2020届江苏省苏北四市高三上学期第一次质量检测（期末）数学（理）试题

2020届江苏省苏北四市高三上学期第一次质量检测（期末）数学（理）试题

2019-2020 学年度高三年级第一次质量检测 数学理科Ⅰ卷 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.已知集合 ， ，则 _____. 答案： 2.已知复数 满足 ，且 的虚部小于 0，则 _____. 答案： 3.若一组数据 的平均数为 7，则该组数据的方差是_____. 答案： 4.执行如图所示的伪代码，则输出的结果为_____. 答案：20 5.函数 的定义域为_____. 答案： 6.某学校高三年级有 两个自习教室，甲、乙、丙 3 名学生各自随机选择其中一个教室自习， 则甲、乙两人不在同一教室上自习的概率为______. 答案： 7.若关于 的不等式 的解集是 ，则实数 的值为______. 答案：4 8.在平面直角坐标系 中，双曲线 的右准线与渐近线的交点在抛物线 上， 则实数 的值为______. 9.已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的值为_____. 答案：135 10.已知函数 的图象与函数 的图象相邻的三个交点分别是 ，则 的面积为_____. 答案： 11.在平面直角坐标系 中，已知圆 ，圆 与圆 外切与点 ， { | 0 2}A x x= < < { | 1 1}B x x= − < < A B = { 1 2}x x− < < z 2 4z = − z z = 2i− 7, ,6,8,8x 4 5 2( ) log 2f x x= − [4,+ )∞ ,A B 1 2 x 2 3 0x mx− + < (1,3) m xOy 2 2 13 x y− = 2 2y px= p { }na n nS 2 9 8a a+ = 5 5S = − 15S 3sin 2y x= cos2y x= , ,A B C ABC∆ 3 π2 xOy 2 2: 4 8 12 0M x y x y+ − − + = N M (0, )m 且过点 ，则圆 的标准方程为______. 答案： 12.已知函数 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称，当 时， （其中 是自然对数的底数），若 ，则实数 的值为_____. 答案：3 13.如图，在 中， 是 上的两个三等分点， ，则 的最小值 为____. 答案： 14.设函数 ， ，其中 .若 恒成立，则当 取得最小值时， 的值为______. 答案： 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤 15. （本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 中， ， 分别为棱 的中点，平面 平面 . （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 . 解：（1）在 中，因为 M，N 分别为棱 PB，PC 的中点， (0, 2)− N 2 2( 2) 8x y+ + = ( )f x R 1x = (0,1]x∈ ( ) axf x e= − e (2020 ln 2) 8f − = a ABC∆ ,D E BC 2AB AD AC AE⋅ = ⋅    cos ADE∠ 4 7 3( ) | |f x x ax b= − − [ 1,1]x∈ − ,a b R∈ ( )f x M≤ M a b+ 3 4 P ABC− AP AB= ,M N ,PB PC PAB ⊥ PBC BC∥ AMN AMN ⊥ PBC PBC△ 所以 MN// BC． ………………………………3 分 又 MN 平面 AMN，BC 平面 AMN， 所以 BC//平面 AMN．…………………………6 分 （2）在 中，因为 ，M 为棱 PB 的中点， 所以 ．………………………………8 分 又因为平面 PAB⊥平面 PBC，平面 PAB 平面 PBC ， 平面 PAB， 所以 平面 PBC．…………………………………………………………12 分 又 平面 AMN，所以平面 AMN⊥平面 PBC． …………………………14 分 16. （本小题满分 14 分） 在 中，角 的对边分别为 ，且 . （1）若 ， ，求 的值； （2）若 ，求 的值. 解：（1）在 中，由余弦定理 得， ，即 ， …………………………4 分 解得 或 （舍），所以 ． ………………………………………6 分 （2）由 及 得， ，…8 分 所以 ， 又因为 ，所以 ， 从而 ，………………………………………………12 分 所以 ．………………………………………14 分 17. （本小题满分 14 分） 如图，在圆锥 中，底面半径 为 3，母线长 为 5.