2020年辽宁省抚顺一中高考高考数学二模试题(含解析)

2020年辽宁省抚顺一中高考高考数学二模试题(含解析)

2020 年辽宁省抚顺一中高考高考数学二模试题 一、单选题 1．若函数 2y cos x 与函数  y sin x   在区间 0, 2      上的单调性相同，则 的一个值是（ ） A． 6  B． 4  C． 3  D． 2  2．函数 cos x xy e  的图像大致是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合  2| 2 5 3 0A x x x    ， 1| 2B x y x        ，则 A B  A． 12, 2     B． 12, 2     C． 3, 2  D． 3, 2  4．已知双曲线 ͳ ܽ ܽ 学科网的左、右焦点分别是 Fl，F2，过 F2 的直线交双 曲线的右支于 P,Q 两点，若｜PF1｜＝｜F1F2｜，且 3｜PF2｜="2" ｜QF2｜，则该双曲线的离心率 为（ ） A． B． C．2 D． ͳܽ 5．设 2019log 2020a  ， 2020log 2019b  ， 1 20192020c  ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ） A． c a b  B． c b a  C． a b c  D． a c b  6．如图是二次函数 f（x）= 1 2 x2-bx+c 的部分图象，则函数 g（x）=ln x+f ' （x）的零点所在的区 间是（ ） A． 1 1,4 2      B． 1 ,12      C． 1,2 D． 2,3 7．已知变量 x ， y 满足约束条件 2 0 6 0 1 0 x y x y x           ，则 2z x y  的最小值为 A． 2 B． 2 C． 3 D． 1 8．（福建省厦门市 2018 届二模）复数 z 满足  2 3 4i z i   ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，P 为面 1 1BCB C 所在的平面内与 1B 不重合任意一点，则直线 1AC 与直线 1B P 所成角的余弦值的最大值为（ ） A． 3 3 B． 1 2 C． 3 2 D． 6 3 10．在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于 的概率是( ) A． ͳ B． ͳ C． ͳ D． ͳ 11．某人向北走 3 米，再向西走 3 米，则他两次位移的和是（ ）． A．向北 3 B．向西 3 米 C．向西北 6 米 D．向西北3 2 米 12．若等差数列 na 的公差 2d  ， 8 7: 7 :8a a  ，则 1a  （ ） A． 15 B． 28 C．15 D．28 二、填空题 13．已知 , ,OA OB OC 三条线段两两垂直，长分别是 2, ,5x ，且 , , ,O A B C 4 个点都在同一个球面 上，这个球的表面积为 38 ，则 x 的值____． 14．在数列 na 中， 1 1 4a  ， 2 1 5a  ，且 1 2 2 3 1 1 1n n na a a a a a na a         ，则 10 11 84 1 1 1 a a a     _______. 15．点        0,1 , 1,2 , 3, 2 , 4,A B C D m 在同一个圆上,则 m  ________. 16．春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额 y (单位:万元)与当天的平均气温 x (单位:℃)有关.现收集了春节期间这个销售公司 4 天的 x 与 y 的数据列于下表: 平均气温(℃) 2 3 5 6 销售额(万元) 20 23 27 30 由以上数据,求得 y 与 x 之间的线性回归方程 y b x a      的系数 12 5b    ,则 a  ______ 三、解答题 17．如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形， ADC 为直角， AP  平面 ABCD ， : : 5: 4 : 2BC AD CD  ，且 1CD  . （1）求证： BP AC ； （2）若 AP CD ，求二面角 D PC B  的余弦值. 18．已知函数   ln 1f x x ax   ，    xg x x e x  . （1）若直线 2y x 与函数  f x 的图象相切，求实数 a 的值； （2）当 1a   时，求证：     2f x g x x  . 19．