【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-3圆的方程学案

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第三节圆的方程 ‎1．圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)‎ 标准方程 ‎(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)❶‎ 圆心：(a，b)，半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ ‎(D2＋E2－4F＞0)❷‎ 圆心：，‎ 半径： 如果没给出r＞0，则圆的半径为|r|.‎ 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形．‎ ‎2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：‎ ‎(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.‎ ‎(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.‎ ‎(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.‎ ‎[熟记常用结论]‎ ‎(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是 ‎(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.‎ ‎[小题查验基础]‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)‎ ‎(2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆．(　　)‎ ‎(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＝0不一定表示圆．(　　)‎ ‎(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、选填题 ‎1．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－1)2＝1　 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1‎ C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－1)2＝2‎ 解析：选D　由题意得圆的半径为，故该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，故选D.‎ ‎2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)‎ A．(2,3) B.(－2,3)‎ C．(－2，－3) D．(2，－3)‎ 解析：选D　圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．‎ ‎3．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－1,1) B.(0,1)‎ C. D. 解析：选D　由(2a)2＋(a－2)2＜5，得－＜a＜1.‎ ‎4．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________．‎ 解析：若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.‎ 答案： ‎5．圆心在y轴上，半径长为1，且过点A(1,2)的圆的方程是________．‎ 解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.‎ 答案：x2＋(y－2)2＝1‎ ‎[典例精析]‎ ‎[例1]　已知圆E经过三点A(0,1)，B(2,0)，C(0，－1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为(　　)‎ A.2＋y2＝　　 B.2＋y2＝ C.2＋y2＝ D.2＋y2＝ ‎[解析]　法一：(待定系数法)设圆E的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则由题意得解得所以圆E的一般方程为x2＋y2－x－1＝0，即2＋y2＝.‎ 法二：(几何法)因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)，所以圆E的圆心在线段AB 的垂直平分线y－＝2(x－1)上．‎ 又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为.‎ 则圆E的半径为|EB|＝ ＝，所以圆E的标准方程为2＋y2＝.‎ ‎[答案]　C ‎[例2]　圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________________________．‎ ‎[解析]　法一：(几何法)设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．‎ 又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，‎ 即＝，解得a＝－2，‎ 所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝，‎ 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.‎ 法二：(待定系数法)设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，‎ 由题意得 解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，‎ 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.‎ ‎[答案]　(x＋1)2＋(y＋2)2＝10‎ ‎[解题技法]‎ ‎1．求圆的方程的两种方法 几何法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程 待定系数法 ‎①根据题意，选择标准方程与一般方程；‎ ‎②根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；‎ ‎③解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程 ‎[提醒]　解答圆的有关问题时，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．‎ ‎2．确定圆心位置的方法 ‎(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．‎ ‎(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．‎ ‎(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．‎ ‎[过关训练]‎ ‎1．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值为________．‎ 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ 分别代入A，B，C三点坐标，‎ 得解得 所以A，B，C三点确定的圆的方程为 x2＋y2－4x－y－5＝0.‎ 因为D(a,3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.‎ 所以a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.‎ 答案：7‎ ‎2．已知圆心在直线y＝－x＋1上，且与直线x＋y－2＝0相切于点(1,1)的圆的方程为________________________．‎ 解析：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，‎ 则解得 所以r＝ ＝.‎ 故所求圆的方程为2＋2＝.‎ 答案：2＋2＝ ‎[考法全析]‎ 考法(一)　斜率型最值问题 ‎[例1]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．‎ ‎[解]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，‎ 表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．‎ 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，‎ 所以设＝k，即y＝kx.‎ 当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，‎ 此时＝，解得k＝±.‎ 所以的最大值为，最小值为－.‎ 考法(二)　截距型最值问题 ‎[例2]　已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上，求x＋y的最大值与最小值．‎ ‎[解]　(转化为截距的最值问题求解)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，显然当动直线y＝－x＋b与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示．‎ 由圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆C的半径，可得＝2，即|b－6|＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2.