用一个平行于底面的平面区截圆锥，截面 圆的圆心为 ，半径为 ，现要以截面为底面，圆锥底面圆心 为顶点挖去一个倒立的小圆锥 ，记圆锥 的体积为 . （1）将 表示成 的函数； （2）求 得最大值. ⊂ ⊄ PAB△ AP AB= AM PB⊥  PB= AM ⊂ AM ⊥ AM ⊂ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 5cos 5A = 5a = 2 5c = b 4B π= tan 2C ABC△ 2 2 22 cosb c bc A a+ − = 2 520 2 2 5 255b b+ − × × = 2 4 5 0b b− − = 5b = 1b = − 5b = 5cos 5A = 0 A< < π 2 25 2 5sin 1 cos 1 ( )5 5A A= − = − = 2 10cos cos( ( )) cos( ) (cos sin )4 2 10C A B A A A π= π − + = − + = − − = 0 C< < π 2 210 3 10sin 1 cos 1 ( )10 10C C= − = − = 3 10 sin 10tan 3cos 10 10 CC C = = = 2 2 2tan 2 3 3tan 2 1 tan 1 3 4 CC C ×= = = −− − SO R l 1O r O 1OO 1OO V V r V 解：（1）在 中， ， …………………………2 分 由 ∽ 可知， ，所以 ，……………………4 分 所以 ，所以 ．…7 分 （2）由（1）得 ， 所以 ，令 ，得 ，………………………9 分 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减． 所以当 时， 取得最大值 ． 答：小圆锥的体积 的最大值为 ．………………………………………14 分 18. （本小题满分 16 分） 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右顶点为 ,过点 作直线 与圆 相切，与椭圆 交于另一点 ，与右准线交于点 .设直线 的斜率为 . （1）用 表示椭圆 的离心率； （2）若 ,求椭圆 的离心率. SAO△ 2 2 2 25 3 4SO SA AO= − = − = 1SNO△ SAO△ 1SO r SO R = 1 4 3SO r= 1 44 3OO r= − 2 2 31 4 4( ) π (4 ) π(3 ),0 33 3 9V r r r r r r= − = − < < 2 34( ) π(3 ),0 39V r r r r= − < < 24( ) π(6 3 )9V r r r′ = − ( ) 0V r′ = 2r = (0,2)r ∈ ( ) 0V r′ > ( )V r (0,2) (2,3)r ∈ ( ) 0V r′ < ( )V r (2,3) 2r = ( )V r 16π(2) 9V = V 16π 9 xOy 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > A A l 2 2 2:O x y b+ = C P Q l k k C 0OP OQ⋅ =  C （1）直线 l 的方程为 ，即 ， 因为直线 l 与圆 相切，所以 ，故 ． 所以椭圆 的离心率 ．………………………………4 分 （2）设椭圆 的焦距为 ，则右准线方程为 ， 由 得 ，所以 ，…6 分 由 得 ， 解得 ，则 ， 所以 ，……………………………………………10 分 因为 ，所以 ， 即 ，………………………………………………12 分 由（1）知， ，所以 ， 所以 ，即 ，所以 ，故椭圆 的离心率为 ．……16 分 19. （本小题满分 16 分） 已知函数 . （1）若曲线 在点 处的切线方程为 ，求 的值； （2）若 的导函数 存在两个不相等的零点，求实数 的取值范围； （3）当 时，是否存在整数 ，使得关于 的不等式 恒成立？若存在， 求出 的最大值；若不存在，说明理由. 解：（1） ， )( axky −= 0=−− akykx 222 byxO =+： b k ak = + − 12 22 2 2 ba bk − = C 2 2 2 11 1 be a k = − = + C 2c 2ax c =    = −= c ax axky 2 )( c acakac aky −=−= 22 )( ))(,( 22 c acak c aQ −    −= =+ )( 12 2 2 2 axky b y a x 02)( 2224232222 =−+−+ bakaxkaxkab 222 223 kab abkaxp + −= 222 2 222 223 2)( kab kaba kab abkaky p + −=− + −= )2- 222 2 222 223 kab kab kab abkaP ++ − ，（ 0=⋅OQOP 02)( 222 22 222 2232 = + −⋅−+ + −⋅ kab kab c acak kab abka c a )(2)( 22222 cakbbkaa −=− 22 2 2 ba bk − = 22 4 2 22 22 )(2)( ba cabb ba baa − −=− − caa 22 −= ca 2= 2 1= a c C 2 1 1( ) ( )lnf x a xx = − ( )a R∈ ( )y f x= (1, (1))f 1 0x y+ − = a ( )f x '( )f x a 2a = λ x ( )f x λ≥ λ ( )2 1 1 1( ) lnf x x a x xx ′ = + − 因为曲线 在点 处的切线方程为 ， 所以 ，得 ．……………………………………………2 分 （2）因为 存在两个不相等的零点． 所以 存在两个不相等的零点，则 ． ①当 时， ，所以 单调递增，至多有一个零点．……4 分 ②当 时，因为当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减， 所以 时， ． …………………………6 分 因为 存在两个零点，所以 ，解得 ．………7 分 因为 ，所以 ． 因为 ，所以 在 上存在一个零点． …………8 分 因为 ，所以 ． 