在直角坐标系 xOy 中，已知直线 1l ： cos sin ( x t y t t     为参数 ) ， 2l ： cos 4 ( sin 4 x t t y t                 为参数 ) ，其中 30, 4      ，以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 4cos 0   ．  1 写出 1l ， 2l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；  2 设 1l ， 2l 分别与曲线 C 交于点 A， (B 非坐标原点 ) ，求 AB 的值． 20．在 ABC 中， 5, 3,sin 2sinBC AC C A   ． (1)求边长 AB 的值； (2)求 ABC 的面积． 21．已知 ( ) 1 2f x x x m    ． （1）当 m＝－3 时，求不等式 ( ) 6f x  的解集； （2）设关于 x 的不等式 ( ) 2 4f x x  的解集为 M，且 11, 2 M     ，求实数 m 的取值范围. 22．平面上动点 到点 ܽͳ 的距离比它到直线 的距离小 ͳ ． (Ⅰ) 求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）过点 作直线与曲线 交于两点 两 ，与直线 交于点 ，求 两 的最小值． 23．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名 学生在相同条件下各射箭 10 次，命中的环数如下： 甲 8 9 7 9 7 6 10 10 8 6 乙 10 9 8 6 8 7 9 7 8 8 (1)计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差； (2)比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛． 【答案与解析】 1．D 可把 A，B，C，D 四个选项中的值分别代入题设中进行验证，只有 D 项的符合题意． 解： 2y cos x 在区间 0, 2      上是减函数， sin 6y x      在 0, 3      上单调增，在 ,3 2       上单调减，故排除 A． sin 4y x      在 0, 4       单调增，在 ,4 2       上单调减，故排除 B． sin 3y x      在 0 6,     单调增，在 ,6 2       上单调减，故排除 C． sin 2y x      在区间 0, 2      上也是减函数， 故选：D． 本题考查了三角函数的性质，需熟记三角函数的性质，属于基础题. 2．D 根据函数为偶函数去掉 A,B，再根据函数值去掉 C. 令   cos x xf x e  ，则    f x f x  ，函数为偶函数，排除 AB 选项； 当 x   时， 1 1 0xx ee   ，而  cos 1,1x  ，则   cos 0x xf x e   ， 排除选项 C. 本题选择 D 选项. 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 3．B 先解不等式得集合 A，求定义域得集合 B，再根据交集定义求结果. 因为 2{ | 2 5 3 0}A x x x    = 13, 2     ,  1  { | } 2,2B x y x      , 所以 12, 2A B       ,选 B. 本题考查集合交集定义以及解不等式、求函数定义域，考查基本求解能力. 4．A 试题分析：由题意得｜PF1｜＝｜F1F2｜=2c,由双曲线的定义｜PF2｜=2c-2a,又因为 3｜PF2｜="2" ｜ QF2｜，所以｜QF2｜=3c-3a,则｜QF1｜=3c-a,因为 , 所以 ，由余弦定理的推论得 ，化简并整理得 ，即 ，解得 （舍去），所以答案为 A 考点：求双曲线的离心率． 5．A 先分别与 1 比较， ,a b 乘以 2 后再与 1 比较可得． 2019log 2020 1 ， 2020log 2019 1 ， 1 20192020 1 ， 又 2019 2019 1 1log 2020 log 20202 2   ， 2020 2020 1 1log 2019 log 20192 2   ， 所以b a c  ． 故选：A． 本题考查幂的对数的大小比较，对不同类型的数可借助中间值如 0 或 1 等比较．然后得出大小关系． 6．B 由二次函数图象的对称轴确定 b 的范围，据 g（x）的表达式计算 g（ 1 2 ）和 g（1）的值的符号， 从而确定零点所在的区间． 