高考数学复习课时提能演练(五十三) 8_4

高考数学复习课时提能演练(五十三) 8_4

‎ ‎ 课时提能演练(五十三)‎ ‎(45分钟 100分)‎ 一、选择题(每小题6分，共36分)‎ ‎1.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为( )‎ ‎(A)(x+1)2+y2=2 (B)(x-1)2+y2=2‎ ‎(C)(x+1)2+y2=4 (D)(x-1)2+y2=4‎ ‎2.若直线y=x-b与圆(x-2)2+y2=1有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为 ‎( )‎ ‎(A)(2-,1) (B)［2-,2+］‎ ‎(C)(-∞,2-)∪(2+,+∞) (D)(2-,2+)‎ ‎3.若圆心在x轴上、半径为的圆C位于y轴左侧，且被直线x+2y=0截得的弦长为4，则圆C的方程是( )‎ ‎(A)(x-)2+y2=5 (B)(x+)2+y2=5‎ ‎(C)(x-5)2+y2=5 (D)(x+5)2+y2=5‎ ‎4.(2012·福州模拟)若直线x+my=2+m与圆x2+y2-2x-2y+1=0相交，则实数m的取值范围为( )‎ ‎(A)(－∞,+∞) (B)(-∞,0)‎ ‎(C)(0,+∞) (D)(-∞,0)∪(0,+∞)‎ ‎5.设直线kx-y+1=0被圆O:x2+y2‎ ‎=4所截弦的中点的轨迹为C，则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为( )‎ ‎(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)不确定 ‎6.(2012·厦门模拟)圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是 ‎( )‎ ‎(A)2 (B)1+ (C)2+ (D)1+‎ 二、填空题(每小题6分，共18分)‎ ‎7.(2012·大连模拟)过点P(2，1)作圆C：x2+y2-ax+2ay+‎2a+1=0的切线有两条，则a的取值范围是_________.‎ ‎8.与直线l:x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是___________.‎ ‎9.(预测题)已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-25=0相交于A、B两点，且点C(m,0)在直线AB的左上方，则m的取值范围为_________.‎ 三、解答题(每小题15分，共30分)‎ ‎10.(2012·如皋模拟)已知圆C：x2+(y-1)2=5，直线l：mx-y+1-m=0．‎ ‎(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点A、B；‎ ‎(2)求弦AB中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线？‎ ‎(3)若定点P(1,1)分弦AB为，求直线l的方程．‎ ‎11.(易错题)已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线l：被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方.‎ ‎(1)求圆M的方程；‎ ‎(2)设A(0,t)，B(0,t+6)(-5≤t≤-2)，若圆M是△ABC的内切圆，求△‎ ABC的面积S的最大值和最小值．‎ ‎【探究创新】‎ ‎(16分)已知过点A(-1,0)的动直线l与圆C:‎ x2+(y-3)2=4相交于P,Q两点，M是PQ中点，‎ l与直线m:x+3y+6=0相交于N．‎ ‎(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；‎ ‎(2)当PQ=时，求直线l的方程；‎ ‎(3)探索是否与直线l的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．‎ 答案解析 ‎1.【解析】选A.直线x-y+1=0,令y=0得x=-1，所以直线x-y+1=0与x轴的交点为(-1,0),因为直线x+y+3=0与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，所以圆C的方程为(x+1)2+y2=2.‎ ‎2.【解析】选D.因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离小于半径，即,‎ 解得2-1.‎ ‎∴圆上点到直线x-y=2的距离的最大值为1+.‎ ‎7.【解析】依题意可知：点P在圆C外,而圆C：x2+y2-ax+2ay+‎2a+1=0的圆心坐标()，半径,‎ 则,‎ 解上式得：-32.‎ 答案：-32‎ ‎8.【解题指南】最小圆的圆心一定在过x2+y2-12x-12y+54=0的圆心到直线x+y-2=0所作的垂线段上.‎ ‎【解析】∵圆A：(x-6)2+(y-6)2=18,‎ ‎∴A(6,6)，半径r1=，且OA⊥l，A到l的距离为，显然所求圆B的直径，‎ 即r2=，又OB=OA-r1-r2=2，由与x轴正半轴成45°角，‎ ‎∴B(2,2)，∴方程为(x-2)2+(y-2)2=2．‎ 答案：(x-2)2+(y-2)2=2‎ ‎9.