‎ 考法(三)　距离型最值问题 ‎[例3]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．‎ ‎[解]　如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，‎ 所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，‎ x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.‎ 考法(四)　利用对称性求最值 ‎[例4]　已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________．‎ ‎[解析]　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，‎ 故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝的圆．‎ 设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，‎ 故解得故A′(－4，－2)．‎ 连接A′C交圆C于Q(图略)，由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.‎ ‎[答案]　2 ‎[规律探求]‎ 看个性 考法(一)是形如μ＝型的最值问题，可转化过定点(a，b)的动直线斜率的最值问题求解．如本题＝表示过坐标原点的直线的斜率．‎ 考法(二)是求形如u＝ax＋by的最值，可转化为求动直线截距的最值．具体方法是：‎ ‎(1)数形结合法，当直线与圆相切时，直线在y轴上的截距取得最值；‎ ‎(2)把u＝ax＋by代入圆的方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，由Δ≥0求得u的范围，进而求得最值.‎ 考法(三)是求形如t＝(x－a)2＋(y－b)2的最值，可转化为圆上的点到定点的距离的最值，即把(x－a)2＋(y－b)2看作是点(a，b)与圆上的点(x，y)连线的距离的平方，利用数形结合法求解.‎ 考法(四)是形如|PA|＋|PQ|形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数．②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.‎ 找共性 求解与圆有关的最值问题，其通法是数形结合和转化化归思想，其流程为：‎ ‎[过关训练]‎ ‎1．已知点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是(　　)‎ A．2,2－　　　　　　　 B．2＋，2－ C.，4－ D.＋1，－1‎ 解析：选B　由题意知|AB|＝＝，‎ lAB：2x－y＋2＝0，由题意知圆C的圆心坐标为(1,0)，‎ ‎∴圆心到直线lAB的距离d＝＝.‎ ‎∴S△PAB的最大值为××＝2＋，‎ S△PAB的最小值为××＝2－.‎ ‎2．设P为直线3x－4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．‎ 解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径r＝1，根据对称性可知，四边形PACB的面积为2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|＝，要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC|最小，|PC|最小时为圆心到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2.所以四边形PACB面积的最小值为＝＝.‎ 答案： ‎[典例精析]‎ 已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．‎ ‎(1)求直角顶点C的轨迹方程；‎ ‎(2)求直角边BC的中点M的轨迹方程．‎ ‎[解]　(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.‎ 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.‎ 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．‎ ‎(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，所以x0＝2x－3，y0＝2y.‎ 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，‎ 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，‎ 即(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．‎ 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．‎ ‎ [解题技法]‎ 求与圆有关轨迹问题的3种方法 ‎(1)直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程．‎ ‎(2)定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程．‎ ‎(3)代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程．‎ ‎[过关训练]‎ ‎1．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　)‎ A．8x－6y－21＝0　　　　　 B．8x＋6y－21＝0‎ C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0‎ 解析：选D　由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r ‎＝2，如图．因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0，故选D.‎ ‎2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．‎ 解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，‎ 则线段OP的中点坐标为，‎ 线段MN的中点坐标为.‎ 因为平行四边形的对角线互相平分，‎ 所以＝，＝，整理得 又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，‎ 所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.‎ 所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆.‎ ‎ 一、题点全面练 ‎1．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　)‎ A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5　 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5‎ C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5‎ 解析：选C　由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C.‎ ‎2．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，‎ ‎∴∴ ‎∴△ABC外接圆的圆心为，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 ＝.‎ ‎3．(2019·成都模拟)若抛物线y＝x2－2x ‎－3与坐标轴的交点在同一个圆上，则由交点确定的圆的方程为(　　)‎ A．x2＋(y－1)2＝4 B.(x－1)2＋(y－1)2＝4‎ C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋(y＋1)2＝5‎ 解析：选D　抛物线y＝x2－2x－3关于直线x＝1对称，与坐标轴的交点为A(－1,0)，B(3,0)，C(0，－3)，设圆心为M(1，b)，半径为r，则|MA|2＝|MC|2＝r2，即4＋b2＝1＋(b＋3)2＝r2，解得b＝－1，r＝，∴由交点确定的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5，故选D.‎ ‎4．(2019·银川模拟)若圆C与y轴相切于点P(0,1)，与x轴的正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程是(　　)‎ A．(x＋)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋)2＝2‎ C．(x－)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－)2＝2‎ 解析：选C　设线段AB的中点为D，则|AD|＝|CD|＝1，∴r＝|AC|＝＝|CP|，故C(，1)，故圆C的标准方程是(x－)2＋(y－1)2＝2，故选C.‎ ‎5．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　)‎ A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4‎ C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1‎ 解析：选A　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得则故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A.