2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期期中考试数学（理）试题（B）

2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期期中考试数学（理）试题（B）

‎2017-2018学年山东省菏泽市高二上学期期中考试数学（理）试题（B）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．若，则下列不等式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．不等式的解集为（ ）‎ A．或 B． C．或 D．‎ ‎3．等差数列中，，则的值为（ ）‎ A．12 B．18 C．9 D．20‎ ‎4．中，角所对的边分别为，表示三角形的面积，且满足，则（ ）‎ A． B． C．或 D．‎ ‎5．已知数列的前项和为，，则数列的前项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在中，角所对的边分别为，，，，则等于（ ）‎ A． B． C．或 D．以上都不对 ‎8．在数列中，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在60米高的山顶上，测得山下一条河流两岸的俯角为75°、30°，则河流的宽度为（ ）‎ A．米 B．米 C．米 D．米 ‎10．已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则（ ）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎11．设，对于使恒成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界.若，且，则的上确界为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设数列的前项和，若，且，则等于（ ）‎ A．5048 B．5050 C．10098 D．10100‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知数列，，，，则 ．‎ ‎14．已知，则的最大值是 ．‎ ‎15．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把10磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份为 磅．‎ ‎16．如图，在中，线段上的点满足，，则 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．在中，，，是边上一点，且.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求的长及的面积.‎ ‎18．已知等差数列的前项和为，满足，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎19．在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为，求的周长.‎ ‎20．已知关于的不等式的解集为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，解关于的不等式.‎ ‎21．莫数学建模兴趣小组测量某移动信号塔的高度（单位：），如图所示，垂直放置的标杆的高度，仰角，.‎ ‎（Ⅰ）该小组已经测得一组的值，，，请推测的值；‎ ‎（Ⅱ）该小组对测得的多组数据分析后，发现适当调节标杆到信号塔的距离（单位：），使得较大时，可以提高信号塔测量的精确度，若信号塔高度为，试问为多大时，最大？‎ ‎22．已知数列是首项为，公比的等比数列，设，，数列满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和；‎ ‎（Ⅲ）设数列的前项和为，若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5:DABBC 6-10:DCABC 11、12：BD 二、填空题 ‎13．； 14．； 15．； 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（I）在中由正弦定理得，‎ ‎∴，又∵，∴‎ ‎∵,∴∴.‎ ‎∴.‎ (2) 由余弦定理可知：‎ ‎ ∴.‎ 18． 解：（I）由题意知，,①‎ ‎，即 所以②‎ ‎∴ 所以 ‎（II）令 ‎，‎ 设数列的前项和为，则.‎ 当时，.‎ 当时，‎ ‎.‎ ‎∴.‎ ‎19. 解：（1）∵，∴，‎ 由正弦定理可得：，‎ ‎∴，‎ 又角为内角，，∴，‎ 又，∴，‎ ‎（2）有，得，‎ 又，‎ ‎∴，‎ 所以的周长为.‎ ‎20.解：（I）由题意知，是方程的两个实根，‎ ‎∴，解得，∴.‎ ‎（II）由（I）知，不等式可化为，‎ 即 ① 当时，不等式的解集为，‎ ②当时，不等式为，因为，所以解集为；‎ 综上，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ 21. 解（I）由及 可知：解得 故可知信号塔的高度为.‎ ‎（II）根据题意可知：由得 所以，‎ 当且仅当即，上式取等号，所以当，时最大，因为，所以，所以当时，为最大. ‎ ‎22.解：（I）又题意得：‎ ‎∴ ‎ ‎（II）又，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎∴，‎ ‎(III)，‎ ‎∴对任意，不等式恒成立 即恒成立，即恒成立，‎ 令，，‎ ‎∴关于单调递减，∴，∴，‎ ‎∴的取值范围为.‎ 高二数学（理科）试题（B）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ DABBC DCABC BD 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．； 14．； 15．； 16． ‎ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．‎ ‎17．解：（I）在中由正弦定理得，‎ ‎∴，又∵，∴……………2分 ‎∵,∴∴.‎ ‎∴. ………………………………………………………………4分 (2) 由余弦定理可知：‎ ‎ ∴. ………………………………………………………………7分 ‎……………………………………………10分 18． 解：（I）由题意知，,①‎ ‎，即 所以②‎ ‎∴ 所以…………………………4分 ‎（II）令 ‎，‎ 设数列的前项和为，则.‎ 当时，.………………………7‎ 当时，‎ ‎.……11分 ‎∴.………………………………………………………12分 ‎19. 解：（1）∵，∴，‎ 由正弦定理可得：，……………2分 ‎∴，‎ 又角为内角，，∴， ……………4分 又，∴， ……………5分 ‎（2）有，得， ……………7分 又，……………9分 ‎∴， ……………11分 所以的周长为. ……………12分 ‎20.解：（I）由题意知，是方程的两个实根，‎ ‎∴，解得，∴.………………………………………4分 ‎（II）由（I）知，不等式可化为，‎ 即………………………………………………………………………5分 ① 当时，不等式的解集为，………………………………………7分 ②当时，不等式为，因为，所以解集为； ………………………………………11分 综上，当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.………………………………………12分 21. 解（I）由及 可知：解得 故可知信号塔的高度为. ……………………4分 ‎（II）根据题意可知：由得 所以，……………8分 当且仅当即，上式取等号，所以当，时最大，因为，所以，所以当时，为最大. ……………………12分 ‎22.解：（I）又题意得：…………………………………………1分 ‎∴ ………………………………………2分 ‎（II）又，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎…………………………………5分 ‎……………………………………………………………………7分 ‎∴， ……………………………………………………………………………8分 ‎(III)，……………………………………………………………9分 ‎∴对任意，不等式恒成立 即恒成立，即恒成立，………………………10分 令，，‎ ‎∴关于单调递减，∴，∴，‎ ‎∴的取值范围为.……………………………………………………………………12分