【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第一章第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第一章第3节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学案

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 ‎1.命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断 p q p∧q p∨q 綈p 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 ‎2.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等 ‎3.全称命题和特称命题 ‎  名称 形式  ‎ 全称命题 特称命题 结构 对M中的任意一个x,有p(x)成立 存在M中的一个x0,使p(x0)成立 简记 ‎∀x∈M,p(x)‎ ‎∃x0∈M,p(x0)‎ 否定 ‎∃x0∈M,綈p(x0)‎ ‎∀x∈M,綈p(x)‎ ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.(  )‎ ‎(2)命题p和綈p不可能都是真命题.(  )‎ ‎(3)若命题p,q至少有一个是真命题,则p∨q是真命题.(  )‎ ‎(4)若命题綈(p∧q)是假命题,则命题p,q中至多有一个是真命题.(  )‎ ‎(5)“长方形的对角线相等”是特称命题.(  )‎ 答案:(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×‎ ‎2.已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若>,则x0 B.∀x∈R,x2-x+1≤0‎ C.∀x∈R,x2-x+1>0 D.∃x0∈R,x-x0+1<0‎ 答案:C ‎4.下列四个命题中的真命题为(  )‎ A.∃x0∈Z,1<4x0<3 B.∃x0∈Z,5x0+1=0‎ C.∀x∈R,x2-1=0 D.∀x∈R,x2+x+2>0‎ 解析:选D 选项A中,0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q          B.p∧綈q C.綈p∧q D.綈p∧綈q 解析:选B 当x>0时,x+1>1,因此ln(x+1)>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足a>b,显然a2>b2不成立,因此q为假命题.由复合命题的真假性,知p∧綈q为真命题.‎ ‎2.(2018·安徽安庆模拟)设命题p:∃x0∈(0,+∞),x0+>3;命题q:∀x∈(2,+∞),x2>2x,则下列命题为真的是(  )‎ A.p∧(綈q) B.(綈p)∧q C.p∧q D.(綈p)∨q 解析:选A 对于命题p,当x0=4时,x0+=>3,故命题p为真命题;对于命题q,当x=4时,24=42=16,即∃x0∈(2,+∞),使得2x0=x成立,故命题q为假命题,所以p∧(綈q)为真命题,故选A.‎ ‎[题型技法]‎ ‎1.判断含有逻辑联结词命题真假的步骤 ‎2.含逻辑联结词命题真假的5种等价关系 ‎(1)p∨q真⇔p,q至少一个真⇔(綈p)∧(綈q)假.‎ ‎(2)p∨q假⇔p,q均假⇔(綈p)∧(綈q)真.‎ ‎(3)p∧q真⇔p,q均真⇔(綈p)∨(綈q)假.‎ ‎(4)p∧q假⇔p,q至少一个假⇔(綈p)∨(綈q)真.‎ ‎(5)綈p真⇔p假;綈p假⇔p真.‎ ‎(二)迁移考——根据含有逻辑联结词命题真假求参数 ‎3.已知p:∃x0∈R,mx+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+1>0,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[2,+∞)        B.(-∞,-2]‎ C.(-∞,-2]∪[2,+∞) D.[-2,2]‎ 解析:选A 依题意知,p,q均为假命题.‎ 当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;‎ 当q是假命题时,则有Δ=m2-4≥0,解得m≤-2或m≥2.‎ 因此由p,q均为假命题得即m≥2.‎ ‎4.命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0,对一切x∈R恒成立;命题q:函数f(x)=(3-‎2a)x是增函数,若p或q为真,p且q为假,则实数a的取值范围为________.‎ 解析:p为真:Δ=‎4a2-16<0,解得-21,解得a<1.‎ ‎∵p或q为真,p且q为假,∴p,q一真一假.‎ 当p真q假时,⇒1≤a<2;‎ 当p假q真时,⇒a≤-2.‎ ‎∴实数a的取值范围为(-∞,-2]∪[1,2).