‎ ‎6．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．‎ 答案：(－∞，－2)‎ ‎7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为____________________．‎ 解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.‎ 答案：(x－2)2＋y2＝9‎ ‎8．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为____________________．‎ 解析：因为直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r＝，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.‎ 答案：(x－1)2＋y2＝2‎ ‎9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C，D，且|CD|＝4.‎ ‎(1)求直线CD的方程；‎ ‎(2)求圆P的方程．‎ 解：(1)由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.‎ ‎(2)设圆心P(a，b)，由点P在CD上得a＋b－3＝0.①‎ 又∵直径|CD|＝4，‎ ‎∴|PA|＝2，‎ ‎∴(a＋1)2＋b2＝40.②‎ 由①②解得或 ‎∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．‎ ‎∴圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.‎ ‎10．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．‎ ‎(1)求|MQ|的最大值和最小值；‎ ‎(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．‎ 解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，‎ 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，‎ 所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.‎ 又|QC|＝＝4＞2.‎ 所以点Q在圆C外，‎ 所以|MQ|max＝4＋2＝6，‎ ‎|MQ|min＝4－2＝2.‎ ‎(2)可知表示直线MQ的斜率，‎ 设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，‎ 即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.‎ 因为直线MQ与圆C有交点，‎ 所以≤2，‎ 可得2－≤k≤2＋，‎ 所以的最大值为2＋，最小值为2－.‎ 二、专项培优练 ‎(一)易错专练——不丢怨枉分 ‎1．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　)‎ A．一个椭圆 B.一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 解析：选D　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝表示的曲线是两个半圆，选D.‎ ‎2．(2019·海口模拟)已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝x＋y的取值范围是(　　)‎ A．(－2，4) B.[－2，4]‎ C．[－4,4] D．[－4,2]‎ 解析：选B　x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m.当直线x＋y－m＝0过点(－2,0)时，m＝－2.设圆心(0,0)到直线x＋y－m＝0的距离为d，‎ 则即 解得m∈[－2，4]．‎ ‎3．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－4] B.[－4,6]‎ C．(－∞，－4]∪[6，＋∞) D．[6，＋∞)‎ 解析：选D　|3x－4y－9|表示点P到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|表示点P到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，即点P到直线l1，l2的距离之和与点P的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以≥1，且a＞0，解得a≥6，故选D.‎ ‎4．已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为______________________．‎ 解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方程为x2＋ ‎2＝.‎ 答案：x2＋2＝ ‎5．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为________．‎ 解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(＋1)2＝36，∴dmax＝74.‎ 答案：74‎ ‎(二)交汇专练——融会巧迁移 ‎6．[与不等式交汇]已知圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B. C．4 D. 解析：选D　由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，‎ ‎∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，‎ 当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.‎ ‎7．[与线性规划交汇]已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为____________________．‎ 解析：如图，不等式表示的平面区域是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，‎ ‎∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．‎ ‎∵△OPQ为直角三角形，‎ ‎∴圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r＝＝，‎ 因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎8．[与函数交汇]如果直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)和函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2‎ ‎＝25的内部或圆上，那么的取值范围为________．‎ 解析：易知函数f(x)＝mx＋1＋1(m＞0，m≠1)的图象过定点(－1,2)，∴直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)过定点(－1，2)，∴a＋b＝7，①‎ 又定点(－1,2)在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，∴a2＋b2≤25，②‎ 由①②解得3≤a≤4，∴≤≤，‎ ‎∴＝＝－1∈.‎ 答案： ‎9．[与向量交汇]已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)设Q为圆C上的一个动点，求·的最小值．‎ 解：(1)设圆C的圆心C(a，b)，由已知得M(－2，－2)，‎ 则解得 则圆C的方程为x2＋y2＝r2，‎ 将点P的坐标代入得r2＝2，故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2)设Q(x0，y0)，则x＋y＝2，‎ ·＝(x0－1，y0－1)·(x0＋2，y0＋2)‎ ‎＝x＋y＋x0＋y0－4＝x0＋y0－2.‎ 令x0＝cos θ，y0＝sin θ，‎ 所以·＝x0＋y0－2‎ ‎＝(sin θ＋cos θ)－2‎ ‎＝2sin－2，‎ 又min＝－1，‎ 所以·的最小值为－4.‎ ‎(三)难点专练——适情自主选 ‎10．在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C ‎？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．‎ 解：由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.设A(x1,0)，B(x2,0)，可得Δ＝m2－8m＞0，则m＜0或m＞8.x1＋x2＝m，x1x2＝2m.令x＝0，得y＝2m，即C(0,2m)．‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0(舍去)或m＝－.‎ 此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，‎ 半径r＝|CM|＝，‎ 故所求圆的方程为2＋y2＝.‎ ‎(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，‎ 将点C(0,2m)代入可得E＝－1－2m，‎ 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0.‎ 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.‎ 令可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.‎