2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：素养提升6 高考中概率与统计解答题的提分策略

2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：素养提升6 高考中概率与统计解答题的提分策略

www.ks5u.com ‎33‎ 素养提升6高考中概率与统计解答题的提分策略 ‎1 [2019全国卷Ⅱ，12分]11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.‎ ‎(1)求P(X=2);‎ ‎(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.‎ ‎(1)“X=2”可以分如下两类:①甲连赢两球;②乙连赢两球.据此求概率即可.(2)“X=4且甲获胜”包含的事件为“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”,据此求概率即可.‎ ‎(1)“X=2”包含的事件为“甲连赢两球”或“乙连赢两球”.①‎ 因此P(X=2)=0.5×0.4+(1 - 0.5)×(1 - 0.4)=0.5.②‎ ‎(2)“X=4且甲获胜”包含的事件为“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”.③‎ 因此所求概率为[0.5×(1 - 0.4)+(1 - 0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.④‎ 感悟升华 阅卷 现场 第(1)问采点 得分说明 得分点 ‎①“X=2”是指“甲连赢两球”或“乙连赢两球”,答对者得2分;‎ ‎②利用相互独立事件及互斥事件概率计算公式得出结论得4分.‎ ‎④⑤⑥⑦⑧⑨⑩‎ ‎6分 第(2)问采点得分说明 ‎③明确P(X=4)的意义得2 分;‎ ‎④利用相互独立事件及互斥事件概率计算公式得出结论得4分.‎ ‎6分 满分 策略 ‎1.常见的概率模型 主要有古典概型、超几何分布、独立重复试验、二项分布、正态分布等.求解的关键是正确辨别题目中的概率模型,只要找出相应的模型,问题便可迎刃而解.‎ ‎2.概率模型提取的方法 在经历观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程中,常常因对题设条件理解不准确,对某个概念认识不清而误入歧途.如本题中的这两问同学们或因不能正确理解所求事件的基本含义而出错.‎ ‎3.求解概率模型的注意点 要注意等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,必要时还应注意放回和不放回试验的区别.‎ ‎4.概率统计问题的处理思路 概率还时常与统计、统计案例相结合,能够通过各种统计图表提取有用的信息,并会利用最小二乘法求出回归直线方程及利用公式求出K2的观测值是解决问题的关键.‎ ‎2[2017全国卷Ⅲ, 12分]某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高气温/℃‎ ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?‎ ‎(1)根据表格提供的数据进行分类求解即可;(2)根据分布列得到关于利润的函数表达式,进而求解最值.‎ ‎(1)由题意知,X的所有可能取值为200,300,500,1分(得分点1)‎ 由表格数据知,‎ P(X=200)=‎2+16‎‎90‎=0.2,2分(得分点2)‎ P(X=300)=‎36‎‎90‎=0.4,3分(得分点3)‎ P(X=500)=‎25+7+4‎‎90‎=0.4.4分(得分点4)‎ 因此X的分布列为 X ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎　5分(得分点5)‎ ‎(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.‎ 当300≤n≤500时,‎ 若最高气温不低于25,则Y=6n - 4n=2n;‎ 若最高气温位于区间 [20,25)内,则Y=6×300+2(n - 300) - 4n=1 200 - 2n;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n - 200) - 4n=800 - 2n.‎ 因此E(Y)=2n×0.4+(1 200 - 2n)×0.4+(800 - 2n)×0.2=640 - 0.4n.8分(得分点6)‎ 当200≤n<300时,‎ 若最高气温不低于20,则Y=6n - 4n=2n;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n - 200) - 4n=800 - 2n.11分(得分点7)‎ 因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800 - 2n)×0.2=160+1.2n.‎ 所以当n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.12分(得分点8)‎ 感悟升华 素养 探源 素养 考查途径 数据分析 对频数分布表和已知条件中的数据进行分析,找出需要的数据.‎ 数学建模 根据条件构建函数模型进行求解.‎ 数学运算 古典概型的概率计算.‎ 得分 要点 a.得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢”.如第(1)问中指出随机变量X的所有可能取值,有则得1分,无则没有分.随机变量X的各个值对应的概率也是每个1分,列出其分布列是1分.每个步骤都有分,都是得分点,第(2)问也是如此.‎ b.