江西省信丰中学2020届高三数学上学期第十三次周考理A层13班2（含解析）
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江西省信丰中学 2020 届高三数学上学期第十三次周考（理 A 层）（13
班）
一．选择题（50 分）
1 已知抛物线 y2＝2px 的焦点 F 与双曲线x2
7
－y2
9
＝1 的右焦点重合，抛物线的准线与 x 轴的
交点为 K，点 A 在抛物线上，且|AK|＝ 2|AF|，则△AFK 的面积为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
.2 如图所示，F1，F2 是双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，以坐标原点
O 为圆心，|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点分别为 A，B，且△F2AB 是等
边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. 2＋1 B. 3＋1
C. 2＋1
2
D. 3＋1
2
3 已知 P 是双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2 是其焦点，双曲线的离心率是5
4
，
且 1PF
· 2PF
＝0，若△PF1F2 的面积为 9，则 a＋b 的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
4．已知椭圆x2
4
＋y2
b2＝1(0
0)的焦点为 F，其准线与双曲线x2
3
－y2
3
＝1 相交于 A，B 两点，若△
ABF 为等边三角形，则 p＝________.
12．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，E 为 1AB 的中点，在面 ABCD 中取一点 F ，
使 1EF FC 最小，则最小值为__________.
13 已知 F1，F2 分别是双曲线x2
a2－y2
b2＝1(a＞b，b＞0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意
一点．若|PF1|2
|PF2|
＝8a，则双曲线的离心率的取值范围是________．
14 如图，椭圆的中心在坐标原点 O，顶点分别是 A1，A2，B1，B2，焦点分别为 F1，F2，延长
B1F2 与 A2B2 交于 P 点，若∠B1PA2 为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为________．
三．解答题（36 分）
15.如图，在四棱锥 P ABCD 中，等边PAD
所在的平面与正方形 ABCD 所在的平面互相垂直,
O 为 AD 的中点， E 为 DC 的中点，且 2.AD
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（Ⅰ）求证： PO 平面 ABCD ；
（Ⅱ）求二面角 P EB A的余弦值；
（Ⅲ）在线段 AB 上是否存在点 M ，使线段 PM 与PAD 所在平面成30 角.若存在，
求出 AM 的长,若不存在，请说明理由.
16．（本小题满分 12 分）已知椭圆 1C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）的焦距为 4，左、右焦点
分别为 1F 、 2F ，且 1C 与抛物线 2C ： 2y x 的交点所在的直线经过 2F .
（Ⅰ）求椭圆 1C 的方程；
（Ⅱ）分别过 1F 、 2F 作平行直线 m 、 n ，若直线 m 与 1C 交于 A ， B 两点，与抛物线 2C 无
公共点，直线 n 与 1C 交于C ，D 两点，其中点 A ，D 在 x 轴上方，求四边形 1 2AF F D 的面积
的取值范围.
17 已知函数 eebxaxxf x ()12()( 2 为自然对数的底数).
（I）若
2
1a ，求函数 )(xf 的单调区间；
（II）若 1)1( f ，且方程 1)( xf 在 )1,0( 内有解，求实数 a 的取值范围.
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2019 年高三（13）班第十三次周考卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D C D B A D C
8．A【解析】连接 1F P ，OQ ，因为点 Q 为线段 2PF 的中点，所以 1| | 2 | | 2F P OQ b ，
由椭圆的定义得 2| | 2 2PF a b ，由 1 2F P F P ，得 2 2 2(2 ) (2 2 ) (2 )b a b c ，
解得 2 3a b ， 5
3e ，所以
2
2 2
5
1 5 1 5 59 ( ) 23 2 2 9 2 9 3
aa e a ab a a a
≥
（当且仅当 5
3a 时等号成立），故选 A．
11 答案：6．12 14
2
13．解析：设|PF2|＝y，则(y＋2a)2＝8ay⇒(y－2a)2＝0⇒y＝2a≥c－a⇒e＝c
a
≤3.
答案：(1,3]
14 解析 设椭圆的方程为x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)，
∠B1PA2 为钝角可转化为B2A2
→ ，F2B1
→ 所夹 1＞的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)＜0，得
b2＜ac，即 a2－c2＜ac，故
c
a 2
＋c
a
－0，即 e2＋e－1＞0，e＞ 5－1
2
或 e＜－ 5－1
2
，又 0
＜e＜1，∴ 5－1
2
＜e＜1.
答案
5－1
2
，1
15 解：（Ⅰ） PAD 是等边三角形， O为 AD 的中点, PO AD
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平面 PAD 平面 ABCD， AD 是交线， PO 平面 PAD
PO 平面 ABCD . 【4 分】
（Ⅱ）取 BC 的中点 F ，底面 ABCD是正方形， OF AD ， ,PO OF AD， 两两垂
直.
分别以OA OF OP、 、 的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 (0,0, 3), (1,2,0), ( 1,2,0), ( 1,0,0), (1,0,0), ( 1,1,0) P B C D A E 【5 分】
(1,0, 3)
PA ， ( 2,1,0,)
AE ， (1, 1, 3)
EP ， (2,1,0,)
EB
设平面 PBE 的法向量为 ( , , )
n x y z ， 0
0
n PE
n EB
， ( , , ) (1, 1, 3) 0
( , , ) (2,1,0) 0
x y z
x y z
0
2 0
x y z
x y
，
1
2
3
x
y
z
， (1, 2, 3)
n
平面 EBA的法向量即为平面 ABCD 的法向量 (0,0, 3,)
OP .
