2021高考数学一轮复习课后限时集训9指数与指数函数文北师大版2

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2021高考数学一轮复习课后限时集训9指数与指数函数文北师大版2

课后限时集训9‎ 指数与指数函数 建议用时:45分钟 一、选择题 ‎1.设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是(  )‎ A.a      B.a C.a D.a C [====a=a.故选C.]‎ ‎2.已知函数f(x)=4+2ax-1的图像恒过定点P,则点P的坐标是(  )‎ A.(1,6) B.(1,5)‎ C.(0,5) D.(5,0)‎ A [由于函数y=ax的图像过定点(0,1),当x=1时,f(x)=4+2=6,故函数f(x)=4+2ax-1的图像恒过定点P(1,6).]‎ ‎3.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是(  )‎ A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a C [y=0.6x在R上是减函数,又0.6<1.5,‎ ‎∴0.60.6>0.61.5.‎ 又y=x0.6为R上的增函数,‎ ‎∴1.50.6>0.60.6,‎ ‎∴1.50.6>0.60.6>0.61.5,即c>a>b.]‎ ‎4.函数y=(0<a<1)的图像的大致形状是(  )‎ A           B - 6 -‎ C           D D [函数的定义域为{x|x≠0},所以y==当x>0时,函数是指数函数y=ax,其底数0<a<1,所以函数递减;当x<0时,函数y=-ax的图像与指数函数y=ax(0<a<1)的图像关于x轴对称,所以函数递增,所以应选D.]‎ ‎5.已知函数f(x)=则函数f(x)是(  )‎ A.偶函数,在[0,+∞)上单调递增 B.偶函数,在[0,+∞)上单调递减 C.奇函数,且单调递增 D.奇函数,且单调递减 C [易知f(0)=0,当x>0时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,此时-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,此时,-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).即函数f(x)是奇函数,且单调递增,故选C.]‎ 二、填空题 ‎6.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是________.‎ ‎[2,+∞) [由f(1)=得a2=,‎ 所以a=或a=-(舍去),即f(x)=.‎ 由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,‎ 所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.]‎ ‎7.不等式2>的解集为________.‎ ‎(-1,4) [原不等式等价为2>2-x-4,‎ 又函数y=2x为增函数,∴-x2+2x>-x-4,‎ 即x2-3x-4<0,∴-1<x<4.]‎ ‎8.若直线y1=2a与函数y2=|ax-1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点,则a的取值范围是________.‎ - 6 -‎  [(数形结合法)当0<a<1时,作出函数y2=|ax-1|的图像,‎ 由图像可知0<2a<1,‎ ‎∴0<a<;‎ 同理,当a>1时,解得0<a<,与a>1矛盾.‎ 综上,a的取值范围是.]‎ 三、解答题 ‎9.已知函数f(x)=.‎ ‎(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)有最大值3,求a的值;‎ ‎(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.‎ ‎[解](1)当a=-1时,f(x)=,‎ 令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7.‎ 则u在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,‎ 而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2).‎ ‎(2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1.‎ 因此必有解得a=1,‎ 即当f(x)有最大值3时,a的值为1.‎ ‎(3)由f(x)的值域是(0,+∞)知,函数y=ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0.‎ ‎10.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24).‎ ‎(1)求f(x)的表达式;‎ ‎(2)若不等式+-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎[解](1)因为f(x)的图像过A(1,6),B(3,24),‎ 所以 所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.‎ - 6 -‎ 所以f(x)=3·2x.‎ ‎(2)由(1)知a=2,b=3,则x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在(-∞,1]上恒成立.‎ 又因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+有最小值.所以m≤.即m的取值范围是.‎ ‎1.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1<bx<ax,则(  )‎ A.0<b<a<1 B.0<a<b<1‎ C.1<b<a D.1<a<b C [∵当x>0时,1<bx,∴b>1.‎ ‎∵当x>0时,bx<ax,∴当x>0时,>1.‎ ‎∴>1,∴a>b.∴1<b<a,故选C.]‎ ‎2.(2019·郴州质检)已知函数f(x)=ex-,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为(  )‎ A.∪(2,+∞)‎ B.(2,+∞)‎ C.∪(2,+∞)‎ D.(-∞,2)‎ B [函数f(x)=ex-的定义域为R,‎ ‎∵f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数,那么不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0等价于f(2x-1)>-f(-x-1)=f(1+x),易证f(x)是R上的单调递增函数,∴2x-1>x+1,解得x>2,∴不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为(2,+∞).]‎ ‎3.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为________.‎ - 6 -‎ 或 [当0<a<1时,a-a2=,‎ ‎∴a=或a=0(舍去).‎ 当a>1时,a2-a=,‎ ‎∴a=或a=0(舍去).‎ 综上所述,a=或.]‎ ‎4.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.‎ ‎[解](1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1,‎ 所以f(x)=.‎ 又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)==-+,‎ 由上式易知f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).‎ 因为f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k.‎ 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0,‎ 从而Δ=4+12k<0,解得k<-.‎ 故k的取值范围为(-∞,-).‎ ‎1.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则(  )‎ A.K的最大值为0‎ B.K的最小值为0‎ C.K的最大值为1‎ D.K的最小值为1‎ D [根据题意可知,对于任意x∈(-∞,1],若恒有fK(x)=f(x),则f(x)≤K在x≤‎ - 6 -‎ ‎1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可.‎ 令2x=t,则t∈(0,2],f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K≥1,故选D.]‎ ‎2.已知函数f(x)=-+3(-1≤x≤2).‎ ‎(1)若λ=,求函数f(x)的值域;‎ ‎(2)若函数f(x)的最小值是1,求实数λ的值.‎ ‎[解](1)f(x)=-+3‎ ‎=-2λ·+3(-1≤x≤2).‎ 设t=,得g(t)=t2-2λt+3(≤t≤2).‎ 当λ=时,g(t)=t2-3t+3‎ ‎=(t-)+≤t≤2.‎ 所以g(t)max=g=,g(t)min=g=.‎ 所以f(x)max=,f(x)min=,‎ 故函数f(x)的值域为[,].‎ ‎(2)由(1)得g(t)=t2-2λt+3‎ ‎=(t-λ)2+3-λ2(≤t≤2),‎ ‎①当λ≤时,g(t)min=g=-+,‎ 令-+=1,得λ=>,不符合,舍去;‎ ‎②当<λ≤2时,g(t)min=g(λ)=-λ2+3,‎ 令-λ2+3=1,得λ=(λ=-<,不符合,舍去);‎ ‎③当λ>2时,g(t)min=g(2)=-4λ+7,‎ 令-4λ+7=1,得λ=<2,不符合,舍去.‎ 综上所述,实数λ的值为.‎ - 6 -‎
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