‎ 答案:(-∞,-2]∪[1,2)‎ ‎[题型技法]‎ 根据命题的真假求参数的取值范围的步骤 ‎(1)求出当命题p,q为真命题时所含参数的取值范围;‎ ‎(2)根据复合命题的真假判断命题p,q的真假性;‎ ‎(3)根据命题p,q的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范围.‎      含有一个量词的命题的否定及真假判断是高考命题的热点,而全称命题、特称命题的真假判断常与不等式、方程等相结合,涉及知识面较广,难度不大,是中低档题.一般以选择题、填空题的形式出现.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1.命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≤x‎2”‎的否定形式是(  )‎ A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n>x2‎ B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n>x2‎ C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n>x2‎ D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x2‎ 解析:选D ∀改写为∃,∃改写为∀,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“∃x∈R,∀n∈N*,使得n>x‎2”‎.故选D.‎ ‎2.下列命题中,为真命题的是(  )‎ A.∀x∈(0,+∞),x2>1‎ B.∃x0∈(1,+∞),lg x0=-x0‎ C.∀a∈(0,+∞),a2>a D.∃a0∈(0,+∞),x2+a0>1对x∈R恒成立 解析:选D 对于A,当x=1时不成立;‎ 对于B,当x∈(1,+∞)时,lg x>0,而-x<0,不成立;‎ 对于C,当a=1时不成立;‎ 对于D,∃a0=2∈(0,+∞),x2+a0=x2+2>1对x∈R恒成立,正确.故选D.‎ ‎3.已知命题“∃x0∈R,使2x+(a-1)x0+≤‎0”‎是假命题,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:原命题的否定为“∀x∈R,2x2+(a-1)x+>‎0”‎,由题意知,其为真命题,则Δ=(a-1)2-4×2×<0,‎ 即-2sin x B.∃x0∈R,sin x0+cos x0=2‎ C.∀x∈R,3x>0 D.∃x0∈R,lg x0=0‎ 解析:选B 因为对∀x∈R,sin x+cos x=sin≤,所以“∃x0∈R,sin x0+cos x0=‎2”‎为假命题.‎ ‎2.(2017·郑州三模)设命题p:∀x>0,log2x<2x+3,则綈p为(  )‎ A.∀x>0,log2x≥2x+3 B.∃x0>0,log2x0≥2x0+3‎ C.∃x0>0,log2x0<2x0+3 D.∀x>0,log2x>2x+3‎ 解析:选B 该命题含有量词“∀”,故该命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,故綈p为:∃x0>0,log2x0≥2x0+3.‎ ‎3.(2017·临沂二模)若“∀x∈,tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为________.‎ 解析:因为“∀x∈,tan x≤m”是真命题,所以m≥(tan x)max.当x∈时,函数y=tan x是单调递增函数,故(tan x)max=tan =1,所以m≥1,m的最小值为1.‎ 答案:1‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1.命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(  )‎ A.∃x0∈M,f(-x0)≠f(x0)‎ B.∀x∈M,f(-x)≠f(x)‎ C.∀x∈M,f(-x)=f(x)‎ D.∃x0∈M,f(-x0)=f(x0)‎ 解析:选A 命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M,f(-x)=f(x)”,该命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,即“∃x0∈M,f(-x0)≠f(x0)”.‎ ‎2.(2018·合肥质检)已知命题q:∀x∈R,x2>0,则(  )‎ A.命题綈q:∀x∈R,x2≤0为假命题 B.命题綈q:∀x∈R,x2≤0为真命题 C.命题綈q:∃x0∈R,x≤0为假命题 D.命题綈q:∃x0∈R,x≤0为真命题 解析:选D 全称命题的否定是将“任意”改为“存在”,然后再否定结论.又当x=0时,x2≤0成立,所以綈q为真命题,故选D.‎ ‎3.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.