2021版新高考数学一轮复习单元质检卷六数列A新人教A版

2021版新高考数学一轮复习单元质检卷六数列A新人教A版

单元质检卷六　数列(A)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ 一、单项选择题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)‎ ‎1.(2019北京海淀一模,3)已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是(　　)‎ A.a6 B.a8‎ C.a10 D.a12‎ ‎2.等比数列{an}中,若a4·a5·a6=8,且a5与2a6的等差中项为2,则公比q=(　　)‎ A.2 B.‎‎1‎‎2‎ C.-2 D.-‎‎1‎‎2‎ ‎3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7=(　　)‎ A.49 B.42 C.35 D.24‎ ‎4.(2019湖南湘潭二模)已知数列{an}为等比数列,首项a1=2,数列{bn}满足bn=log2an,且b2+b3+b4=9,则a5=(　　)‎ A.8 B.16‎ C.32 D.64‎ 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎5.将n2个数排成n行n列的一个数阵,如下图:‎ a11　a12　a13……a1n 8‎ a21　a22　a23……a2n a31　a32　a33……a3n ‎……‎ an1　an2　an3……ann 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中m>0).已知a11=2,a13=a61+1,记这n2个数的和为S,下列结论正确的有(　　)‎ A.m=3‎ B.a67=17×37‎ C.aij=(3i-1)×3j-1‎ D.S=‎1‎‎4‎n(3n+1)(3n-1)‎ ‎6.若无穷数列{an}满足:a1≥0,当n∈N*,n≥2时,|an-an-1|=max{a1,a2,…,an-1}(其中max{a1,a2,…,an-1}表示a1,a2,…,an-1中的最大项),以下结论中正确的是(　　)‎ A.若数列{an}是常数列,则an=0(n∈N*)‎ B.若数列{an}是公差d≠0的等差数列,则d<0‎ C.若数列{an}是公比为q的等比数列,则q>1‎ D.若存在正整数T,对任意n∈N*,都有an+T=an,则a1是数列{an}的最大项 三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.已知等差数列{an}的公差为2,且a1,a2,a4成等比数列,则a1=　　　　;数列{an}的前n项和Sn=　　　　. ‎ 8‎ ‎8.已知数列{an},若a1+2a2+…+nan=2n,则数列{anan+1}的前n项和为　　　　. ‎ 四、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)(2019全国2,文18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.‎ ‎10.(15分)已知数列{an}满足a1·a2·a3·…·an-1·an=n+1(n∈N*).‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若bn=an+‎1‎an,求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 8‎ ‎11.(15分)(2019安徽安庆二模,17)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足对任意的n∈N*都有an+1+Sn+1=1,又a1=‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)令bn=log2an,求‎1‎b‎1‎b‎2‎‎+‎‎1‎b‎2‎b‎3‎+…+‎1‎bnbn+1‎(n∈N*).‎ 参考答案 8‎ 单元质检卷六　数列(A)‎ ‎1.A　∵4a3=3a2,∴4a1+8d=3a1+3d,则a1+5d=0,即a6=0.‎ ‎2.B　根据题意,等比数列{an}中,若a4·a5·a6=8,则(a5)3=8,解得a5=2,‎ 又由a5与2a6的等差中项为2,则a5+2a6=4,解得a6=1,则q=a‎6‎a‎5‎‎=‎1‎‎2‎.‎故选B.‎ ‎3.B　设等差数列{an}的公差为d,∵2a6=a8+6,∴2(a1+5d)=a1+7d+6,∴a1+3d=6,即a4=6.‎ 由等差数列的性质可得a1+a7=2a4.‎ ‎∴S7=‎7(a‎1‎+a‎7‎)‎‎2‎=7a4=42.故选B.‎ ‎4.C　设等比数列{an}的公比为q,已知首项a1=2,所以an=2qn-1,所以bn=log2an=1+(n-1)log2q,所以数列{bn}是等差数列.因为b2+b3+b4=9,所以3b3=9,解得b3=3,所以a3=23=2×q2,解得q2=4,所以a5=2×24=32.故选C.