浙江省2021届高考数学一轮复习第三章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象与变换含解析
第7节 函数的图象与变换
考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简单的方程(不等式)问题.
知 识 梳 理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻转变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[常用结论与易错提醒]
1.图象左右平移变换是针对自变量x而言的，如从f(－2x)的图象到f(－2x＋1)的图象是向右平移个单位，先作如下变形f(－2x＋1)＝f，可避免出错.
2.明确一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，且为偶函数，后者是两个不同函数的对称关系.
3.当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确，注重数形结合思想的运用.
诊 断 自 测
1.判断下列说法的正误.
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.( )
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.( )
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.( )
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.( )
解析 (1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)的图象，故(1)错.
(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.
(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)的解析式为( )
A.f(x)＝ex＋1 B.f(x)＝ex－1
C.f(x)＝e－x＋1 D.f(x)＝e－x－1
解析 依题意，与曲线y＝ex关于y轴对称的曲线是y＝e－x，于是f(x)相当于y＝e－x向左平移1个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.
答案 D
3.(2019·浙江名师预测卷)函数y＝(ex－e－x)sin|2x|的图象可能是( )
解析 由题可知函数f(x)＝(ex－e－x)sin|2x|是奇函数，故排除B，C；当x∈时，f(x)＞0，故排除D，故选A.
答案 A
4.若函数y＝f(x)在x∈[－2，2]的图象如图所示，则当x∈[－2，2]时，f(x)＋f(－x)＝________.
解析 由于y＝f(x)的图象关于原点对称，
∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.
答案 0
5.若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________.
解析 在同一个坐标系中画出函数y＝|x|与y＝a－x的图象，如图所示.由图象知当a>0时，方程|x|＝a－x只有一个解.
答案 (0，＋∞)
6.已知函数f(x)＝2x，若函数g(x)的图象与f(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________；若把函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移4个单位后，所得函数的解析式为h(x)＝________.
解析 ∵g(x)的图象与函数f(x)＝2x的图象关于x轴对称，∴g(x)＝－2x.把f(x)＝2x的图象向左平移1个单位，得m(x)＝2x＋1的图象，再向下平移4个单位，得h(x)＝2x＋1－4的图象.
答案 －2x 2x＋1－4
考点一 作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1.
解 (1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.
(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝2＋，故函数图象可由y＝图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位即得，如图③.
(4)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图④.
规律方法 画函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【训练1】 分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解 (1)∵y＝|lg x|＝
∴函数y＝|lg x|的图象，如图①.
(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
考点二 函数图象的辨识
【例2】 (1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为( )
(2)(2020·杭州二中模拟)现有四个函数①y＝x|sin x|，②y＝xcos|x|，③y＝，④y＝xln|x|的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )
A.①④②③ B.①④③②
C.③②④① D.③④②①
解析 (1)显然f(－x)＝－f(x)，x∈[－π，π]，
所以f(x)为奇函数，排除A；
当x＝π时， f(π)＝>0，排除B，C.故选D.
(2)结合图形及函数的解析式可知y＝x|sin x|，y＝xcos|x|，y＝xln|x|都是奇函数，而y＝是非奇非偶函数，对比图象，第一个图象对应的解析式为③；对于函数y＝xcos|x|来说，当0＜x＜1时，y＞0，当x＝π时，y＜0，对比图象可知第二个图象对应的解析式为②；对于函数y＝xln|x|来说，当0＜x＜1时，y＜0，且当x＝1时，y＝0，对比图象可知第三个图象对应的解析式为④；对于函数y＝x|sin x|来说，当x＜0时，y≤0，当x＞0时，y≥0，对比图象可知第四个图象对应的解析式为①；由此可知按照图象从左到右的顺序对应的函数的序号正确的一组是③②④①，故选C.