由图可知，0＜b＜1，0＜c＜1，b-c= 1 2 ， ∴ 1 2 ＜b＜1，g（x）=ln x+x-b 为增函数， g（1）=1-b＞0，g（ 1 2 ）=-ln2+ 1 2 -b＜0， 故零点所在的区间为（ 1 2 ，1）． 故选 B 本题主要考查二次函数的图象和性质，导数的运算、函数零点的判定定理的应用，属于基础题． 7．C 分析：作出不等式对应的平面区域，结合图象，得到在点 B 时， 2x y 有最小值，即可求解． 详解：作出不等式组对应的平面区域，如图所示， 由图可知当在点 B 时， 2x y 有最小值， 此时联立 1 6 0 x x y      ，解得 1, 5x y  ，此时 2 1 5 3mimz      ，故选 C． 点睛：本题主要考查了线性规划求最值，对于线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出 可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维 问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应 用问题. 8．D 分析：先利用复数模的公式求得 3 4i ，然后两边同乘以 2 i ，利用复数运算的乘法法则化简， 即可得结果 详解：  2 i 3 4i 9 16 5z      ,     2 i 2 i 5 2 iz     ,  5 5 2 i , 2 iz z    ， z 在复平面内对应的点  2, 1 ，在第四象限，故选 D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解， 掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数 的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 9．D 根据 P 为面 1 1BCB C 所在的平面内与 1B 不重合任意一点，过点 1C 作 1 1/ /C Q B P ，过点 A 作 1/ /AQ C Q ，则 1AC Q 是直线 1AC 与直线 1B P 所成角，然后在 1Rt AC Q 中，由 1 1 1 cos C QAC Q AC   ， 结合 1AQ AB  求解. 如图所示： 设正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1，则 1 12, 3BC AC  ， 过点 1C 作 1 1/ /C Q B P ，点 A 作 1AQ C Q ， 则 1AC Q 是直线 1AC 与直线 1B P 所成角， 因为 AB  平面 1 1BCC B ， 所以 1AQ AB  ， 所以在 1Rt AC Q 中， 2 1 1 1 3 2 6cos 33 3 AQC QAC Q AC      ， 故选：D 本题主要考查异面直线所成的角的计算，还考查了转化化归的思想和空间想象、运算求解的能力， 属于中档题. 10．A 求出所有基本事件构成的区域面积，求出事件 A 构成的区域面积，利用几何概型概率公式求出事件 A 的概率． 根据题意：设取出两个数为 x，y 则所有的基本事件构成 晦 ， ܽ ＜ ＜ ͳ ܽ ＜ ＜ ͳ 所以 S（Ω）＝1 设“两数之和小于 ”为事件 A，则 A 晦 ， ܽ ＜ ＜ ͳ ܽ ＜ ＜ ͳ ＜ ， 所以 S（A）＝1 ͳ ͳ 所以由几何概型的概率公式可得：P（A） ͳ 故选 A. 本题考查了利用几何概型概率公式求事件的概率的问题，关键是求出满足条件的区域的面积． 11．D 位移是起点到终点的矢量关系，所以最终位移是向西北 3 2 米，故选 D． 点睛：本题考查向量的加法法则中的三角形法则．本题中首先理解位移的物理性质为起点到终点的 矢量关系，所以最终位移是向西北3 2 米． 12．B 由题意可设 8 7a k ， 7 8a k ，根据等差数列的定义可得 k 的值，从而可得 7a 的值，根据 1 7 6a a d  即可得结果. 设 8 7a k ， 7 8a k ， 8 7 7 8 2a a k k k      ，则 2k   . 即 7 16a   ，故 1 7 6 16 12 28a a d       ， 故选：B. 本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列定义的合理运用． 13．3 由 , ,OA OB OC 三条线段两两垂直，可以想到长方体模型，通过球的表面积，可以求出球的直径， 而球的直径恰好是长方体的对角线，通过计算得出 x 的值． 设球的半径为 R ，球的表面积为 38 ， 24 38 2 38,R R     已知 , ,OA OB OC 三条线段两两垂直，构造如下图所示的长方体： 2 2 22 3AD R OA OB OC x      ， x 的值为 3. 