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文档介绍
2021高考数学一轮复习课后限时集训9指数与指数函数文北师大版2
课后限时集训9 指数与指数函数 建议用时:45分钟 一、选择题 1.设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( ) A.a B.a C.a D.a C [====a=a.故选C.] 2.已知函数f(x)=4+2ax-1的图像恒过定点P,则点P的坐标是( ) A.(1,6) B.(1,5) C.(0,5) D.(5,0) A [由于函数y=ax的图像过定点(0,1),当x=1时,f(x)=4+2=6,故函数f(x)=4+2ax-1的图像恒过定点P(1,6).] 3.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( ) A.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.b<c<a C [y=0.6x在R上是减函数,又0.6<1.5, ∴0.60.6>0.61.5. 又y=x0.6为R上的增函数, ∴1.50.6>0.60.6, ∴1.50.6>0.60.6>0.61.5,即c>a>b.] 4.函数y=(0<a<1)的图像的大致形状是( ) A B - 6 - C D D [函数的定义域为{x|x≠0},所以y==当x>0时,函数是指数函数y=ax,其底数0<a<1,所以函数递减;当x<0时,函数y=-ax的图像与指数函数y=ax(0<a<1)的图像关于x轴对称,所以函数递增,所以应选D.] 5.已知函数f(x)=则函数f(x)是( ) A.偶函数,在[0,+∞)上单调递增 B.偶函数,在[0,+∞)上单调递减 C.奇函数,且单调递增 D.奇函数,且单调递减 C [易知f(0)=0,当x>0时,f(x)=1-2-x,-f(x)=2-x-1,此时-x<0,则f(-x)=2-x-1=-f(x);当x<0时,f(x)=2x-1,-f(x)=1-2x,此时,-x>0,则f(-x)=1-2-(-x)=1-2x=-f(x).即函数f(x)是奇函数,且单调递增,故选C.] 二、填空题 6.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是________. [2,+∞) [由f(1)=得a2=, 所以a=或a=-(舍去),即f(x)=. 由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增, 所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减.] 7.不等式2>的解集为________. (-1,4) [原不等式等价为2>2-x-4, 又函数y=2x为增函数,∴-x2+2x>-x-4, 即x2-3x-4<0,∴-1<x<4.] 8.若直线y1=2a与函数y2=|ax-1|(a>0且a≠1)的图像有两个公共点,则a的取值范围是________. - 6 - [(数形结合法)当0<a<1时,作出函数y2=|ax-1|的图像, 由图像可知0<2a<1, ∴0<a<; 同理,当a>1时,解得0<a<,与a>1矛盾. 综上,a的取值范围是.] 三、解答题 9.已知函数f(x)=. (1)若a=-1,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)有最大值3,求a的值; (3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值. [解](1)当a=-1时,f(x)=, 令u=-x2-4x+3=-(x+2)2+7. 则u在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而y=在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是(-2,+∞),单调递减区间是(-∞,-2). (2)令h(x)=ax2-4x+3,则f(x)=,由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1. 因此必有解得a=1, 即当f(x)有最大值3时,a的值为1. (3)由f(x)的值域是(0,+∞)知,函数y=ax2-4x+3的值域为R,则必有a=0. 10.已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常量,且a>0,a≠1)的图像经过点A(1,6),B(3,24). (1)求f(x)的表达式; (2)若不等式+-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围. [解](1)因为f(x)的图像过A(1,6),B(3,24), 所以 所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3. - 6 - 所以f(x)=3·2x. (2)由(1)知a=2,b=3,则x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在(-∞,1]上恒成立. 又因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+有最小值.所以m≤.即m的取值范围是. 1.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,1<bx<ax,则( ) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<a D.1<a<b C [∵当x>0时,1<bx,∴b>1. ∵当x>0时,bx<ax,∴当x>0时,>1. ∴>1,∴a>b.∴1<b<a,故选C.] 2.(2019·郴州质检)已知函数f(x)=ex-,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为( ) A.∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.∪(2,+∞) D.(-∞,2) B [函数f(x)=ex-的定义域为R, ∵f(-x)=e-x-=-ex=-f(x),∴f(x)是奇函数,那么不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0等价于f(2x-1)>-f(-x-1)=f(1+x),易证f(x)是R上的单调递增函数,∴2x-1>x+1,解得x>2,∴不等式f(2x-1)+f(-x-1)>0的解集为(2,+∞).] 3.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大,则a的值为________. - 6 - 或 [当0<a<1时,a-a2=, ∴a=或a=0(舍去). 当a>1时,a2-a=, ∴a=或a=0(舍去). 综上所述,a=或.] 4.已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值; (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. [解](1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即=0,解得b=1, 所以f(x)=. 又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2. (2)由(1)知f(x)==-+, 由上式易知f(x)在R上为减函数,又因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因为f(x)是R上的减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k. 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0, 从而Δ=4+12k<0,解得k<-. 故k的取值范围为(-∞,-). 1.设y=f(x)在(-∞,1]上有定义,对于给定的实数K,定义fK(x)=给出函数f(x)=2x+1-4x,若对于任意x∈(-∞,1],恒有fK(x)=f(x),则( ) A.K的最大值为0 B.K的最小值为0 C.K的最大值为1 D.K的最小值为1 D [根据题意可知,对于任意x∈(-∞,1],若恒有fK(x)=f(x),则f(x)≤K在x≤ - 6 - 1上恒成立,即f(x)的最大值小于或等于K即可. 令2x=t,则t∈(0,2],f(t)=-t2+2t=-(t-1)2+1,可得f(t)的最大值为1,所以K≥1,故选D.] 2.已知函数f(x)=-+3(-1≤x≤2). (1)若λ=,求函数f(x)的值域; (2)若函数f(x)的最小值是1,求实数λ的值. [解](1)f(x)=-+3 =-2λ·+3(-1≤x≤2). 设t=,得g(t)=t2-2λt+3(≤t≤2). 当λ=时,g(t)=t2-3t+3 =(t-)+≤t≤2. 所以g(t)max=g=,g(t)min=g=. 所以f(x)max=,f(x)min=, 故函数f(x)的值域为[,]. (2)由(1)得g(t)=t2-2λt+3 =(t-λ)2+3-λ2(≤t≤2), ①当λ≤时,g(t)min=g=-+, 令-+=1,得λ=>,不符合,舍去; ②当<λ≤2时,g(t)min=g(λ)=-λ2+3, 令-λ2+3=1,得λ=(λ=-<,不符合,舍去); ③当λ>2时,g(t)min=g(2)=-4λ+7, 令-4λ+7=1,得λ=<2,不符合,舍去. 综上所述,实数λ的值为. - 6 -查看更多