【解析】因为圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-25=0相交，所以其相交弦方程为:x2+y2-6x-7-(x2+y2-6y-25)=0，‎ 即x-y-3=0,‎ 又因为点C(m,0)在直线AB的左上方，所以m-0-3<0,解得m<3.‎ 答案：m<3‎ ‎【方法技巧】求解相交弦问题的技巧 把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+D1x+E1y+F1-(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0 ①‎ 我们把直线方程①称为两圆C1、C2的根轴,‎ 当两圆C1、C2相交时，方程①表示两圆公共弦所在的直线方程；‎ 当两圆C1、C2相切时，方程①表示过圆C1,C2切点的公切线方程.‎ ‎10.【解析】(1)圆心C(0，1)，半径r=，则圆心到直线l的距离，‎ ‎∴d＜r，∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点(或此直线恒过一个定点，且这个定点在圆内).‎ ‎(2)设中点M(x,y)，因为l：m(x-1)-(y-1)=0恒过定点P(1,1)，‎ ‎∴，‎ ‎∴(x,y-1)·(1-x,1-y)=0,‎ 整理得:x2+y2-x-2y+1=0，‎ 即：，表示圆心坐标是(，1)，半径是的圆.‎ ‎(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),‎ 解方程组 得(1+m2)x2‎-2m2‎x+m2-5=0，‎ ‎∴x1+x2= ①‎ 又,‎ ‎∴(x2-1,y2-1)=2(1-x1,1-y1),‎ 即:2x1+x2=3 ②‎ 联立①②解得，则，‎ 即A().‎ 将A点的坐标代入圆的方程得：m=±1，‎ ‎∴直线l的方程为x-y=0,x+y-2=0.‎ ‎11.【解题指南】(1)因为已知圆的半径，求圆的方程，所以只需想办法求出圆心坐标即可；(2)由已知可求出|AB|的值，想办法再求出点C到AB的距离即可求出△ABC的面积S的解析式，进而求面积S的最值．‎ ‎【解析】(1)设圆心M(a,0)，由已知得M到l:8x-6y-3=0的距离为，‎ ‎∴,‎ 又∵M在l的下方，∴‎8a-3>0,∴‎8a-3=5,a=1.‎ 故圆的方程为(x-1)2+y2=1.‎ ‎(2)由题设AC的斜率为k1,BC的斜率为k2,则直线AC的方程为y=k1x+t,直线BC的方程为y=k2x+t+6.‎ 由方程组,得C点的横坐标为.‎ ‎∵|AB|=t+6-t=6,‎ ‎∴，‎ 由于圆M与AC相切，所以,‎ ‎∴；‎ 同理，,∴,‎ ‎∴,∵-5≤t≤-2.‎ ‎∴-2≤t+3≤1,∴-8≤t2+6t+1≤-4,‎ ‎∴,‎ ‎∴△ABC的面积S的最大值为，最小值为.‎ ‎【变式备选】(2012·大庆模拟)已知圆O：x2+y2=1,圆C：(x-2)2+(y-4)2=1,由两圆外一点P(a,b)引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，如图，满足|PA|=|PB|.‎ ‎(1)求实数a、b间满足的等量关系；‎ ‎(2)求切线长|PA|的最小值；‎ ‎(3)是否存在以P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？若存在，求出圆P的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【解析】(1)连接PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1，‎ ‎∴|PO|2=|PC|2，从而a2+b2=(a-2)2+(b-4)2,‎ 化简得实数a、b间满足的等量关系为：a+2b-5=0.‎ ‎(2)由a+2b-5=0,得a=-2b+5,‎ ‎∴当b=2时，|PA|min=2.‎ ‎(3)不存在.∵圆O和圆C的半径均为1，若存在半径为R的圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，则有|PO|=R-1且|PC|=R+1.‎ 于是有：|PC|-|PO|=2，即|PC|=|PO|+2，‎ 从而得,‎ 两边平方，整理得,‎ 将a+2b=5代入上式得：,‎ 故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.‎ ‎【探究创新】‎ ‎【解析】(1)∵l与m垂直，且,∴kl=3,‎ 故直线l的方程为y=3(x+1),即3x-y+3=0.‎ ‎∵圆心坐标(0，3)满足直线l的方程，‎ ‎∴当l与m垂直时，l必过圆心C．‎ ‎(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意．‎ ‎②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0，‎ ‎∵,∴CM==1,‎ 则由，得，‎ ‎∴直线l:4x-3y+4=0.‎ 故直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.‎ ‎(3)∵CM⊥MN,∴‎ ‎.‎ ‎①当l与x轴垂直时，易得N(),‎ 则,‎ 又=(1,3)，∴.‎ ‎②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+1),‎ 则由，得N(),‎ 则,‎ ‎∴.‎ 综上所述，与直线l的倾斜角无关，且=-5．‎