2020届二轮复习函数与指数函数学案(全国通用)
2020届二轮复习 函数与指数函数 学案
指数与指数函数
一.基础知识
1.幂的有关概念
(1)正整数指数幂
(2)零指数幂
(3)负整数指数幂
(4)正分数指数幂;
(5)负分数指数幂
(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2.有理数指数幂的性质
3.根式的内容
(1)根式的定义:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中,叫做根式,
叫做根指数,叫被开方数。
(2)根式的性质: ①当是奇数,则;当是偶数,则
②负数没有偶次方根,
③零的任何次方根都是零
4指数函数y=ax
名称 指数函数
一般形式 y=ax (a>0且a≠1)
定义域 (-∞,+ ∞)
值域 (0,+ ∞)
过定点 (0,1)
图象
单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
0<a<1, 在(-∞,+∞)上为减函数
值分布 当y>1 当0
1
5.记住常见指数函数的图形及相互关系
二、题型剖析
1.指数化简和运算
例1.计算下列各式
①
②
思维分析:式子中既有分数指数、又有根式,可先把根式化成分数指数幂,再根据幂的运算性质进行计算。在指数式运算中,注重运算顺序和灵活运用乘法公式。
解:(1)原式=
(2)原式=
练习:计算
(1) 答案:
(2) 答案:45
2.条件求值证明问题
例2.已知,求下列各式的值
(1) (2)
思维分析:如何合理运算已知条件,熟练掌握乘法公式及方程的观点处理问题。
解:(1)两边平方得
(2)原式=
练习:设的值。 答案:2
设
3指数函数的图象
例3.(书P22例1)
变式一:若直线y=2a与函数的图象有两个公共点,则a的取值范围是()
变式二(福建卷)函数的图象如图,其中a、b为常数,则下列
结论正确的是 ( D )
A. B.
C D.
练习: 书P22双基2,3.4.
4.指数函数的性质
例4(书P23例2)
5.综合应用
例5(书P23例3)
变式一:、函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14,求a的值。
参考答案:
三、小结
1.指数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据幂的运算法则及性质加以解决,要注意运用方程的观点处理问题。
2.指数函数的图象的熟记和性质的灵活应用是关键。
四、作业 优化设计
备例1.已知函数
①证明:f(x)是奇函数,并求f(x)的单调区间,
②分别计算f(4)-5f(2)g(2)和f(9)-5f(3)g(3)的值,
由此概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不等于零的x都成立的一个等式。
解:(1)函数f(x)的定义域为,关于原点对称,又
∴f(x)是奇函数
设
f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,0)上也单调递增。
(2)计算得f(4)-5f(2)g(2)=0,f(9)-5f(3)g(3)=0,由此概括出对所有不等于零的实数x的: f(x2)-5f(x)g(x)=0.
备用题(变式5)已知过原点O的一条直线与函数的图象交于A、B两点,分别过点A、B作y轴的平等线与函数的图象交于C、D两点,证明点C、D和原点O在同一直线。