(綈p)∨q        B.p∧q C.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q)‎ 解析:选D 因为有理数集合是实数集合的真子集,所以命题p是真命题,綈p是假命题.因为lg 10=1>0,所以命题q是假命题,綈q是真命题,所以D项(綈p)∨(綈q)是真命题,A、B、C都是假命题.‎ ‎4.已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;‎ q:x=1是方程x+2=0的根.‎ 则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧(綈q) B.(綈p)∧q C.(綈p)∧(綈q) D.p∧q 解析:选A 由题意知命题p是真命题,命题q是假命题,故綈p是假命题,綈q是真命题,由含有逻辑联结词的命题的真值表可知p∧(綈q)是真命题.‎ ‎5.若∃x0∈,使得2x-λx0+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是(  )‎ A.(-∞,2] B.(2,3]‎ C. D.{3}‎ 解析:选A 因为∃x0∈,使得2x-λx0+1<0成立是假命题,所以∀x∈,使得2x2-λx+1≥0恒成立是真命题,即∀x∈,使得λ≤2x+恒成立是真命题,令f(x)=2x+,则f′(x)=2-,当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,所以f(x)≥f=2,则λ≤2.‎ ‎6.下列四种说法中,正确的是(  )‎ A.集合A={-1,0}的子集有3个 B.“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真 C.“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件 D.命题“∀x∈R,x2-3x-2≥‎0”‎的否定是“∃x0∈R,使得x-3x0-2≥‎‎0”‎ 解析:选C 对于选项A,A={-1,0}的子集有∅,{-1},{0},{-1,0},共4个,A错;对于选项B,“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为“若a<b,则am2<bm‎2”‎,当m=0时为假命题,B错;对于选项C,“命题p∨q为真”,表示命题p与q至少有一个为真,而“命题p∧q为真”,表示命题p与q全为真,C正确;对于选项D,命题“∀x∈R,x2-3x-2≥‎0”‎的否定是“∃x0∈R,使得x-3x0-2<‎0”‎,D错.综上,选C.‎ ‎7.命题p的否定是“对所有正数x,>x+‎1”‎,则命题p可写为_______________.‎ 解析:因为p是綈p的否定,所以只需将全称量词变为特称量词,再对结论否定即可.‎ 答案:∃x0∈(0,+∞),≤x0+1‎ ‎8.若命题“对∀x∈R,kx2-kx-1<‎0”‎是真命题,则k的取值范围是________.‎ 解析:“对∀x∈R,kx2-kx-1<‎0”‎是真命题,当k=0时,则有-1<0;当k≠0时,则有k<0且Δ=(-k)2-4×k×(-1)=k2+4k<0,解得-40,由Δ=-3<0,知命题q为真命题.综上“p∧q”是真命题,“p∧(綈q)”是假命题,“(綈p)∨q”是真命题,“p∨(綈q)”是真命题,即正确的结论为①②③.‎ 答案:①②③‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1.若命题p:函数y=x2-2x的单调递增区间是[1,+∞),命题q:函数y=x-的单调递增区间是[1,+∞),则(  )‎ A.p∧q是真命题 B.p∨q是假命题 C.綈p是真命题 D.綈q是真命题 解析:选D 因为函数y=x2-2x在[1,+∞)上是增函数,所以其单调递增区间是[1,+∞),所以p是真命题;因为函数y=x-的单调递增区间是(-∞,0)和(0,+∞),所以q是假命题.所以p∧q为假命题,p∨q为真命题,綈p为假命题,綈q为真命题.故选D.‎ ‎2.(2018·贵州适应性考试)已知命题p:∀x∈R,log2(x2+4)≥2,命题q:y=x是定义域上的减函数,则下列命题中为真命题的是(  )‎ A.p∨(綈q) B.p∧q C.(綈p)∨q D.(綈p)∧(綈q)‎ 解析:选A 命题p:函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,x2+4≥4,所以log2(x2+4)≥log24=2,即命题p是真命题,因此綈p为假命题;命题q:y=x在定义域上是增函数,故命题q是假命题,綈q是真命题.因此选项A是真命题,选项B、C、D都是假命题,故选A.‎ ‎3.下列说法错误的是(  )‎ A.命题“若x2-5x+6=0,则x=‎2”‎的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠‎‎0”‎ B.若命题p:存在x0∈R,x+x0+1<0,则綈p:对任意x∈R,x2+x+1≥0‎ C.