因为 ，设 ，则 ， 因为 ，所以 单调递减， 所以 ，所以 ， 所以 在 上存在一个零点． 综上可知，实数 的取值范围为 ．…………………………………10 分 （3）当 时， ， ， 设 ，则 ．所以 单调递增， 且 ， ，所以存在 使得 ，……12 分 因为当 时， ，即 ，所以 单调递减； 当 时， ，即 ，所以 单调递增， 所以 时， 取得极小值，也是最小值， 此时 ，……………14 分 因为 ，所以 ， 因为 ，且 为整数，所以 ，即 的最大值为 ．………16 分 20. （本小题满分 16 分） 已知数列 的首项 ，对任意的 ,都有 ，数列 是公比不为 1 的等比数列. （1）求实数 的值； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求所有正整数 的值，使得 恰好为 ( )y f x= (1, (1))f 1 0x y+ − = (1) 1 1f a′ = − = − 0a = 2 1 ln( ) ax xf x x − +′ = ( ) 1 lng x ax x= − + 1( )g x ax ′ = + 0a≥ ( ) 0g x′ > ( )g x 0a < 1(0 )x a ∈ −， ( ) 0g x′ > ( )g x 1( + )x a ∈ − ∞， ( ) 0g x′ < ( )g x 1x a = − max 1 1( ) ( ) ln( ) 2g x g a a = − = − − ( )g x 1ln( ) 2 0a − − > 2e 0a−− < < 2e 0a−− < < 21 e 1a − > > (1) 1 0g a= − < ( )g x 1(0 )a −， 2e 0a−− < < 21 1( )a a − > − 2 21 1 1[( ) ] ln( ) 1g a a a − = − + − 1t a = − 22ln 1( e )y t t t= − − > 2 0ty t −′ = < 22ln 1( e )y t t t= − − > ( )2 2 22ln e e 1 3 e 0y < − − = − < 2 21 1 1[( ) ] ln( ) 1 0g a a a − = − + − < ( )g x 1( )a − + ∞， a 2( e ,0)−− 2a = 1( ) (2 )lnf x xx = − ( )2 2 1 1 1 2 1 ln( ) ln 2 x xf x x x xx x − +′ = + − = ( ) 2 1 lng x x x= − + 1( ) 2 0g x x ′ = + > ( )g x 1 1( ) ln 02 2g = < (1) 1 0g = > 0 1( 1)2x ∈ ， 0( ) 0g x = 0(0 )x x∈ ， ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x 0( + )x x∈ ∞， ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x 0x x= ( )f x ( )0 0 0 0 0 0 0 1 1 1( ) (2 )ln (2 ) 1 2 (4 ) 4f x x x xx x x = − = − − = − + + 0 1( 1)2x ∈ ， 0( ) ( 1 0)f x ∈ − ， ( )f x λ≥ λ 1λ −≤ λ 1− { }na 1 3a = *n N∈ 1 1n na ka+ = − ( 0)k ≠ { 1}na − k 4 , 1,n n n nb a n −=  − 为奇数 为偶数 { }nb n nS m 2 2 1 m m S S − 数列 中的项. 解：（1）由 ， 可知， ， ， 因为 为等比数列，所以 ， 即 ，即 ，解得 或 ，…2 分 当 时， ，所以 ，则 ， 所以数列 的公比为 1，不符合题意； 当 时， ，所以数列 的公比 ， 所以实数 的值为 ． …………………………………………………………4 分 （2）由（1）知 ，所以 则 ，……………………………………………………6 分 则 ， 因为 ，又 ， 且 ， ，所以 ，则 ， 设 ，…………………………………………………………8 分 则 或 为偶数，因为 不可能，所以 或 为偶数， ①当 时， ，化简得 ， 即 ，所以 可取值为 1，2，3， 验证 得，当 时， 成立．…………………12 分 ②当 为偶数时， ， 设 ，则 ， 由①知 ，当 时， ； 当 时， ，所以 ，所以 的最小值为 ， 所以 ，令 ，则 ， 即 ，无整数解． 综上，正整数 m 的值 ．………………………………………………………16 分 { }nb 1 1n na ka+ = − 1 3a = 2 3 1a k= − 2 3 3 1a k k= − − { 1}na − 2 2 1 3( 1) ( 1)( 1)a a a− = − − 2 2(3 2) 2 (3 2)k k k− = × − − 23 10 8 0k k− + = 2k = 4 3k = 4 3k = 1 43 ( 3)3n na a+ − = − 3na = 1 2na − = { 1}na − 2k = 1 1 2( 1)n na a+ − = − { 1}na − 1 1 21 n n aq a + −= =− k 2 1 2n na − = 4 n n n nb n − , = 2 ,  为奇数, 为偶数, 2 2 (4 1) 4 (4 3) 4 [4 (2 1)] 4m mS m= − + + − + + + − − + 2(4 1) (4 3) [4 (2 1)] 4 4 4mm= − + − + + − − + + + +  