2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5

5.2.2 　同角三角函数的基本关系 必备知识 · 自主学习 　同角三角函数的基本关系 (1) 基本关系 平方关系 商数关系 公式表示 _______________ =_______ (α≠ +kπ ， k∈Z) 语言叙述 同一个角 α 的正弦、余弦 的平方和等于 1. 同一个角 α 的正弦、余弦的商 等于角 α 的 _____. sin 2 α+cos 2 α=1 tan α 正切 (2) 本质：同一个角的正弦、余弦、正切之间的相互关系 . (3) 应用：正弦、余弦、正切的知一求二，三角函数的证明、化简 . 【 思考 】 “ 同角”一词的含义是什么？ 提示： 一是 “ 角相同 ” ，如 sin 2 α+cos 2 β=1 就不一定成立 . 二是对任意一个角 ( 在使得函数有意义的前提下 ) ，关系式都成立，即与角的表达式形式无关， 如 sin 2 15°+cos 2 15°=1 ， sin 2 +cos 2 =1 等 . 【 基础小测 】 1. 辨析记忆 ( 对的打“√”，错的打“ ×”) (1) 对任意角 θ ， sin 2 +cos 2 =1 都成立 . ( 　　 ) (2) 对任意的角 α ，都有 成立 . ( 　　 ) (3) 存在角 α ， β ，有 sin 2 α+cos 2 β=1. ( 　　 ) 提示： (1)√. 在 sin 2 α+cos 2 α=1 中，令 α= 可得 sin 2 +cos 2 =1. (2)×. 当 α= +kπ ， k∈Z 时就不成立 . (3)√. 因为 sin 2 π+cos 2 =1 ，所以存在 α ， β 使得 sin 2 α+cos 2 β=1 成立 . 2. 化简 的结果是 ( 　　 ) A.cos B.-cos C.sin D.-sin 【 解析 】 选 A. 3.( 教材二次开发：例题改编 ) 已知 α 是第二象限角， sin α= ，则 cos α= ( 　　 ) 【 解析 】 选 A. 利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算 . 因为 α 为第二 象限角，所以 cos α= 关键能力 · 合作学习 类型一　利用同角三角函数的关系求特殊值 ( 数学运算 ) 【 题组训练 】 1.(2020· 通州高一检测 ) 已知 cos α= ，且 α∈(0 ， π) ，则 tan α= ( 　　 ) 2.(2020· 东莞高一检测 ) 已知 sin θ= ， cos θ= ，若 θ 是第二象 限角，则 tan θ 的值为 ( 　　 ) 3. 在△ ABC 中， sin A·cos A= ，则 cos A-sin A 的值为 ( 　　 ) 【 解析 】 1. 选 A. 因为 cos α= ，且 α∈(0 ， π) ， 所以 sin α= 所以 tan α= 2. 选 C. 因为 sin θ= ， cos θ= ， 所以 sin 2 θ+cos 2 θ= =1 ， 解得： a=0 或 a=4 ， 因为 θ 为第二象限角，所以 sin θ>0 ， cos θ<0. 所以 a=4 ， 所以可得： sin θ= ， cos θ= ， tan θ= . 3. 选 B. 因为在△ ABC 中， sin A · cos A= ，所以 A 为钝角，所以 cos A- sin A<0 ， 所以 cos A-sin A= 【 解题策略 】 利用同角三角函数基本关系式求解时的注意点 (1) 定符号：根据角所在的象限或角的范围确定三角函数值的符号 . (2) 定值：根据三角函数的基本关系确定函数值 . 【 补偿训练 】 (2020· 杭州高一检测 ) 已知 tanθ=2 ， θ 为第三象限角，则 sin θ= ( 　　 ) 【 解析 】 选 B. 因为 tan θ=2 ， θ 为第三象限角， 所以 解得 类型二　利用同角三角函数的关系求值 【 典例 】 1. 已知 tan α=2 ，求下列各式的值： (3)2sin 2 α-sin αcos α+cos 2 α. 四步 内容 理解 题意 条件： tan α=2 结论：求三个齐次式的值 . 思路 探求 把齐次式的分子、分母分别除以 cos α( 或 cos 2 α) 四步 内容 题后 反思 已知正切求关于弦的式子的值时，可利用同角三角函数的关系弦化切，代入已知切值即可 . 2. 已知 sin α+cos α= ， 0<α<π. (1) 求 sin αcos α 的值 .(2) 求 sin α-cos α 的值 . 【 思路导引 】 已知 sin α+cos α= ，两边平方再利用 sin 2 α+cos 2 α=1 ， 即可求出 sin αcos α ，再把 sin α-cos α 两边平方即可，注意角 α 的范围 . 【 解析 】 (1) 由 sin α+cos α= 得 (sin α+cos α) 2 = ， sin 2 α+2sin αcos α+cos 2 α= ， sin αcos α= . (2) 因为 0<α<π ， sin αcos α<0 ， 所以 sin α>0 ， cos α<0 ⇒ sin α-cos α>0. (sin α-cos α) 2 =1-2sin αcos α= ， 所以 sin α-cos α= . 【 解题策略 】 1. 已知角 α 的正切求关于 sin α ， cos α 的齐次式的方法 (1) 关于 sin α ， cos α 的齐次式就是分式中的每一项都是关于 sin α ， cos α 的式子且它们的次数之和相同，设为 n 次，将分子、分母同除以 cos α 的 n 次幂，其式子可化为关于 tan α 的式子，再代入求值 . (2) 若无分母时，把分母看作 1 ，并将 1 用 sin 2 α+cos 2 α 来代换，将分子、分母同除以 cos 2 α ，可化为关于 tan α 的式子，再代入求值 . 2. 