2021高考数学大一轮复习考点规范练21函数y=Asinωx+φ的图象及应用理新人教A版

2021高考数学大一轮复习考点规范练21函数y=Asinωx+φ的图象及应用理新人教A版

考点规范练21　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 ‎　考点规范练A册第13页　 ‎ 基础巩固 ‎1.已知简谐运动f(x)=2sinπ‎3‎x+φ‎|φ|<‎π‎2‎的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)‎ A.T=6,φ=π‎6‎ B.T=6,φ=‎π‎3‎ C.T=6π,φ=π‎6‎ D.T=6π,φ=‎π‎3‎ 答案:A 解析:最小正周期为T=‎2ππ‎3‎=6;‎ 由2sinφ=1,得sinφ=‎1‎‎2‎,又|φ|<π‎2‎,所以φ=‎π‎6‎‎.‎ ‎2.函数y=sin‎2x-‎π‎3‎在区间‎-π‎2‎,π上的简图是(　　)‎ 答案:A 解析:令x=0,得y=sin‎-‎π‎3‎=-‎3‎‎2‎,排除B,D.‎ 由f‎-‎π‎3‎=0,fπ‎6‎=0,排除C,故选A.‎ ‎3.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)‎ 9‎ A.5 B.6 C.8 D.10‎ 答案:C 解析:因为sinπ‎6‎x+φ‎∈‎[-1,1],‎ 所以函数y=3sinπ‎6‎x+φ+k的最小值为k-3,最大值为k+3.‎ 由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.‎ 所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.‎ ‎4.先将函数y=sinx+‎π‎6‎的图象上所有的点向左平移π‎4‎个单位长度,再将图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),则所得图象对应的函数解析:式为(　　)‎ A.y=sin‎2x+‎‎5π‎12‎ B.y=sin‎1‎‎2‎x+‎‎5π‎12‎ C.y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎12‎ D.y=sin‎1‎‎2‎x+‎‎5π‎24‎ 答案:B 解析:将函数y=sinx+‎π‎6‎的图象上所有的点向左平移π‎4‎个单位长度,得到函数y=sinx+‎π‎4‎‎+‎π‎6‎=sinx+‎5π‎12‎的图象,将函数y=sinx+‎‎5π‎12‎的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=sin‎1‎‎2‎x+‎‎5π‎12‎的图象.故选B.‎ ‎5.(2019河北衡水中学月考)将函数f(x)=sin 2x图象上的所有点向右平移π‎4‎个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)在区间[0,a]上单调递增,则a的最大值为(　　)‎ A‎.‎π‎8‎ B‎.‎π‎4‎ C‎.‎π‎6‎ D‎.‎π‎2‎ 答案:D 9‎ 解析:由题意可知,g(x)=sin‎2‎x-‎π‎4‎=-cos2x.由2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z),得kπ≤x‎≤‎π‎2‎+kπ(k∈Z),当k=0时,0≤x‎≤‎π‎2‎,故g(x)在区间‎0,‎π‎2‎上单调递增.故a的最大值为π‎2‎‎.‎ ‎6.若函数f(x)=2sin 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后得到函数g(x)的图象,若对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为π‎6‎,则φ=(　　)‎ A‎.‎π‎6‎ B‎.‎π‎4‎ C‎.‎π‎3‎ D‎.‎‎5π‎12‎ 答案:C 解析:由函数f(x)=2sin2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后得到函数g(x)=2sin[2(x-φ)]的图象,可知对满足|f(x1)-g(x2)|=4的x1,x2,有|x1-x2|的最小值为T‎2‎-φ.故T‎2‎-φ=π‎6‎,即φ=‎π‎3‎‎.‎ ‎7.(2019云南昆明第一中学模拟)已知函数f(x)=‎1‎‎2‎cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则φ的值为(　　)‎ A‎.‎π‎6‎ B‎.‎π‎3‎ C.-π‎6‎ D.-‎π‎3‎ 答案:A 解析:由图象可得‎3T‎4‎‎=‎11‎‎12‎-‎1‎‎6‎=‎‎3‎‎4‎,所以T=1,所以ω=2π,则f(x)=‎1‎‎2‎cos(2πx+φ).