本题考查了四点共球问题,考查了补体的思想，属于基础题． 14．3750 已知等式 1 2 2 3 1 1 1n n na a a a a a na a         中用 1n  替换 n ，后两式相减得 1 2 1 2 1 1( 1)n n n na a n a a na a         ，从而有 1 2 1 4 n n n n a a     ，此式中再用 1n  来取代 n 后两式 相减，可得 1 na       是等差数列，由此可得和． 由 1 2 2 3 1 1 1n n na a a a a a na a         ① 用 1n  来取代 n ，则 1 2 2 3 1 2 1 2( 1)n n na a a a a a n a a           ② 用②－①可得： 1 2 1 2 1 1( 1)n n n na a n a a na a         ， 由 1 1 4a  ，所以 1 2 1 4 n n n n a a     ③ 用 1n  来取代 n ，则 1 1 4 n n n n a a    ④ 用③－④得： 1 2 2 n n n n n n a a a    ，即 1 2 2 1 1 n n na a a    . 所以数列 1 na       是等差数列，首项为 1 1 4a  ，公差为 2 1 1 1 1d a a    ，则 1 3 n na   . 令 10 11 84 1 1 1T a a a     ，则 10 84 1 1 75 (10 3 84 3) 75 37502 2 a aT            . 故答案为：3750 本题考查等差数列的前 n 项和公式，解题中应用类比推理，即类比已知 nS 求 na 的方法，用 1n  （或 1n  ）替换等式中 n 后两式相减．化简已知条件，求得递推式或通项公式．这种方法得出的结论 要注意是否包含数列的首项． 15．  设经过点      0,1 , 1,2 , 3, 2A B C  的圆的方程为   2 2 2x a y b r    ,将三点的坐标代入方程 可解得圆的方程，从而将  4,D m 代入圆的方程可得解. 设经过点      0,1 , 1,2 , 3, 2A B C  的圆的方程为   2 2 2x a y b r    ,则           22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 2 a b r a b r a b r              ,解得 22, 0, 5a b r   ,所以经过点 , ,A B C 的圆的方程为  2 22 5x y   ,把  4,D m 代入圆的方程得 1m   . 故答案为 1m   . 本题主要考查圆的方程，属于简单题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标  ,x y ， 根据题意列出关于 ,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定 系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可. 16． 77 5 求出样本中心，代入回归直线方程．求解即可． 由题意可得： x = 2 3 5 6 4     =﹣4， y = 20 23 27 30 4    =25， ∴ ˆa = ˆy bx =25+  12 45   = 77 5 ． 故答案为： 77 5 ． 回归直线中样本中心一定在回归直线上，可以利用这一条件求出方程中的参数． 17．（1）证明见解析（2） 10 5  （1）根据 AP  平面 ABCD ，得到 AP AC ，根据勾股定理得到 AC AB ，从而得到 AC  平 面 ABP ，再得到 BP AC ；（2）以 A 为原点，建立空间直角坐标系，得到平面 BPC 的法向量 1n ur ， 平面 DPC 的法向量 2n uur ，根据向量夹角公式，从而得到求二面角 D PC B  的余弦值. 解：（1）证明：∵ AP  平面 ABCD ， AC  平面 ABCD ，∴ AP AC . ∵ : : 5: 4 : 2BC AD CD  ，且 1CD  ， ∴ 52, 2AD BC  ， ∴ 55, 2AC AB  ， ∴ 2 2 2BC AC AB  ，即 AC AB . 又 AP AB A ， ,AP AB  平面 ABP ∴ AC  平面 ABP . 又 BP  平面 ABP ， ∴ BP AC . （2）如图，过点 A 作 AF 垂直 BC 于点 F，由（1）知， AP AD . 