‎ ‎5.ACD　由题意,该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列,且a11=2,a13=a61+1,‎ 可得a13=a11m2=2m2,a61=a11+5d=2+5m,所以2m2=2+5m+1,‎ 解得m=3或m=-‎1‎‎2‎(舍去),所以选项A是正确的;‎ 又由a67=a61m6=(2+5×3)×36=17×36,所以选项B不正确;‎ 又由aij=ai1mj-1=[a11+(i-1)×m]×mj-1=[2+(i-1)×3]×3j-1=(3i-1)×3j-1,所以选项C是正确的;‎ 又由这n2个数的和为S,‎ 则S=(a11+a12+…+a1n)+(a21+a22+…+a2n)+…+(an1+an2+…+ann)‎ 8‎ ‎=a‎11‎‎(1-‎3‎n)‎‎1-3‎‎+‎a‎21‎‎(1-‎3‎n)‎‎1-3‎+…+an1‎‎(1-‎3‎n)‎‎1-3‎‎=‎‎1‎‎2‎(3n-1)‎‎·‎‎(2+3n-1)n‎2‎ ‎=‎1‎‎4‎n(3n+1)(3n-1),所以选项D是正确的.故选ACD.‎ ‎6.ABCD　若数列{an}是常数列,由|an-an-1|=max{a1,a2,…,an-1},可得 max{a1,a2,…,an-1}=0,则an=0(n∈N*),故A正确;‎ 若数列{an}是公差d≠0的等差数列,由max{a1,a2,…,an-1}=|d|,‎ 若d>0,即有数列递增,可得d=an,即数列为常数列,不成立;‎ 若d<0,可得数列递减,可得-d=a1成立,则d<0,故B正确;‎ 若数列{an}是公比为q的等比数列,若q=1可得数列为非零常数列,不成立;‎ 由|a2-a1|=a1,可得a2=0(舍去)或a2=2a1,即有q=2>1,a1>0,则数列递增,‎ 由max{a1,a2,…,an-1}=an-1,可得an-an-1=an-1,可得an=2an-1,则q>1,故C正确;‎ 假设a1不是数列{an}的最大项,设i是使得ai>a1的最小正整数,‎ 则|ai+1-ai|=max{a1,a2,…,ai}=ai,因此ai+1是ai的倍数,‎ 假设ai+1,ai+2,…,ai+k-1都是ai的倍数,则|ai+k-ai+k-1|=max{a1,a2,…,ai+k-1}=max{a1,ai+1,…,ai+k-1},‎ 因此,ai+k也是ai的倍数,由第二数学归纳法可知,对任意n≥i,an都是ai的倍数,又存在正整数T,对任意正整数n,都有aT+n=an,故存在正整数m≥i,am=a1,故ai是a1的倍数,‎ 但ai>a1,故a1不是ai的倍数,矛盾,故a1是数列{an}的最大值,故D正确.‎ 故选ABCD.‎ 8‎ ‎7.2　n2+n　∵数列{an}是公差为2的等差数列,且a1,a2,a4成等比数列,∴a1,a1+2,a1+6成等比数列,∴(a1+2)2=a1(a1+6),解得a1=2;数列{an}的前n项和Sn=2n+n(n-1)‎‎2‎‎×‎2=n2+n.‎ ‎8‎.‎‎4nn+1‎　因为a1+2a2+…+nan=2n,所以a1+2a2+…+(n-1)an-1=2(n-1),‎ 两式相减得nan=2,则an=‎2‎n,设数列{anan+1}的前n项和为Sn,anan+1=‎2‎n‎×‎‎2‎n+1‎=4‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎,‎ 则Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1=41-‎1‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎=41-‎1‎n+1‎=‎‎4nn+1‎‎.‎ ‎9.解(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.‎ ‎(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.‎ ‎10.解(1)数列{an}满足a1·a2·a3·…·an-1·an=n+1,①‎ 当n≥2时,a1·a2·a3·…·an-1=n,②‎ ‎①‎‎②‎得an=n+1‎n,当n=1时,a1=2也满足上式,所以数列{an}的通项公式为 an=‎n+1‎n‎.‎ ‎(2)由于an=n+1‎n,所以bn=an+‎1‎an‎=n+1‎n+‎nn+1‎=1+‎1‎n+1-‎1‎n+1‎=2+‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎,则Sn=2+1-‎1‎‎2‎+2+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎+…+2+‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎=2n+1-‎1‎n+1‎=2n+1-‎‎1‎n+1‎‎.‎ ‎11.解(1)由an+1+Sn+1=1,①得an+Sn=1(n≥2,n∈N*),②‎ ‎①-②得2an+1-an=0,即an+1=‎1‎‎2‎an(n≥2,n∈N*).‎ 由a2+S2=a2+(a1+a2)=1,‎ 8‎ a1=‎1‎‎2‎,得a2=‎1‎‎4‎‎=‎‎1‎‎2‎a1,‎ 所以an+1=‎1‎‎2‎an(n∈N*),则数列{an}是首项和公比都为‎1‎‎2‎的等比数列,因此an=‎1‎‎2‎n(n∈N*).‎ ‎(2)由an=‎1‎‎2‎n,得bn=log2an=-n,所以‎1‎bnbn+1‎‎=‎1‎n(n+1)‎=‎1‎n-‎‎1‎n+1‎,‎ 所以‎1‎b‎1‎b‎2‎‎+‎‎1‎b‎2‎b‎3‎+…+‎1‎bnbn+1‎=1-‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎+…+‎1‎n‎-‎‎1‎n+1‎=1-‎‎1‎n+1‎‎=nn+1‎.‎ 8‎