高二数学人教A版选修4-5 第三讲柯西不等式与排序不等式复习导学案x

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高二数学人教A版选修4-5 第三讲柯西不等式与排序不等式复习导学案x

第三讲柯西不等式与排序不等式复习 一、知识梳理 二、题型、技巧归纳 题型一、利用柯西不等式证明简单不等式 柯西不等式形式优美、结构易记,因此在解题时,根据题目特征灵活运用柯西不等式,可证明一些简单不等式.‎ 例1已知a,b,c是实数,且a+b+c=1,求证:++≤4.‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.设a,b,x,y都是正数,且x+y=a+b,求证:+≥.‎ 题型二、排序原理在不等式证明中的应用 应用排序不等式的技巧在于构造两个数组,而数组的构造应从需要入手来设计,这一点应从所要证的式子的结构观察分析,再给出适当的数组.‎ 例2已知a,b,c为正实数,求证:a+b+c≤++.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.设a,b,c∈R+,求证:a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.‎ 题型三、利用柯西不等式、排序不等式求最值 有关不等式的问题往往要涉及到对式子或量的范围的限制,柯西不等式、排序不等式为我们通过不等式求最值提供了新的有力工具,但一定要注意取等号的条件能否满足.‎ 例3 设a,b,c为正实数,且a+2b+3c=13,求++的最大值.‎ ‎[再练一题]‎ ‎3.已知实数a,b,c,d,e满足a2+b2+c2+d2+e2=16.求a+b+c+d+e的最大值.‎ 三、随堂检测 ‎1.已知关于x的不等式|x+a|0,b>0,c>0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.‎ ‎(1)求a+b+c的值;‎ ‎(2)求a2+b2+c2的最小值.‎ ‎3.已知x>1,y>1,且lg x+lg y=4,那么lg x·lg y的最大值是(  )‎ A.2      B.       C.        D.4‎ ‎4.已知a,b∈R+,且a+b=1,则(+)2的最大值是(  )‎ A.2 B. C.6 D.12‎ ‎5.数列{an}的通项公式an=,则数列{an}中的最大项是(  )‎ A.第9项 B.第8项和第9项 C.第10项 D.第9项和第10项 参考答案 ‎1.【解】 (1)由|x+a|0,b>0,所以|a+b|=a+b,‎ 所以f(x)的最小值为a+b+c.‎ 又已知f(x)的最小值为4,所以a+b+c=4.‎ ‎(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式,得 (4+9+1)≥‎ 2=(a+b+c)2=16,即a2+b2+c2≥.‎ 当且仅当==,即a=,b=,c=时等号成立,故a2+b2+c2的最小值是.‎ ‎3.【解析】 ∵4=lg x+lg y≥2,‎ ‎∴lg x·lg y≤4.‎ ‎【答案】 D ‎4.【解析】 (+)2‎ ‎=(1×+1×)2‎ ‎≤(12+12)(4a+1+4b+1)‎ ‎=2[4(a+b)+2]‎ ‎=2×(4×1+2)=12,‎ 当且仅当=,‎ 即a=b=时等号成立.故选D.‎ ‎【答案】 D ‎5.【解析】 an==≤=,‎ 当且仅当n=,即n=3时等号成立.‎ 又n∈N+,检验可知选D.‎ ‎【答案】 D
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