江西省上饶市六校2020届高三下学期第一次联考数学（文）试题 Word版含解析

江西省上饶市六校2020届高三下学期第一次联考数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 上饶市2020届六校高三第一次联考 ‎（上饶市一中、上饶市二中、广信中学、玉山一中、天佑中学、余干中学）‎ 文科数学试卷 第Ⅰ卷 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求．‎ ‎1.已知集合，集合则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出集合B，再与集合A求交集即可.‎ ‎【详解】由已知，，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，是一道基础题.‎ ‎2.若复数为纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数标准化为，根据题意得到a，再利用模长公式计算即可.‎ 详解】由已知，，故，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数除法、复数模的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎3.函数图象的大致形状是（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶性可排除A、C；再由的正负可排除D.‎ ‎【详解】，‎ ‎，故为奇函数，排除选项A、C；又，排除D，选B.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查根据解析式选择图象问题，在做这类题时，一般要结合函数的奇偶性、单调性、对称性以及特殊点函数值来判断，是一道基础题.‎ ‎4.给出以下命题 ‎①已知命题，则：；‎ ‎②已知，是的充要条件；‎ ‎③命题“若，则的否命题为真命题”.‎ 在这3个命题中，其中真命题的个数为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题可判断①；用定义法去论证②；由否命题与逆命题同真假可判断③.‎ ‎【详解】命题，则，故①正确；当 - 22 -‎ 时，由 不能推出，反过来，能推出，所以，是的必要不 充分条件，故②错误；“若，则的否命题与其逆命题同真假，而若，‎ 则的逆命题为若，则，显然成立，故③正确.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到全称命题的否定、充分条件、必要条件、否命题等知识，是一道基础题.‎ ‎5.设函数，若，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，利用的单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，，，，‎ 故，又在单调递增，‎ 所以，.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数单调性比较式子大小，涉及到换底公式的应用，是一道容易题.‎ ‎6.已知非零向量，满足，且，若，的夹角为，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎，再利用数量积的定义计算即可.‎ ‎【详解】由，得，即，又，‎ 所以，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积运算，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.‎ ‎7.甲、乙两班在我校举行的“不忘初心，牢记使命”合唱比赛中，7位评委的评分情况如茎叶图所示，其中甲班成绩的中位数是81，乙班成绩的平均数是86，若正实数满足：成等比数列，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由中位数、平均数可得x，y的值，再由成等比数列得到，最后利用基本不等式可得的最小值.‎ ‎【详解】甲班成绩的中位数是81，故，乙班成绩的平均数是86，则 ‎，解得，又成等比数列，‎ 故，所以，，当且仅当时，等号成立.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值的问题，涉及到茎叶图、中位数、平均数等知识，是一道容易题.‎ ‎8.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（ ）‎ - 22 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意算得圆心到渐近线的距离，利用垂径定理与勾股定理即可建立起的方程.‎ ‎【详解】由已知，双曲线的渐近线方程为，不妨设，被圆 所截得的弦长为，圆的半径为，故圆心到渐近线的距离为 ‎，‎ 所以，故双曲线的离心率为 ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的离心率，涉及到点到直线的距离、弦心距等知识，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.‎ ‎9.在中，角、、的对边分别是，且面积为，若，，则角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得到角A，由及得到角C，再利用计算即可得到答案.‎ ‎【详解】由正弦定理及，得，即 - 22 -‎ ‎，又，所以，又，故 ‎；又，所以，从而 ‎，所以，，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到三角形面积公式的选取，公式变形等处理，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.‎ ‎10.已知三棱锥中，平面，中两直角边，，若三棱锥的体积为10，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将其置入长方体中，由三棱锥的体积为10，得到CD的长，从而进一步得到长方体体对角线（外接球直径）的长.‎ ‎【详解】将三棱锥置入长方体中，如图所示 由已知，，，所以，解得，‎ 所以，所以三棱锥的外接球的半径为，‎ 故外接球表面积为.‎ 故选：A.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，在涉及比较特殊的三棱锥外接球问题时，通常考虑能否将其置入正方体或长方体中来求解，本题是一道中档题.‎ ‎11.已知函数，过点，，当，的最大值为9，则的值为（ ）‎ A. B. C. 