14 4(4 ) 3 m m m + −= − + 2 1 2 2 4 4(4 ) 3 m m m mS S b m m− −= − = − + 2 2 +1 3 2 4m m mb b m+ = − + 2 2 2 +3 2 2 +1( ) ( ) 3 4 2 0m m m m mb b b b+ + − + = × − > 2 3 5 0b b+ = > 1 3 0b = > 2 1 0mS − > 2 0mS > 2 2 1 0,m t m S b tS − = > ∈ *N 1,3t = t 3 1b = 1t = t 2 1 2 1 =m m S bS − 14 4(4 ) 3 34 4(4 ) 3 m m m m m m + −− + =−− + 26 24 8 4 4mm m− + = − −≤ 2 4 2m m− + ≤0 m 62 4 1 3 5 7 87, 3,3 23 SS S S S S = = = 2m = 4 1 3 S bS = t 1 2 2 2 1 4 4(4 ) 33 14 4 3 12 4(4 ) 13 4 m m m m m m mS S m mm m + − −− + = = +− − + −− + + 23 12 4 4m m m mc − + −= 2 1 1 9 42 21 4m m m m mc c+ + − +− = 3m > 4m = 5 4 5 3 04c c −− = < 4m > 1 0m mc c+ − > 4 5 6c c c> < < mc 5 19 1024c −= 2 2 1 30 1 519 11024 m m S S − < < + <− + 2 2 2 1 4m m S bS − = = 2 31 43 12 4 14m m m + =− + − + 23 12 4 0m m− + − = 2 2019-2020 学年度高三年级第一次质量检测 数学Ⅱ（附加题） 21．【选做题】本题包含 A、B、C 小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域内作答.若多做，则 按作答的前两题评分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4—2：矩阵与变换] （本小题满分 10 分） 已知矩阵 的一个特征值为 4，求矩阵 的逆矩阵 . 解：矩阵 的特征多项式为 ．…………2 分 因为矩阵 的一个特征值为 4，所以 ，所以 ．…………5 分 所以 ，所以 ．……10 分 B．[选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极 坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）.在曲线 上点 ,使点 到 的距离最小，并求出最小值. 解：由 ，及 ， ， 所以 的直角坐标方程为 ． ………………………………………2 分 在曲线 上取点 ，则点 到 的距离 ，…………6 分 当 时， 取最小值 ，…………………………………………………8 分 此时点 的坐标为 ．………………………………………………………10 分 C．[选修 4—5：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 已知正数 满足 ，求 的最小值. 解：因为 都为正数，且 ， 所以由柯西不等式得， ………………5 分 ， 当且仅当 时等号成立， 2M t =  3 1   M 1M − M 2 3( ) ( 2)( 1) 31f tt λλ λ λλ − −= = − − −− − M (4) 6 3 0f t= − = 2t = 2 3 2 1  =   M 1 1 3 1 3 2 1 3 2 2 1 3 2 4 4 2 2 1 1 2 1 3 2 2 1 3 2 2 2 − −   −   × − × × − ×= =   − −   × − × × − ×    M xOy O x l (cos sin ) 12ρ θ θ+ = C 2 3cos 2sin x y θ θ  = = θ Rθ ∈ C M M l : cos sin 12 0l ρ θ ρ ϕ+ − = cosx ρ θ= siny ρ θ= l 12 0x y+ − = C ( )2 3cos 2sinM ϕ ϕ， M l ( ) ( )4sin 12 12 4sin2 3cos 2sin 12 3 3 2 2 2 d ϕ ϕϕ ϕ π π+ − − ++ − = = = 6 ϕ π= d 4 2 M ( )3,1 , ,x y z 1x y z+ + = 1 1 1+2 2 2x y y z z x ++ + + x y z， ， 1x y z+ + = 1 1 13( )2 2 2x y y z z x + ++ + + 1 1 1( ) [( 2 ) ( 2 ) ( 2 )]2 2 2 x y y z z xx y y z z x = + + ⋅ + + + + ++ + + 21 1 1( 2 2 2 ) 92 2 2x y y z z xx y y z z x ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + =+ + +≥ 1 3x y z= = = （第 22 题） B A C x y z B1 A1 C1 所以 的最小值为 3．…………………………………10 分 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤． 22.