答案 (1)D (2)C
规律方法 (1)抓住函数的性质，定性分析
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复.④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)抓住函数的特征，定量计算
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【训练2】 (1)(2019·浙江名校新高考研究联盟三联)已知某函数图象如图所示，则此函数的解析式可能是( )
A.f(x)＝·sin x B.f(x)＝·sin x
C.f(x)＝·cos x D.f(x)＝·cos x
(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )
解析 (1)由图象可知该函数是偶函数，因为A，B的函数是偶函数，C，D是奇函数，故排除C，D.A，B中，因为f(π)＝0，取x＝，则A项中，f＝×＞0，B项中，f＜0，所以可以排除B，故选A.
(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除A，B.设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.
答案 (1)A (2)D
考点三 函数图象的应用 多维探究
角度1 研究函数的性质
【例3－1】 (一题多解)设函数f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，其中min{x，y，z}表示x，y，z中的最小者.下列说法错误的是( )
A.函数f(x)为偶函数
B.若x∈[1，＋∞)时，有f(x－2)≤f(x)
C.若x∈R时，f(f(x))≤f(x)
D.若x∈[－4，4]时，|f(x)－2|≥f(x)
解析 法一 由f(x)＝min{|x－2|，x2，|x＋2|}，得f(－x)＝min{|－x－2|，(－x)2，|－x＋2|}＝f(x)，即函数f(x)为偶函数；如图，作出函数f(x)的图象，将f(x)的图象向右平移2个单位长度知f(x－2)的图象在[1，＋∞)上的部分位于f(x)的图象的下方，则有f(x－2)≤f(x)；令f(x)＝u≥0，则由图象知f(u)≤u，由排除法知D错误，故选D.
法二 若x∈[－4，4]，则0≤f(x)≤2，故|f(x)－2|＝2－f(x)≥f(x)等价于0≤f(x)≤1，所以当x∈[－4，4]时，|f(x)－2|≥f(x)不恒成立.否定一个结论，只需给出一个反例即可.取x＝4，则|f(4)－2|＝0
0.
当x∈时，y＝cos x<0.
结合y＝f(x)，x∈[0，4]上的图象知，当1＜x<时，<0.
又函数y＝为偶函数，
∴在[－4，0]上，<0的解集为，
所以<0的解集为∪.
答案 ∪
规律方法 (1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解.
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
【训练3】 (1)(角度1)已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足f(－x)＝f(x)，且在(0，＋∞)上单调递减，g(1－x)＝g(1＋x)，且在(1，＋∞)上单调递减，设函数F(x)＝[f(x)＋g(x)＋|f(x)－g(x)|]，则对任意x∈R，均有( )
A.F(1－x)≥F(1＋x) B.F(1－x)≤F(1＋x)
C.F(1－x2)≥F(1＋x2) D.F(1－x2)≤F(1＋x2)
(2)(角度2)已知当x∈[0，1]时，函数y＝(mx－1)2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是________.
(3)(角度3)已知函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，如图所示，则不等式f(x)>f(－x)－2x的解集是______.
解析 (1)因为F(x)＝根据题意，F(x)的示意图可表示为如图中的实线部分，所以有F(1－x2)≥F(1＋x2)，故选C.
(2)y＝(mx－1)2＝m2，相当于y＝x2向右平移个单位，再将函数值放大m2倍得到的；
y＝＋m相当于y＝向上平移m个单位.
①若0＜m≤1，两函数的图象如图1所示，可知两函数在x∈[0，1]上有且只有1个交点，符合题意.
②若m＞1，两函数的大致图象如图2所示.
为使两函数图象在x∈[0，1]上有且只有1个交点，只需(m－1)2≥1＋m，得m≥3或m≤0(舍去).
综上，m∈(0，1]∪[3，＋∞).
(3)由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为f(x)>－x.
在同一直角坐标系中分别画出y＝f(x)与y＝－x的图象，由图象可知不等式的解集为(－1，0)∪(1，].