又f(x)的图象过点‎11‎‎12‎‎,‎‎1‎‎2‎,即‎1‎‎2‎cos‎11π‎6‎‎+φ‎=‎‎1‎‎2‎,所以‎11π‎6‎+φ=2kπ(k∈Z),即φ=-‎11π‎6‎+2kπ(k∈Z).又|φ|<π,所以φ=‎π‎6‎‎.‎ ‎8.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0,ω>0,-‎π‎2‎<φ<π‎2‎的部分图象如图所示,则当x∈[-1,1]时,函数f(x)的值域为(　　)‎ 9‎ A‎.‎‎-1,‎‎2‎‎2‎ B‎.‎‎2‎‎2‎‎,1‎ C‎.‎‎-‎2‎‎2‎,1‎ D.[-1,1]‎ 答案:B 解析:由题意,知A=1,‎2πω=16,则ω=π‎8‎,∴f(x)=sinπ‎8‎x+φ,‎ 把(1,1)代入可得π‎8‎+φ=π‎2‎+2kπ,k∈Z.‎ ‎∵-π‎2‎<φ<π‎2‎,∴φ=‎3π‎8‎,‎ ‎∴f(x)=sinπ‎8‎x+‎‎3π‎8‎,当x∈[-1,1]时,函数f(x)的值域为‎2‎‎2‎‎,1‎‎.‎ ‎9.将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π‎2‎≤φ≤‎π‎2‎图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π‎6‎个单位长度得到y=sin x的图象,则fπ‎6‎=　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎‎2‎ 解析:函数f(x)=sin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,得到y=sin(2ωx+φ)的图象,再向右平移π‎6‎个单位长度,得到y=sin‎2ωx-‎π‎6‎+φ=sin‎2ωx-ωπ‎3‎+φ的图象.‎ 由题意知sin‎2ωx-ωπ‎3‎+φ=sinx,‎ 所以2ω=1,-ωπ‎3‎+φ=2kπ(k∈Z),‎ 又-π‎2‎‎≤φ≤‎π‎2‎,所以ω=‎1‎‎2‎,φ=π‎6‎,‎ 所以f(x)=sin‎1‎‎2‎x+‎π‎6‎,‎ 所以fπ‎6‎=sin‎1‎‎2‎‎×π‎6‎+‎π‎6‎=sinπ‎4‎‎=‎2‎‎2‎.‎ ‎10.已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=　　　　　. ‎ 9‎ 答案:‎π‎3‎ 解析:函数f(x)=sin2x的图象在y轴右侧的第一个对称轴为2x=π‎2‎,则x=π‎4‎‎.‎x=π‎8‎关于x=π‎4‎对称的直线为x=‎3π‎8‎,由图象可知,通过向右平移之后,横坐标为x=‎3π‎8‎的点平移到x=‎17π‎24‎,则φ=‎‎17π‎24‎‎-‎3π‎8‎=π‎3‎.‎ ‎11.将函数f(x)的图象向左平移π‎3‎个单位长度后,得到g(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎的图象,则f(x)=　　　　　. ‎ 答案:-2cos 2x 解析:由题意可知,把g(x)=2sin‎2x+‎π‎6‎的图象向右平移π‎3‎个单位长度后,得到f(x)=2sin‎2x-‎π‎3‎+‎π‎6‎=2sin‎2x-‎π‎2‎=-2cos2x的图象.‎ ‎12.设函数f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎,则下列命题:‎ ‎①f(x)的图象关于直线x=π‎3‎对称;‎ ‎②f(x)的图象关于点π‎6‎‎,0‎对称;‎ ‎③f(x)的最小正周期为π,且在区间‎0,‎π‎12‎上为增函数;‎ ‎④把f(x)的图象向右平移π‎12‎个单位长度,得到一个奇函数的图象.‎ 其中正确的命题的序号为　　　　　. ‎ 答案:③④‎ 解析:对于①,fπ‎3‎=sin‎2×π‎3‎+‎π‎6‎=sin‎5π‎6‎‎=‎‎1‎‎2‎,不是最值,因此x=π‎3‎不是函数f(x)的图象的对称轴,故该命题错误;‎ 9‎ 对于②,fπ‎6‎=sin‎2×π‎6‎+‎π‎6‎=1≠0,因此点π‎6‎‎,0‎不是函数f(x)的图象的对称中心,故该命题错误;‎ 对于③,函数f(x)的最小正周期为T=‎2π‎2‎=π,当x‎∈‎‎0,‎π‎12‎时,令t=2x+π‎6‎‎∈‎π‎6‎‎,‎π‎3‎,显然函数y=sint在区间π‎6‎‎,‎π‎3‎上为增函数,因此函数f(x)在区间‎0,‎π‎12‎上为增函数,故该命题正确;‎ 对于④,把f(x)的图象向右平移π‎12‎个单位长度后所对应的函数为g(x)=sin‎2x-‎π‎12‎+‎π‎6‎=sin2x,是奇函数,故该命题正确.‎ 能力提升 ‎13.若关于x的方程2sin‎2x+‎π‎6‎=m在区间‎0,‎π‎2‎上有两个不等实根,则m的取值范围是(　　)‎ A.(1,‎3‎) B.[0,2] C.[1,2) D.[1,‎3‎]‎ 答案:C 解析:方程2sin‎2x+‎π‎6‎=m可化为sin‎2x+‎π‎6‎‎=‎m‎2‎,当x‎∈‎‎0,‎π‎2‎时,2x+‎π‎6‎‎∈π‎6‎‎,‎‎7π‎6‎.