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≥‎2”‎的充要条件 D.已知命题p和q,若“p或q”为假命题,则命题p与q中必一真一假 解析:选D 由原命题与逆否命题的关系,知A正确;由特称命题的否定知B正确;由xy≥2⇔4xy≥(x+y)2⇔4xy≥x2+y2+2xy⇔(x-y)2≤0⇔x=y ‎,知C正确;对于D,命题“p或q”为假命题,则命题p与q均为假命题,所以D不正确.‎ ‎4.已知命题“∃x0∈R,x+ax0-‎4a<‎0”‎为真命题,则实数a的取值范围为______________.‎ 解析:“∃x0∈R,x+ax0-‎4a<‎0”‎为真命题的充要条件是Δ=a2+‎16a>0,解得a<-16或a>0.‎ 答案:(-∞,-16)∪(0,+∞)‎ ‎5.已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:函数f(x)=x2-x在区间[0,+∞)上单调递增,则下列命题:‎ ‎①p∨q;②p∧q;③(綈p)∧(綈q);④(綈p)∨q.‎ 其中为假命题的序号为________.‎ 解析:显然命题p为真命题,綈p为假命题.‎ ‎∵f(x)=x2-x=2-,‎ ‎∴函数f(x)在区间上单调递增.‎ ‎∴命题q为假命题,綈q为真命题.‎ ‎∴p∨q为真命题,p∧q为假命题,(綈p)∧(綈q)为假命题,(綈p)∨q为假命题.‎ 答案:②③④‎ ‎6.设t∈R,已知命题p:函数f(x)=x2-2tx+1有零点;命题q:∀x∈[1,+∞),-x≤4t2-1.‎ ‎(1)当t=1时,判断命题q的真假;‎ ‎(2)若p∨q为假命题,求t的取值范围.‎ 解:(1)当t=1时,max=0,-x≤3在[1,+∞)上恒成立,故命题q为真命题.‎ ‎(2)若p∨q为假命题,则p,q都是假命题.‎ 当p为假命题时,Δ=(-2t)2-4<0,解得-10,使函数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a∈R,使∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠‎0”‎.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.‎ 解:若p为真,则对称轴x=-=在区间(-∞,2]的右侧,即≥2,∴0a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论中正确的个数是(  )‎ ‎①对于∀x∈(-∞,1),都有f(x)>0;‎ ‎②存在x>0,使ax,bx,cx不能构成一个三角形的三边长;‎ ‎③若△ABC为钝角三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.‎ A.3 B.2‎ C.1 D.0‎ 解析:选A ①因为a,b,c是△ABC的三条边长,所以a+b>c,因为c>a>0,c>b>0,所以0<<1,0<<1,当x∈(-∞,1)时,f(x)=ax+bx-cx=cxx+x-1>cx=cx·>0,故①正确;‎ ‎②令a=2,b=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形,但a2=4,b2=9,c2=16却不能构成三角形,所以②正确;‎ ‎③已知c>a>0,c>b>0,若△ABC为钝角三角形,则a2+b2-c2<0,因为f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0,根据零点的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点,所以存在x∈(1,2),使f(x)=0,故③正确.‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”的否定可表示为(  )‎ A.∃x0∈M,f(-x0)≠f(x0)‎ B.∀x∈M,f(-x)≠f(x)‎ C.∀x∈M,f(-x)=f(x)‎ D.∃x0∈M,f(-x0)=f(x0)‎ 解析:选A 命题“函数y=f(x)(x∈M)是偶函数”即“∀x∈M,f(-x)=f(x)”,该命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,即“∃x0∈M,f(-x0)≠f(x0)”.‎ ‎2.(2018·合肥质检)已知命题q:∀x∈R,x2>0,则(  )‎ A.命题綈q:∀x∈R,x2≤0为假命题 B.命题綈q:∀x∈R,x2≤0为真命题 C.命题綈q:∃x0∈R,x≤0为假命题 D.命题綈q:∃x0∈R,x≤0为真命题 解析:选D 全称命题的否定是将“任意”改为“存在”,然后再否定结论.又当x=0时,x2≤0成立,所以綈q为真命题,故选D.‎ ‎3.已知命题p:对任意x∈(0,+∞),log4x<log8x,命题q:存在x∈R,使得tan x=1-3x.则下列命题为真命题的是(  )‎ A.p∧q         B.(綈p)∧(綈q)‎ C.p∧(綈q) D.