（本小题满分 10 分） 如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，侧面 为菱形， ，平面 平面 . （1）求直线 与平面 所成角的正弦值； （2）求二面角 的余弦值. 解：（1）因为四边形 为正方形，所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 . ……………………………2 分 以点 为坐标原点，分别以 , 所在的直线 为 , 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 . 不妨设正方形 的边长为 2， 则 ， ． 在菱形 中，因为 ， 所以 ，所以 ． 因为平面 的法向量为 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 则 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．………………………6 分 （2）由（1）可知， ，所以 ． 设平面 的一个法向量为 ， 因为 即 ， 取 ， ， ，即 ． 设平面 的一个法向量为 ， 1 1 1 2 2 2x y y z z x + ++ + + 1 1 1ABC A B C− 1 1AA B B 1 1BB C C 1 1 60BB C∠ =  1 1AA B B ⊥ 1 1BB C C 1AC 1 1AA B B 1B AC C− − 1 1AA B B 1AB BB⊥ 1 1AA B B ⊥ 1 1BB C C 1 1AA B B  1 1 1BB C C BB= AB ⊂ 1 1AA B B AB ⊥ 1 1BB C C B BA 1BB x y B xyz− 1 1AA B B ( )2 0 0A ， ， ( )1 0 2 0B ， ， 1 1BB C C 1 1 60BB C∠ = ° 1(0 1 3)C ， ， 1 ( 2 1 3)AC = − ， ， 1 1AA B B ( )0 0 1= ， ，n 1AC 1 1AA B B α 1 | 3 | 6sin |cos , | 42 2 1 ACα = < > = = ×  n 1AC 1 1AA B B 6 4 ( )0 1 3C −， ， ( )1 0 2 0CC = ， ， 1ACC ( )1 1 1 1x y z= ， ，n 1 1 1 1 0, 0, AC CC  ⋅ = ⋅ =   n n ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 1 3 0 0 2 0 0 x y z x y z  ⋅ − = ⋅ = ， ， ， ， ， ， ， ， 1 3 2x = 1 0y = 1 1z = 1 3 0 12  =   ， ，n 1ABC ( )2 2 2 2x y z= ， ，n 因为 ， ， 所以 ，取 ．…………8 分 设二面角 的平面角为 ， 则 ， 所以二面角 的余弦值为 ．…………………………………10 分 23.（本小题满分 10 分） 已知 为给定的正整数，设 ， . （1）若 ，求 ， 的值； （2）若 ，求 的值. 解：（1）因为 ，所以 ， ．……………………2 分 （2）当 时， ， 又因为 ，………………………4 分 当 时， ； …………………………………5 分 当 时， ， 当 时，也符合． 所以 的值为 ．………………………………………………10 分 ( )2 0 0BA = ， ， ( )1 0 1 3BC = ， ， ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 3 0 x y z x y z ⋅ = ⋅ = ， ， ， ， ， ， ， ， ( )2 0 3 1= −， ，n 1B AC C− − θ 1 2 1 2 1 2 71cos cos 73 1 3 14 θ ⋅ −= − < >= − = − =⋅ + ⋅ + ， n nn n n n 1B AC C− − 7 7 n 2 0 1 2 2( )3 n n nx a a x a x a x+ = + + + + x R∈ 4n = 0a 1a 1 3x = 0 ( ) n k k k n k a x = −∑ 4n = 0 4 0 4 2 16C ( ) =3 81a = 1 3 1 4 2 32C ( ) =3 27a = 1 3x = 2 1C ( ) ( )3 3 k k n k k k na x −= 1 1 ! ( 1)!C C!( )! ( 1)!( )! k k n n n nk k n nk n k k n k − − −= = =− − − 1n = 0 1 1 0 2 2( ) C ( )3 3 n k k k n k a x = − = =∑ 2n≥ 0 0 2 1( ) ( )C ( ) ( )3 3 n n k k n k k k n k k n k a x n k − = = − = −∑ ∑ 0 1 2 1 2 1C ( ) ( ) C ( ) ( )3 3 3 3 n n k n k k k n k k n n k k n k− − = = = −∑ ∑ 1 1 1 2 1 2 1( ) C ( ) ( )3 3 3 3 n n k n k k n k n n − − − = = + − ∑ 1 1 1 1 1 2 1C ( ) ( )3 3 3 n k n k k n k n n − − − − = = − ∑ 11 2 1( )3 3 3 nn n −= − + 2 3 n= 1n = 0 ( ) n k k k n k a x = −∑ 2 3 n