由图形可知所求二面角为锐角， 6cos , | | 4| || |
n OPn OP
n OP
【9 分】
(Ⅲ)方法 1：设在线段 AB 上存在点 (1, ,0)M x ， (0 2) x ，
使线段 PM 与PAD所在平面成 030 角，
平面 PAD 的法向量为(0,2,0)， (1, , 3)
PM x ，
0
2 2
2 1sin30 | | 22 4 4
x x
x x
，解得 2 3
3
x ，适合
在线段 AB 上存在点 M ，当线段 2 3
3
AM 时，与PAD 所在平 PM 面成 030 角. 【12
分】
方法 2：由（Ⅰ）知 PO 平面 ABCD ， BA AD， BA PO , PO AD O
BA 平面 POD .
设在线段 AB 上存在点 M 使线段 PM 与PAD所在平面成 030 角，
连结 PM ，由线面成角定义知： MPA即为 PM 与PAD 所在平面所成的角,
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0 2 3tan30 3
AM PA ,当线段 2 3
3
AM 时，与PAD 所在平 PM 面成 030 角.
16．解：（Ⅰ）依题意得 2 4c ，则 1F （-2，0）， 2F （2，0）. ．．．．．．．．．．．．1
分
所以椭圆 1C 与抛物线 2C 的一个交点为 2, 2P ，
于是 12a PF 2 4 2PF ，从而 2 2a .．．．．．．．．．．．．2 分
又 2 2 2a b c ，解得 2b
所以椭圆 1C 的方程为
2 2
18 4
x y .．．．．．．．．．．．．4 分
（Ⅱ）依题意，直线 m 的斜率不为 0，设直线 m ： 2x ty ，．．．．．．．．．．．．5
分
由 2
2x ty
y x
，消去 x 整理得 2 2 0y ty ，由 2 8 0t 得 2 8t .
由 2 2
2
2 8
x ty
x y
，消去 x 整理得 2 22 4 4 0t y ty ，
设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，则 1 2 2
4
2
ty y t
， 1 2 2
4
2y y t
，．．．．．．．．．．．．7
分
所以 2
1 21AB t y y 22
1 2 1 21 4t y y y y 2
2
4 2 1
2
t
t
，．．．．．．．．．．．．8
分
m 与 n 间的距离 2
4
1
d
t
（即点 2F 到 m 的距离），．．．．．．．．．．．．9 分
由椭圆的对称性知，四边形 ABCD 为平行四边形，
故
1 2
1
2AF F D ABCDS S 2
2 2
4 2 11 4
2 2 1
t
t t
2
2
8 2 1
2
t
t
，
令 2 1 1,3t s ，则
1 2
2
2
8 2 1
2AF F D
tS t
2
8 2 8 2
11
s
s s s
12 2 ,4 25
，
所以四边形 1 2AF F D 的面积的取值范围为 12 2 ,4 25
.．．．．．．．．．．．．12 分
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17..解: （I）当
2
1a ， xebxxxf )1()( 2 ， xebxbxxf ]1)2([)( 2 ……1
分
令 0)( xf ，得 11 x ， bx 12 .
当 0b 时， 0)( xf .………………2 分
当 0b ， 11 xb 时， 0)( xf ， bx 1 或 1x 时， 0)( xf …………………3
分
当 0b ， bx 11 时， 0)( xf ， bx 1 或 1x 时， 0)( xf .
0b 时， )(xf 的单调递减区间为 ),( ；
0b 时， )(xf 的单调递增区间为 )1,1( b ，递减区间为 )1,( b ， ),1( ；
0b 时， )(xf 的单调递增区间为 )1,1( b ，递减区间为 )1,( ， ),1( b
……………………………4 分.
（II）由 1)1( f 得 eba 12 ， aeb 21 ，
由 1)( xf 得 12 2 bxaxex ，设 12)( 2 bxaxexg x ，
则 )(xg 在 )1,0( 内有零点.设 0x 为 )(xg 在 )1,0( 内的一个零点，
则由 0)1(,0)0( gg 知 )(xg 在区间 ),0( 0x 和 )1,( 0x 上不可能单调.
设 )()( xgxh ，则 )(xh 在区间 ),0( 0x 和 )1,( 0x 上均存在零点，即 )(xh 在 )1,0( 上至少有
两个零点……………………………5 分.
baxexg x 4)( ， aexh x 4)( .
当
4
1a 时， 0)( xh ， )(xh 在区间 )1,0( 上递增， )(xh 不可能有两个及以上零点；
……………………………6 分.
当
4
ea 时， 0)( xh ， )(xh 在区间 )1,0( 上递减， )(xh 不可能有两个及以上零点；
……………………………7 分.
当
44
1 ea 时，令 0)( xh 得 )1,0()4ln( ax ，所以 )(xh 在区间 ))4ln(,0( a 上递减，
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在 )1),4(ln( a 上递增， )(xh 在区间 )1,0( 上存在最小值 ))4(ln( ah .……………………………
8 分
若 )(xh 有两个零点，则有： 0))4(ln( ah ， 0)0( h ， 0)1( h .……………………… 9
分
)44
1(1)4ln(46)4ln(44))4(ln( eaeaaabaaaah
设 )1(,1ln2
3)( exexxxx ，则 xx ln2
1)( ，令 0)( x ，得 ex .
当 ex 1 时， 0)( x ， )(x 递增，
当 exe 时， 0)( x ， )(x 递减，
01)()( max eeex ，所以 0))4(ln( ah 恒成立. …………………10 分
由 0221)0( eabh ， 04)1( baeh ，得
2
1
2
2 ae .
当
2
1
2
2 ae 时，设 )(xh 的两个零点为 21, xx ，则 )(xg 在 ),0( 1x 递增，在 ),( 21 xx 递
减，在 )1,( 2x 递增，所以 0)0()( 1 gxg ， 0)1()( 2 gxg ，则 )(xg 在 ),( 21 xx 内有零
点. 综上，实数 a 的取值范围是 )2
1,2
2( e .…………………12 分