(綈p)∧q 解析:选D 当x=64时,log4x=log464=3>log8x=log864=2,故命题p是假命题;当x=0时,tan x=tan 0=1-30=1-3x,故命题q是真命题;故綈p是真命题,綈q是假命题.故p∧q是假命题,(綈p)∧(綈q)是假命题,p∧(綈q)是假命题,(綈p)∧q是真命题.故选D.‎ ‎4.下列说法错误的是(  )‎ A.命题“若x2-5x+6=0,则x=‎2”‎的逆否命题是“若x≠2,则x2-5x+6≠‎‎0”‎ B.若命题p:存在x0∈R,x+x0+1<0,则綈p:对任意x∈R,x2+x+1≥0‎ C.若x,y∈R,则“x=y”是“xy≥‎2”‎的充要条件 D.已知命题p和q,若“p或q”为假命题,则命题p与q中必一真一假 解析:选D 由原命题与逆否命题的关系,知A正确;由特称命题的否定,知B正确;由xy≥2⇔4xy≥(x+y)2⇔4xy≥x2+y2+2xy⇔(x-y)2≤0⇔x=y,知C正确;对于D,命题“p或q”为假命题,则命题p与q均为假命题,所以D不正确.‎ ‎5.已知命题p:∃x0∈R,ex0-mx0=0,q:∀x∈R,x2+mx+1≥0,若p∨(綈q)为假命题,则实数m的取值范围是(  )‎ A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.[0,2]‎ C.R D.∅‎ 解析:选B 若p∨(綈q)为假命题,则p假q真.命题p为假命题时,有0≤m<e;命题q为真命题时,有Δ=m2-4≤0,即-2≤m≤2.所以当p∨(綈q)为假命题时,m的取值范围是[0,2].‎ ‎6.命题p的否定是“对所有正数x,>x+‎1”‎,则命题p可写为_______________.‎ 解析:因为p是綈p的否定,所以只需将全称量词变为特称量词,再对结论否定即可.‎ 答案:∃x0∈(0,+∞),≤x0+1‎ ‎7.已知命题p:x2+4x+3≥0,q:x∈Z,且“p∧q”与“綈q”同时为假命题,则x=________.‎ 解析:若p为真,则x≥-1或x≤-3,‎ 因为“綈q”为假,则q为真,即x∈Z,‎ 又因为“p∧q”为假,所以p为假,故-3<x<-1,‎ 由题意,得x=-2.‎ 答案:-2‎ ‎8.若命题p:存在x∈R,ax2+4x+a<-2x2+1是假命题,则实数a的取值范围是________.‎ 解析:若命题p:存在x∈R,ax2+4x+a<-2x2+1是假命题,则綈p:任意x∈R,ax2+4x+a≥-2x2+1是真命题,即(2+a)x2+4x+a-1≥0恒成立,当a=-2时不成立,舍去,则有解得a≥2.‎ 答案:[2,+∞)‎ ‎9.已知命题p:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数;命题q:不等式(x-1)2>m的解集为R.若命题“p∨q”为真,求实数m的取值范围.‎ 解:因为p:f(x)=在区间(0,+∞)上是减函数,所以1-‎2m>0⇒m<.因为q:不等式(x-1)2>m的解集为R,所以m<0.要保证命题“p∨q”为真,则p,q至少有一个为真,当p真q真时,m<0;当p真q假时,0≤m<;当p假q真时,m∈∅.所以实数m的取值范围为.‎ ‎10.已知c>0,设命题p:函数y=cx为减函数.命题q:当x∈时,函数f(x)=x+>恒成立.如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,求c的取值范围.‎ 解:若命题p为真,则0<c<1;若命题q为真,则2≤x+≤,要使此式恒成立,需<2,即c>,若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则p,q中必有一真一假,当p真q假时,⇒0‎0”‎的否定为假命题,则实数a的取值范围是______________.‎ 解析:由“∀x∈R,x2-5x+a>‎0”‎的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立.‎ 设f(x)=x2-5x+a,则其图象恒在x轴的上方.‎ 故Δ=25-4×a<0,解得a>,‎ 即实数a的取值范围为.‎ 答案: ‎4.(2017·云南玉溪一中模拟)已知p:x2+2x-3>0,q:>1,若“(綈q)∧p”为真,则x的取值范围是________________.‎ 解析:p为真命题时,解x2+2x-3>0,得x>1或x<-3,q为真命题时,>1,即<0,解得20,使函数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a∈R,使∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠‎0”‎.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围.‎ 解:若p为真,则对称轴x=-=在区间(-∞,2]的右侧,即≥2,∴00),q:实数x满足20,∴A=(a,‎4a),‎ 又B=(2,5],则a≤2且‎4a>5,解得
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