答案 (1)C (2)(0，1]∪[3，＋∞)
(3)(－1，0)∪(1，]
基础巩固题组
一、选择题
1.为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x图象上所有的点( )
A.向右平行移动2个单位长度
B.向右平行移动1个单位长度
C.向左平行移动2个单位长度
D.向左平行移动1个单位长度
解析 因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象.
答案 B
2.(2020·镇海中学模拟)小明站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车从点A出发的运动轨迹如图所示.设小明从点A开始随动点P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为( )
解析 结合小明观察小车的运动轨迹可以看到，其观察视角从一开始增大，然后减小，有一段几乎没有发生变化，然后再减小，最后呈增大趋势，结合选项可知D正确.
答案 D
3.使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范围是( )
A.(－1，0) B.[－1，0)
C.(－2，0) D.[－2，0)
解析 在同一直角坐标系内作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)，故选A.
答案 A
4.(2019·绍兴适应性考试)函数y＝(x3－x)ln|x|的图象是( )
解析 设f(x)＝y＝(x3－x)ln|x|，易得函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝[(－x)3－(－x)]·ln|－x|＝－(x3－x)ln|x|＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，函数图象关于原点中心对称，所以排除B；当0＜x＜1时，f(x)＝(x3－x)ln x，因为x3－x＜0，ln x＜0，所以f(x)＝(x3－x)ln x＞0，所以排除A；当x＞1时，f(x)＝(x3－x)ln x，因为x3－x＞0，ln x＞0，所以f(x)＝(x3－x)ln x＞0，所以排除D，故选C.
答案 C
5.(2020·杭州质检)函数f(x)＝(其中e为自然对数的底数)的图象可能是( )
解析 由题意得函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝＝－＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，函数图象关于原点中心对称，排除B，D；f(x)＝＝＝1＋＝1＋，所以当x→＋∞时，f(x)→1，排除A，故选C.
答案 C
6.已知函数f(x)＝则方程f＝1的实根个数为( )
A.8 B.7
C.6 D.5
解析 由f(x)的解析式可以在平面直角坐标系中画出简图，如图所示，通过图象易知f(x)＝1有四个根，分别为x＝－1，，1或3，即x＋－2可能取该四个值，分别对应x＋＝1或
或3或5，整理得，x2－x＋1＝0 ①，x2－x＋1＝0 ②，x2－3x＋1＝0 ③，x2－5x＋1＝0 ④，Δ1＜0，Δ2＞0，Δ3＞0，Δ4＞0，所以实根有6个，故选C.
答案 C
二、填空题
7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________.
解析 当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b(k≠0).
则得∴y＝x＋1.
当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1(a≠0).
∵图象过点(4，0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.
答案 f(x)＝
8.(2020·绍兴适应性考试)已知函数f(x)＝若a＞0，b＜0，且f(a)＝f(b)，则f(a＋b)的取值范围是________.
解析 在平面直角坐标系内画出函数f(x)的图象如图所示，由图易得要使a＞0，b＜0，f(a)＝f(b)，则a＞0，b＜－，且－2b－3＝a2，则b＝，则a＋b＝a＋＝－(a－1)2－1，当a＞0时，a＋b＝－(a－1)2－1∈(－∞，－1]，所以f(a＋b)＝－2(a＋b)－3∈[－1，＋∞).
答案 [－1，＋∞)
9.函数y＝为________函数(填“奇”或“偶”)，函数f(x)＝＋1的对称中心为________.
解析 y＝的定义域为R，记g(x)＝，则g(－x)＝＝＝－g(x)，∴g(x)即y＝是奇函数；函数f(x)的定义域为R，f(－x)＋f(x)＝＋1＋＋1＝＋2＝4，故f(x)的对称中心为(0，2).
答案 奇 (0，2)
10.函数f(x)的定义域为[－1，1]，图象如图1所示；函数g(x)的定义域为[－2，2]，图象如图2所示.方程f(g(x))＝0有m个实数根，方程g(f(x))＝0有n个实数根，则m＝__________，n＝__________.
