m 时， nn nn nab 333 1   ，即 na n n  3       na nn n n 131              4 4043310104 3320202019432131 313 202120212020 2020   S . 19. （12 分） 某地以农业科技试验站，对一批新水稻种子进行试验，播种了5000 粒种子，已知这批水稻种子的发芽率为 9.0 ， 成活率为 8.0 ，先对没有发芽的种子进行补种，每粒需要再补种 3 粒种子，以确保能够正常发芽，记补种的种 子数为 X . 科研站之后要将这一批成功长成的植株送出，最初有 30 人参加，该科研站设置了第   Nnn 个月中签的名额 为 162 n ，并且抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人比中签的人数少 2 人，如果某次抽签的人全部 中签，则活动立刻结束. （1）随机地抽取一粒，求这粒水稻种子能够成长为幼苗的概率； （2）求 X 的方差； （3）求任意一人参加活动时间的期望. 解：（1）设事件 A 表示“发芽水稻”；事件 B 表示“出芽后的幼苗成活”， 则   8.0AP ，   9.0BP 在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为       72.09.08.0  BPAPABP . （2）没有发芽的种子Y 服从二项分布，  1.0,5000~ BY ， 由题意知 YX 3 ，则   DYYDDX 93  ，又  pnpDY  1 所以 855DX ，即 X 的方差为855 （3）   41230162  nnn ，故其中一人参加活动的时间 X 的可能取值为 4,3,2,1   5 3 30 181 XP ；   7 2 28 20 30 1812    XP ；   455 44 26 22 28 20130 1813       XP ；   455 8126 22128 20130 1814          XP ； 则其中一人参加活动的时间期望为   455 697 455 84455 4437 225 31 XE . 20. （12 分） 如图，四棱锥 ABCDP  中，底面 ABCD 为矩形， PA 底面 ABCD ， 6 ABPA ，点 E 是棱 PB 的中 点. （1）求直线 AD 与平面 PBC 的距离； （2）若 3AD ，求二面角 DECA  的平面角的余弦值. 解：（1）如图，以 A 为坐标原点， AB 、 AD 、 AP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立 空间直角坐标系 xyzA 设  0,,0 aD ，则  0,0,6B ，  0,,6 aC ，  6,0,0P ，       2 6,0,2 6E . 因此       2 6,0,2 6AE ，  0,,0 aBC  ，  6,,6  aPC . 则 0 BCAE ， 0 PCAE ，所以 AE 平面 PBC . 又由 BCAD // 知 //AD 平面 PBC ，故直线 AD 与平面 PBC 的距离为点 A 到平面 PBC 的距离，即为 3AE . （2）设平面 AEC 的法向量为  1111 ,, zyxn  ， 因为       2 6,0,2 6AE ，  0,3,6AC ， 所以      036 02 6 2 6 11 11 yx zx 令 11 x ，得 21 y ， 11 z ，所以  1,2,11 n . 设平面 EDC 的法向量为  2222 ,, zyxn  因为        2 6,3,2 6EC ，  0,0,6CD 所以      06 02 632 6 2 222 x zyx 令 22 z ，得 12 y ，所以  2,1,02 n 故 3 6cos 21 21 21  nn nnnn 所以二面角 DECA  的平面角的余弦值为 3 6 . 21. （12 分） 已知动圆过定点  0,4A ，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为8 . （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）已知点  0,1B ，设不垂直于 x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点 P ，Q ，若 x 轴是 PBQ 的角平分 线，证明直线 l 过定点. 解：（1）由题意知动圆过定点  0,4A ，设线段 MN 的中点为 E 由图像知 2 MNME  ，   xyxyxECMECMCA 844 222222222  . 故动圆圆心的轨迹C 的方程为 xy 82  . （2）设直线 l 的方程为 bkxy  ， 联立      bkxy xy 82 ，得   02882 222222  bxkbxkxbkbxxk （其中 0 ） 设  bkxxP 11 , ，  bkxxQ 22 , 则 221 28 k kbxx  ， 2 2 21 k bxx  若 x 轴是 PBQ 的角平分线，则         11 11 11 21 2121 2 2 1 1     xx xbkxxbkx x bkx x bkxkk QBPB            011 8 11 22 21 2 21 2121    xxk bk xx bxxbkxkx ，即 bk  ， 故直线 l 的方程为  1 xky ，直线l 过定点  0,1 . 22. （12 分） 设函数    Raxaaxxxxf  2ln 2 . （1）若函数  xf 有两个不同的极值点，求实数 a 的取值范围； （2）若 2a ， Nk  ，   222 xxxg  ，且当 2x 时不等式      xfxgxk  2 恒成立，试求 k 的最 大值. 解：（1）由题意知，函数  xf 的定义域为  ,0 ，   axxaxxxf  ln11ln 令   0 xf ，可得 x xa ln 令    0ln  xx xxh ，则有题意可知直线 ay  与函数  xh 的图像有两个不同的交点，   2 ln1 x xxh  ，令   0 xh ，得 ex  ，可知  xh 在  e,0 上单调递增，在  ,e 上单调递减，    ehxh max ，当 0x 时，   xh ，当 x 时，   0xh ， 故实数 a 的取值范围为    e 1,0 . （2）当 2a 时，   xxxxxf  2ln 2 ，      xfxgxk  2 ，即   xxxxxxxk  2ln222 22 ，整理得   2ln2  xxxk 因为 2x ，所以 2 ln   x xxxk 设    22 ln   xx xxxxF ，则    22 ln24   x xxxF 令    2ln24  xxxxm ，则   021  xxm ，所以  xm 在  ,2 上单调递增， 注意到   044ln248ln248 2  em ，   066ln2610ln2610 3  em ， 所以函数  xm 在  10,8 上有唯一的零点 0x ， 即 0ln24 00  xx ，故当 02 xx  时，   0xm ，即   0 xF ，当 0xx  时，   0 xF ， 所以     22 2 41 2 ln 0 0 0 0 0 000 0min x x xx x xxxxFxF        ，所以 2 0xk  因为  10,80 x ，所以  5,42 0 x ，故 k 的最大值为 4 .