求三角函数值的方法 (1) 已知 sin θ( 或 cos θ) 求 tan θ 常用以下方法求解 (2) 已知三角函数值之间的关系式求其他三角函数值的问题，我们可利用平方 关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及 (sin α±cos α) 2 =1±2sin αcos α 的等价转化，分析解决问题的突破口 . 【 跟踪训练 】 1. 已知 =2 ，计算下列各式的值 . (1) (2)sin 2 α-2sin αcos α+1. 【 解析 】 由 =2 ，化简，得 sin α=3cos α ，所以 tan α=3. (1) 方法一：原式 = 方法二：原式 = (2) 原式 = 2.(1) 已知 sin α+cos α= ， α∈(0 ， π) ，则 tan α=_______.  (2) 已知 tan α= ，且 α 是第三象限角，求 sin α ， cos α 的值 . 【 解析 】 (1) 因为 sin α+cos α= ，所以 (sin α+cos α) 2 = ，即 2sin αcos α= <0 ， 又 α∈(0 ， π) ，则 sin α>0 ， cos α<0 ，所以 α∈ ， 故 sin α-cos α= 所以 sin α= ， cos α= ， tan α= 答案： (2) 由 tan α= 得 sin α= cos α① ， 又 sin 2 α+cos 2 α=1② ，由①②得 cos 2 α+cos 2 α=1 ， 即 cos 2 α= . 又 α 是第三象限角， 故 cos α= ， sin α= cos α= . 类型三　利用同角三角函数的关系化简证明 　角度 1 　应用同角三角函数关系式化简  【 典例 】 已知 α 是第三象限角，化简 【 思路导引 】 首先将 tan α 化为 ，然后化简根式，最后约分 . 【 解析 】 原式 = 又因为 α 是第三象限角，所以 sin α<0. 所以原式 = =-1. 【 变式探究 】 　如果本例条件不变，结果改为化简： 【 解析 】 原式 = 因为 α 是第三象限角，所以 cos α<0. 所以原式 = =-2tan α. 　角度 2 　利用同角三角函数关系证明  【 典例 】 求证： 【 思路导引 】 思路 1 ：把左边分子分母同乘以 cos x ，再利用公式变形；思路 2 ：把左边分子、分母同乘以 (1+sin x) 先满足右式分子的要求；思路 3 ：用作 差法，化简等式为 0. 【 证明 】 方法一：左边 = = 右边，所以原等式成立 . 方法二：左边 = = 右边 . 方法三：因为 =0 ， 所以 【 解题策略 】 证明三角恒等式的常用方法 (1) 从一边开始，证得它等于另一边，一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边，其依据是相等关系的传递性 . (2) 左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子，其依据是等于同一个量的两个量相等 . (3) 作差法：两式作差，对差式变形化简，差式为零即得证 . 【 题组训练 】 1.(2020· 杭州高一检测 ) 若 =4 ，则 tan α=( 　　 ) A. B. C.3 D.7 【 解析 】 选 D. 因为 =4 ， 所以解得 tan α=7. 2. 化简： 【 解析 】 原式 = =1. 3. 求证： 【 证明 】 方法一：左边 = = 右边，所以原等式成立 . 方法二：右边 = = 左边， 所以原等式成立 . 【 补偿训练 】 求证： 【 证明 】 方法一： ( 切化弦 ) 左边 = 右边 = 因为 sin 2 α=1-cos 2 α=(1+cos α)(1-cos α) ， 所以 ，所以左边 = 右边 . 所以原等式成立 . 方法二： ( 由右至左 ) 因为右边 = = 左边， 所以原等式成立 . 同角三角函数 的基本关系 易错提醒 核心素养 基本关系式成立的条件是“同角”，还要注意成立时角的范围 数学运算：通过同角三角函数的基本关系的求值，培养数学运算的核心素养 逻辑推理：通过同角三角函数的基本关系的化简与证明，培养逻辑推理的核心素养 平方关系： 商数关系： 弦切互化求值的三种类型： （ 1 ）形如 的分式， 分子、分母除以 cos α ； （ 2 ）形如 的分式，分子、分母除以 cos 2 α ； （ 3 ） 形如 的式子，将分母看为 1 ，变为 ，分子、分母除以 cos 2 α ； 方法总结 核心知识 课堂检测 · 素养达标 1. 如果 α 是第二象限的角，下列各式中成立的是 ( 　　 ) A.tan α= B.cos α= C.sin α= D.tan α= 【 解析 】 选 B. 由商数关系可知 A ， D 项均不正确，当 α 为第二象限角时， cos α<0 ， sin α>0 ，故 B 项正确 . 2. 化简 的结果是 ( 　　 ) A.cos 　　　　　 B.sin C.-cos D.-sin 【 解析 】 选 C. 因为 <π ，所以 cos <0 ， 所以 =-cos ， 即 =-cos . 3.( 教材二次开发：练习改编 )(2020· 桂林高一检测 ) 已知 α 是第一象限的 角，且 tan α= ，则 cos α= ( 　　 ) 【 解析 】 选 D. 根据题意， tan α= ，则 ， 又由 sin 2 α+cos 2 α=1 ， 解得： cos α=± ， 又 α 是第一象限的角，则 cos α= . 4. 若 tan α=2 ，则 的值为 ( 　　 ) A.0 B. C.1 D. 【 解析 】 选 B. 5. 已知 α 为钝角，且 sin α= ，则 tan α=_______.  【 解题指导 】 根据同角的三角函数关系以及 α 的取值范围求出 tan α 的值 . 【 解析 】 α 为钝角，当 sin α= 时， cos α= 所以 tan α= 答案：