又 ,AP AF AF AD  ， ∴ , ,AP AD AF 两两垂直， ∴以 A 为坐标原点， , ,AF AD AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立空间直角坐标系 A xyz ， 则 1(0,0,1), (0,0,0), 1, ,0 , (1,2,0), (0,2,0)2P A B C D    ， ∴ 50, ,0 , ( 1, 2,1), (1,0,0)2BC CP DC           . 设平面 BPC 的法向量 1 ( , , )n x y z ， 由 1 1 0, 0 BC n CP n          得 5 0,2 2 0, y x y z       ∴取 1 (1,0,1)n  . 设平面 DPC 的法向量  2 1 1 1, ,n x y z ， 由 2 2 0, 0 DC n CP n          得 1 1 1 1 0, 2 0, x x y z      ∴取 2 (0,1,2)n  . 设二面角 D PC B  的平面角为 ， 则 1 2 1 2 2 10cos 52 5 n n n n          ， 由图可知二面角 D PC B  为钝角， ∴二面角 D PC B  的余弦值为 10 5  . 本题考查线面垂直的判定，线面垂直的性质，利用空间想象求二面角，考查空间想象能力、运算求 解能力、推理论证能力，属于中档题. 18．（1） 1a   ；（2）见解析. （1）设出切点坐标，利用导数求得切线方程，对比系数求得 a 的值. （2）当 1a   时，构造函数      2F x x g x f x   ，利用导数求得  F x 的最小值为 0 ，由 此证得不等式     2f x g x x  成立. （1）设切点为   0 0,x f x ，由   1'f x ax   ，∴  0 0 1'f x ax   . ∴切线方程为：    0 0 0 0 1ln 1y x ax a x xx           .即 0 0 1 lny a x xx        . ∵直线 2y x 与函数  f x 的图象相切，∴ 0 1 2ax   ， 0ln 0x  . 解得 0 1x  ， 1a   . （2）证明：当 1a   时，   ln 1f x x x   ， 令      2 ln 1xF x x g x f x xe x x       ，      ' 1 1 11 1x xxe xxF exx x     . 令   1xG x xe  ， 0x  .则    ' 1 0xG x x e   ， ∴函数  G x 在  0,x  上单调递增. ∵  0 1G   ，  1 1 0G e   . ∴函数  G x 在区间 0,1 上存在一个零点，即函数  G x 在区间 0,  上存在唯一零点  0 0,1x  . ∴当  00,x x 时，   0G x  ，即  F' 0x  ，此时函数  F x 单调递减； 当  0,x x  时，   0G x  ，即  ' 0F x  ，此时函数  F x 单调递增. ∴     0 0 00mi 0n ln 1xx eF x F x x x    ，由  0 0G x  可得： 0 0 1xx e  . 两边取对数可得： 0 0ln 0x x  . 故    0 0 01 ln 1 0F x x x     ， ∴    2 0x g x f x   ，即     2f x g x x  . 本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的 数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题. 19．（1）见解析；（2） 2 2 .  1 考查直线 1l ， 2l 参数方程与极坐标方程的互化，曲线C 的极坐标方程与直角坐标方程的互化， 重点都是消去参数t  2 利用 1l ， 2l 极坐标方程，结合余弦定理，计算出 AB 的长度   11 l ， 2l 的极坐标方程为  1 R    ，  2 4 R     ． 曲线 C 的极坐标方程方程为 4cos 0.   即得 2 4 cos 0    ， 利用 2 2 2x y   ， cosx   得曲线 C 的直角坐标方程为 2 2( 2) 4x y   ．  2 因为 1 4cos  ， 2 4cos 4       ， 所以 2 2 2 2 2 1 2 1 2| | 2 . cos 16 cos cos 2cos cos4 4 4AB                               2 2116[cos cos sin ) cos cos sin 82             ， 所以 AB 的值为 2 2 ． 