‎ 画出函数y=f(x)=sin‎2x+‎π‎6‎在x‎∈‎‎0,‎π‎2‎上的图象如图所示.‎ 由题意,得‎1‎‎2‎‎≤‎m‎2‎<1,即1≤m<2,‎ ‎∴m的取值范围是[1,2),故选C.‎ ‎14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正常数)的最小正周期为π,当x=‎2π‎3‎时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是(　　)‎ A.f(2)0,f(2)=Asin‎4+‎π‎6‎‎=‎‎3‎‎2‎Asin4+A‎2‎cos4<0,f(-2)=Asin‎-4+‎π‎6‎=-‎3‎‎2‎Asin4+A‎2‎cos4.‎ 因为f(2)-f(-2)=‎3‎Asin4<0,‎ 所以f(2)sinπ+‎π‎6‎=-‎1‎‎2‎,即sin‎4-‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎2‎>0,所以f(-2)0,‎‎4a≥‎2π‎3‎,‎‎4a<‎7π‎6‎,‎解得π‎6‎‎≤‎a<‎‎7π‎24‎‎.‎ ‎16.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图象关于点‎2π‎3‎‎,0‎对称,若将函数f(x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到一个偶函数的图象,则实数m的最小值为　　　　　. ‎ 答案:‎π‎12‎ 解析:∵函数f(x)的图象关于点‎2π‎3‎‎,0‎对称,‎ ‎∴2‎×‎‎2π‎3‎+φ=kπ+π‎2‎(k∈Z),解得φ=kπ-‎5π‎6‎,k∈Z.‎ ‎∴f(x)=cos‎2x+kπ-‎‎5π‎6‎,k∈Z.‎ ‎∵f(x)的图象向右平移m个单位长度得到函数y=cos2x-2m+kπ-‎5π‎6‎,k∈Z为偶函数,‎ ‎∴x=0为其对称轴,即-2m+kπ-‎5π‎6‎=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=‎(k-k‎1‎)π‎2‎‎-‎‎5π‎12‎(k∈Z,k1∈Z),‎ ‎∵m>0,∴m的最小正值为π‎12‎,此时k-k1=1,k∈Z,k1∈Z.‎ ‎17.已知函数y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎‎.‎ ‎(1)用五点法作出函数的图象;‎ ‎(2)说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.‎ 解:(1)列表:‎ x π‎2‎ ‎3π‎2‎ ‎5π‎2‎ ‎7π‎2‎ ‎9π‎2‎ ‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎ ‎0‎ π‎2‎ π ‎3π‎2‎ ‎2π ‎3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎-3‎ ‎0‎ 描点、连线,如图所示:‎ 9‎ ‎(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.‎ 先把y=sinx的图象上所有点向右平移π‎4‎个单位,得到y=sinx-‎π‎4‎的图象,再把y=sinx-‎π‎4‎的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图象,最后将y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图象.‎ ‎(方法二)“先伸缩,后平移”‎ 先把y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin‎1‎‎2‎x的图象,再把y=sin‎1‎‎2‎x图象上所有的点向右平移π‎2‎个单位,得到y=sin‎1‎‎2‎x-‎π‎2‎=sinx‎2‎‎-‎π‎4‎的图象,最后将y=sinx‎2‎‎-‎π‎4‎的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin‎1‎‎2‎x-‎π‎4‎的图象.‎ 高考预测 ‎18.已知函数f(x)=sin ωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=sinωx+‎π‎4‎的图象,只要将y=f(x)的图象(　　)‎ A.向左平移π‎4‎个单位长度 B.向右平移π‎4‎个单位长度 C.向左平移π‎8‎个单位长度 D.向右平移π‎8‎个单位长度 答案:C 解析:∵f(x)=sinωx(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,∴ω=2.‎ ‎∴f(x)=sin2x,g(x)=sin‎2x+‎π‎4‎‎.‎ ‎∴将y=f(x)的图象向左平移π‎8‎个单位长度得到函数g(x)=sin‎2x+‎π‎4‎的图象,故选C.‎ 9‎