专题8-6+空间直角坐标系、空间向量及其运算(测)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

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专题8-6+空间直角坐标系、空间向量及其运算(测)-2018年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)

‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第八章 立体几何 第06节 空间直角坐标系、空间向量及其运算 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的。)‎ ‎1.【安徽蚌埠市】点是点在坐标平面内的射影,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意可得,所以.故A正确.‎ ‎2. 若为空间向量的一组基底,则下列各项中,能构成空间向量的基底的一组向量是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎3.已知三点, ,则以为方向向量的直线与平面系是( )‎ A. 垂直 B. 不垂直 C. 平行 D. 以上都有可能 ‎【答案】A ‎【解析】由题意, , ,所以以为方向向量的直线与平面垂直,故选A.‎ ‎4若平面α、β的法向量分别为=(2,3,5),=(-3,1,-4),则( )‎ A.α∥β B.α⊥β C.α,β相交但不垂直 D.以上均有可能 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由于,因此与不平行,又,所以与不垂直,从而平面α,β相交但不垂直.故选C.‎ ‎5.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量、、两两的夹角均为60°,且||=1,||=2,||=3,则||等于(  )‎ A.5 B.6‎ C.4 D.8‎ ‎【答案】A ‎6.设,向量且,则( )‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】,,,,故选C.‎ ‎7.已知空间四边形,其对角线为,,,分别是边, 的中点,点在线段上,且使,用向量,,表示向量是( )‎ A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ ‎【答案】A ‎8. 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若, , ,则下列向量中与相等的向量是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 如图,由向量的三角形法则可得,即,应选答案A.‎ ‎9.已知向量,则以为邻边的平行四边形的面积为( )‎ A. B. C.4 D.8‎ ‎【答案】B ‎10.【湖北卷】在如图所示的空间直角坐标系中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2, 2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )‎ A.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和② ‎ ‎【答案】D ‎ ‎11. 已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点,且OA‎=a,OB=b,OC=‎c,用a,b,c表示MN,则MN等于(  ) ‎ A. ‎1‎‎2‎‎(b+c-a)‎ B. ‎1‎‎2‎‎(a+b-c)‎)‎ C. ‎1‎‎2‎‎(a-b+c)‎ D. ‎‎1‎‎2‎‎(c-a-b)‎ ‎【答案】D ‎【解析】MN‎=ON-OM=‎1‎‎2‎OC-‎1‎‎2‎(OA+OB)=‎1‎‎2‎c-‎1‎‎2‎a-‎1‎‎2‎b=‎1‎‎2‎(c-a-b)‎ ,故选D.‎ ‎12.设向量 =(﹣1,﹣1,1),=(﹣1,0,1),则cos<, >=(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 选D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在题中的横线上。)‎ ‎13.【浙江省杭州市七校】已知向量,,且,则= .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】,,∴,‎ ‎∴(λ>0),∴λ=3.‎ ‎14. 已知, ,且,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得,解得.‎ ‎15.设为空间的一个基底, 是三个非零向量,则是的__________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)‎ ‎【答案】充分不必要 ‎16.【2017届福建省泉州市模拟卷(三)】已知点为棱长等于的正方体 内部一动点,且,则的值达到最小时, 与夹角大小为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意得,取中点,‎ 则 ‎ ‎,‎ 因为,所以在以为球心的球面上,‎ 所以,因为,‎ 所以,所以与的夹角为.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. (本题满分10分)若向量, , ,求, 以及的值.‎ ‎【答案】‎ 试题解析:∵ ,∴,∵ , ,∴,又∵ , ,两向量夹角为钝角,∴余弦值取负值.‎ ‎18. (本小题满分12分)【福建省三明一中】如图,在平行六面体中,,,,,,是的中点,设,,.‎ ‎(1)用表示;‎ ‎(2)求的长.‎ ‎【答案】(1);(2)的长为.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1) ……5分 ‎(2) ‎ ‎ ……8分 ‎ ,即的长为. ……10分 ‎19.(本小题满分12分)【江苏省盐城中学】已知向量 ‎(1)求;(2)求夹角的余弦值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 因为,则 ‎(2)因为 所以 故夹角的余弦值为.‎ ‎20.(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,M是AB上一点,N是A‎1‎C的中点.‎ ‎(1)求证:AD‎1‎⊥‎平面A‎1‎DC;‎ ‎(2) 若MN⊥‎平面A‎1‎DC,求证:M是AB的中点.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.‎ 试题解析:(1)‎∵AA‎1‎D‎1‎D是正方形,‎∴AD‎1‎⊥A‎1‎D,又‎∵CD⊥‎平面AA‎1‎D‎1‎D,AD‎1‎⊂‎平面AA‎1‎D‎1‎D,‎∴AD‎1‎⊥CD,而A‎1‎D,CD在平面A‎1‎DC内相交,‎∴AD‎1‎⊥‎平面A‎1‎DC 因为AD‎1‎⊂‎平面,所以平面AD‎1‎C ‎⊥‎平面A‎1‎DC.‎ ‎(2)以D为原点,DA,DC,DD‎1‎分别为x,y,z轴,建立坐标系,则A‎1,0,0‎,D‎0,1,0‎,D‎1‎‎0,0,1‎,A‎1‎‎1,0,1‎,N‎1‎‎2‎‎,‎1‎‎2‎,‎‎1‎‎2‎,‎AD‎1‎‎=‎-1,0,1‎,‎ 设M‎1,y‎0‎,0‎,MN=‎‎-‎1‎‎2‎,‎1‎‎2‎-y‎0‎,‎‎1‎‎2‎,由(1)知,AD‎1‎是平面AD‎1‎法向量,‎ MN⊥‎平面A‎1‎DC,‎∴MN//‎AD‎1‎,可得y‎0‎‎=‎‎1‎‎2‎,‎∴M是AB的中点.‎ ‎21.(本小题满分12分【河北省承德市联校】已知正三棱柱ABC—A1B‎1C1,底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O、O1分别是边AC,A‎1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ B B1‎ O O1‎ A C y C1‎ A1‎ x z ‎ (Ⅰ)求正三棱柱的侧棱长.‎ ‎(Ⅱ)若M为BC1的中点,试用基底向量、、表示向量;‎ ‎ (Ⅲ)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.‎ ‎【答案】‎ ‎(Ⅰ) ;(Ⅱ) ; (Ⅲ) .‎ ‎(Ⅱ) 7分 ‎(Ⅲ),‎ 所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为 12分 ‎22.(本小题满分12分)【2018届湖南省长沙市长郡中学高三实验班选拔】如图,在直三棱柱中, , 为线段的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证: ;‎ ‎(Ⅱ)若直线与平面所成角的正弦值为,求的长.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)或.‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)由直棱柱的性质可得,由等腰三角形的性质可得,由线面垂直的判定定理可得平面,进而由面面垂直的判定定理可得结论;(Ⅱ)以为原点, 为轴, 为轴,过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系,设,求出平面的一个法向量及,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.‎ 试题解析:(Ⅰ)∵三棱柱是直三棱柱, ∴平面 ,‎ 又平面∴, ∵, 是的中点, ∴,‎ 又平面平面,‎ ‎∴平面,又平面,∴. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 平面,故以为原点, 为轴, 为轴,过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系(如图所示),‎ 设,则,‎ ‎∴,· 设平面的一个法向量, 则,即,则,令可得, ,故,‎ 设直线与平面所成角为,‎ 则,‎ 解得或,即或.‎ ‎ ‎
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