得关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如第(2)问中根据n的范围求E(Y),得出当300≤n≤500时,E(Y)=640 - 0.4n,当200≤n<300时,E(Y)=160+1.2n,若这两个关键运算有误,即使有计算过程和步骤也不得分.‎ c.得计算分:解题过程中计算正确是得满分的保证,如第(1)问中三个概率值的计算要正确,否则不得分.‎ 答题 模板 ‎1.求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步:确定随机变量的所有可能取值.‎ 第二步:求每一个可能取值所对应的概率.‎ 第三步:列出离散型随机变量的分布列.‎ 第四步:求均值和方差.‎ 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点.‎ ‎2.概率统计与函数交汇问题的解题步骤 第一步:通读题目,仔细审题,理解题意.‎ 第二步:根据题目所要解决的问题,确定自变量及其取值范围.‎ 第三步:构建函数模型,写出函数的解析式.‎ 第四步:利用函数模型,求解目标函数的最值或最优解.‎ ‎3[2018全国卷Ⅱ, 12分]图6 - 1是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.‎ 图6 - 1‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y‎＾‎= - 30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y‎＾‎=99+17.5t.‎ ‎(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.‎ ‎(1)将t=19与t=9分别代入线性回归模型①与②中,可求得2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)根据线性回归模型①与②,并结合已知的折线图进行分析;也可以根据两个线性回归方程对2018年(或附近的其他年份)的环境基础设施投资额进行预报,分析它们与真实值产生的残差,进而分析两个模型的可靠性.‎ ‎(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y‎＾‎‎1‎= - 30.4+13.5×19=226.1(亿元).2分 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y‎＾‎‎2‎=99+17.5×9=256.5(亿元).4分 ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠.5分 理由如下:‎ ‎(i)从图6 - 1可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y= - 30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始,环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y‎＾‎=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.12分 ‎(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.12分 ‎(以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)‎ 感悟升华 命题 探源 本题考查的知识点有线性回归模型、折线统计图等,意在考查考生的数据处理能力、运算求解能力、图形识别能力,考查的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算等.‎ 素养 探源 素养 考查途径 数据分析 根据题目中的数据明确t,y的含义.‎ 数学建模 线性回归模型的应用.‎ 数学运算 求解预测值.‎ 失分 探源 ‎1.计算失误.如第(1)问中因计算错误而丢分.‎ ‎2.不善于运用所学的统计知识来分析解决问题,特别是在第(2)问的说明理由过程中不能合理阐述,主要原因是平时学习以及备考中没有应用概率统计知识来分析和解决实际问题的习惯.因此我们应该强化数学应用意识.‎ ‎ ‎ ‎1.[12分]如果某企业每月养殖的生猪死亡率不超过百分之一,则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相关数据如下表所示:‎ 月份 ‎1月 ‎2月 ‎3月 ‎4月 ‎5月 ‎6月 ‎7月 ‎8月 月养殖量/千只 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎12‎ 月利润/十万元 ‎3.6‎ ‎4.1‎ ‎4.4‎ ‎5.2‎ ‎6.2‎ ‎7.5‎ ‎7.9‎ ‎9.1‎ 生猪死亡数/只 ‎29‎ ‎37‎ ‎49‎ ‎53‎ ‎77‎ ‎98‎ ‎126‎ ‎145‎ ‎ (1)求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.01);‎ ‎(2)若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只,请你预估该月月利润是多少万元;‎ ‎(3)从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月,设X为考核优秀的月数,求随机变量X的分布列和数学期望.‎ 参考数据:‎∑‎i=1‎‎8‎xi‎2‎=460,‎∑‎i=1‎‎8‎xiyi=379.5.‎ 附:线性回归方程y‎＾‎‎=‎b‎^‎x+a‎＾‎中,b‎^‎‎=‎∑‎i=1‎n‎(xi-x‎-‎)(yi-y‎-‎)‎‎∑‎i=1‎n‎(xi-‎x‎-‎‎)‎‎2‎=‎‎∑‎i=1‎nxiyi‎-nx‎-‎y‎-‎‎∑‎i=1‎nxi‎2‎‎-nx‎-‎‎2‎,‎a‎＾‎‎=‎