解析 由题图1可知，若f(g(x))＝0，则g(x)＝－1或g(x)＝0或g(x)＝1，由题图2知，g(x)＝－1时，x＝－1或x＝1；g(x)＝0时，x＝－或x＝0或x＝；g(x)＝1时，x＝2或x＝－2，故m＝7.若g(f(x))＝0，则f(x)＝－或f(x)＝或f(x)＝0，由题图1知，f(x)＝与f(x)＝－对应的x值各有2个，f(x)＝0时，x＝－1或x＝1或x＝0，故n＝7.
答案 7 7
三、解答题
11.已知函数f(x)＝
(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；
(2)写出f(x)的单调递增区间；
(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值.
解 (1)函数f(x)的图象如图所示.
(2)由图象可知，
函数f(x)的单调递增区间为[－1，0]，[2，5].
(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，
当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.
12.已知f(x)＝|x2－4x＋3|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)求函数f(x)的单调区间，并指出其单调性；
(3)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}.
解 (1)当x2－4x＋3≥0时，x≤1或x≥3，
∴f(x)＝
∴f(x)的图象为：
(2)由函数的图象可知f(x)的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，[3，＋∞)，其中(－∞，1]，(2，3)是减区间；(1，2]，[3，＋∞)是增区间.
(3)由f(x)的图象知，当00
C.f(x1)－f(x2)>0 D.f(x1)－f(x2)<0
解析 函数f(x)的图象如图所示：
且f(－x)＝f(x)，从而函数f(x)是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数.
又0<|x1|<|x2|，∴f(x2)>f(x1)，
即f(x1)－f(x2)<0.
答案 D
15.已知f(x)＝则函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点个数是________.
解析 由2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0得f(x)＝或f(x)＝1.
作出函数y＝f(x)的图象.
由图象知y＝与y＝f(x)的图象有2个交点，y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点.
因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零点有5个.
答案 5
16.(2020·嘉兴测试)已知函数f(x)＝
(1)若对任意的x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，则实数k的取值范围为________；
(2)若存在x∈R，使|f(x)|≤k，则实数k的取值范围是________.
解析 (1)对任意x∈R，都有f(x)≤|k－1|成立，
即f(x)max≤|k－1|.
因为f(x)的草图如图所示，
观察f(x)＝的图象可知，当x＝时，函数f(x)max＝，
所以|k－1|≥，解得k≤或k≥.
(2)|f(x)|的图象如图所示且|f(x)|∈[0，＋∞)，∵存在x∈R，使|f(x)|≤k，故k的取值范围是[0，＋∞).
答案 (1)∪
(2)[0，＋∞)
17.已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若g(x)＝f(x)＋，g(x)在区间(0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围.
解 (1)设f(x)图象上任一点坐标为(x，y)，
∵点(x，y)关于点A(0，1)的对称点(－x，2－y)在h(x)的图象上，
∴2－y＝－x＋＋2，∴y＝x＋，即f(x)＝x＋.
(2)由题意g(x)＝x＋，
且g(x)＝x＋≥6，x∈(0，2].
∵x∈(0，2]，∴a＋1≥x(6－x)，
即a≥－x2＋6x－1.
令q(x)＝－x2＋6x－1，x∈(0，2]，
q(x)＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8，
∴当x∈(0，2]时，q(x)是增函数，q(x)max＝q(2)＝7.
故实数a的取值范围是[7，＋∞).
18.已知函数f(x)＝x2－ax－4(a∈R)的两个零点为x1，x2，设x10时，证明：－2＝a，∴<0.∵a>0，
∴<＝a＋4，∴>＝－2.∴－2|2x－a|(x>2).
当a＝0时，显然不成立，
若a>0，作出y＝2x和y＝|2x－a|的函数图象如图：
∴0<≤2，解得00不成立，不符合题意.
综上，a的取值范围是(0，8].