本题主要考查了极坐标方程与参数方程，普通方程的互化，记准互化公式和原则是解题的关键，属 于中档题目。 20．（1） 2 5AB  ;（2） 1 3 5 2 5 32 2 5ABCS     . 试题分析：（1）由正弦定理 sin sin AB BC C A  得 sin 2 sin 2 2 5sin sin BC C BC AAB BCA A     （2）由余弦定理 9 5 20 5cos 56 5 C     2 5sin 5C  所以 1 3 5 2 5 32 2 5ABCS     考点：正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积． 点评：中档题，本题考查知识点较多，但解题思路比较明确，牢记公式（定理），细心计算是关键． 21．（1） 4 8 3 3x x      ；（2） 5 1,2 2     . （1）利用零点分段法，在三段区间上分别得到不等式，即可得解； （2）转化条件为 2 3 3x m x   在 11, 2     上恒成立，进而可得 3 3 5x m x    在 11, 2     上 恒成立，即可得解. （1）当 3m   时，   1 2 3f x x x    ， 所以原不等式等价于 1 2 3 6x x    ， 故有 1 1 2 3 6 x x x        或 31 2 1 2 3 6 x x x         或 3 2 1 2 3 6 x x x        ， 解得 4 13 x    或 31 2x   或 3 8 2 3x  ， 综上，原不等式的解集为 4 8 3 3x x      ； （2）由题意可得   2 4f x x  在 11, 2     上恒成立， 即 1 2 2 4x x m x     在 11, 2     上恒成立， 所以 1 2 4 2x x m x     即 2 3 3x m x   在 11, 2     上恒成立， 所以3 3 2 3 3x x m x     即 3 3 5x m x    在 11, 2     上恒成立， 由于 54 3 2x    ， 1 3 5 82 x   ， 所以 5 1 2 2m   ，即 m 的取值范围是 5 1,2 2     . 本题考查了含绝对值不等式的解法及不等式恒成立问题的解决，考查了运算求解能力与分类讨论思 想，属于中档题. 22．（Ⅰ） （Ⅱ） ͳ ͳ 【解析】试题分析：（Ⅰ）直接法求动点轨迹方程，设动点坐标，根据已知条件列坐标关系，化简 方程成标准形式，注意化简过程中的等价性，确定参数取值范围；（Ⅱ）涉及直线与抛物线位置关 系问题，一般从坐标出发，先设直线 两 的斜率，与直线 联立可得点 坐标.将直线 两 方程与抛 物线方程联立，结合韦达定理可得 两 横坐标关系，而结合图形利用向量或弦长公式可化简 两 成与 两 横坐标有关的式子，代入 两 横坐标关系化简可得关于直线 两 的斜率函数关系式， 最后根据基本不等式求最值. 试题解析：解： (Ⅰ)设动点 的坐标为 ，由题意知： ͳ ͳ ͳ ，且 ܽ ，、 ͳ ͳ ͳ ͳ ，化简得： ，即为动点 轨迹 的方程； （Ⅱ）设点 ͳͳ两ܽ ，由题意直线 两 的斜率 存在且 ܽ ，设其方程为 ͳ ，则 ܽ ，得 由 晦 ͳ ，消去 得 ܽ ， 于是 ͳ ͳ ܽ 恒成立，且 ͳ ͳ ， 又 ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ， ͳ ͳ 与 两 方向相同，故 两 两 ， ͳ ͳ 两 ， 两 ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ 当且仅当 时取等号， 故 两 的最小值为 ͳ ͳ ． 解法二：（Ⅱ）设点 ͳͳ两ܽ ，由题意直线 两 的斜率 存在且 ܽ ，设其方程为 ͳ ， 由 晦 ͳ ，消去 得 ͳ ܽ ， 于是 ͳ ͳ ܽ 恒成立，且 ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ 两 ͳ ͳ 两 ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ ͳ 当且仅当 时取等号， 故 两 的最小值为 ͳ ͳ ． 23．（1）的平均数为 8,标准差为 2 ,乙的平均数为 8,标准差为 30 5 ；（2）乙 (1)根据题中所给数据,则甲的平均数为 , 乙的平均数为 , 甲的标准差为 , 乙的标准差为 , 故甲的平均数为 8,标准差为 2 ,乙的平均数为 8,标准差为 30 5 ; (2) ,且 , 乙的成绩较为稳定, 故选择乙参加射箭比赛. 考点：平均数与方差