和 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由图可得，所以，令，转化为求的最大值问题.‎ ‎【详解】由已知，，所以，，又，，‎ 所以，，故，‎ 所以，‎ 因，所以，，‎ - 22 -‎ 令，则，故，‎ 若，易得，不符合题意；‎ 若，易得，解得（舍）；‎ 若，易得，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查已知正弦型函数的最大值求参数的问题，涉及到由图象确定解析式、二次函数最值等知识，是一道有一定难度的题.‎ ‎12.已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，问题等价于有且仅有两个整数使得函数的图象在函数图象的下方，作出两函数的图象，由图象观察可得到关于实数的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】解：令，即，设，，‎ 要使有且仅有两个整数使得，即有且仅有两个整数使得函数的图象在函数图象的下方，‎ 而，‎ 则当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，时，，时，，‎ - 22 -‎ 函数的图象为恒过点的直线，作两函数图象如下，‎ 由图可知，实数应满足，即，解得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数与导数的综合运用，考查转化思想及数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分 ‎13.函数在点处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，得，即切线斜率，然后可得切线方程．‎ ‎【详解】由题意，∴，又，‎ ‎∴所求切线方程为，即．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，函数在点处的切线方程是．‎ - 22 -‎ ‎14.设变量，满足约束条件，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域，表示点与连线的斜率问题，数形结合即可得到答案.‎ ‎【详解】作出可行域如图所示 表示点与连线的斜率问题，又，所以，‎ 故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，通常采用式子所表示的几何意义计算，本题是一道基础题.‎ ‎15.已知等比数列的公比不为1，且前项和为，若满足，，成等差数列，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ - 22 -‎ 由可得公比q，将其代入中即可.‎ ‎【详解】由已知，，所以，解得或（舍），‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，考查学生的运算求解能力，是一道基础题.‎ ‎16.如图，在矩形与扇形拼接而成的平面图形中，，，，点在弧上，在上，.设，则当平面区域（阴影部分）的面积取到最大值时__________ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将阴影部分的面积表示为，，只需求使得取最小值的即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，，，易得扇形的面积为，‎ - 22 -‎ 四边形的面积为，故阴影部分的面积为 ‎，设，则 ‎，令，得，记其解为，‎ 并且在上单调递减，在单调递增，所以得最小值为，阴影部 分的面积最大值为，此时，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数在平面几何中的应用，涉及到利用导数求函数的最值，考查学生的运算求解能力，是一道有一定难度的题.‎ 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤，共70分．‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差数列基本量计算即可；‎ ‎（2），利用裂项相消法求前n项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 由题意，，解得：，.‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ - 22 -‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查等求差数列通项公式以及裂项相消法求数列前n项和，考查学生的运算能力，是一道基础题.‎ ‎18.如图所示，在四棱锥中，，平面平面，且为边长为的等边三角形，过作，使得四边形为菱形，连接，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）平面，只需证明，即可；‎ ‎（2）利用割补法求解，即.‎ ‎【详解】（1）证明：∵，∴，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 故平面；‎ 又平面，故；‎ 又四边形为菱形；，,‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）由已知，，所以，，‎ ‎∵‎ - 22 -‎ 由（1）知平面， 由平面平面可知点A在平面的投影落在交线BD上，在直角三角形DAB中，，所以点A到平面的距离为，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直的证明以及不规则几何体积的求法，在求不规则几何的体积时，通常是采用割补法，是一道容易题.‎ ‎19.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数浓度，制定了空气质量标准：‎ 空气污染质量 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从2010年开始考查了连续六年11月份的空气污染指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2016年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前13个视为单号，后13个视为双号）.‎ ‎（1）某人计划11月份开车出行，求因空气污染被限号出行的概率；‎ ‎（2）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行三年来的11月份共90天的空气质量进行统计，其结果如表：‎ 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 ‎16‎ ‎39‎ ‎18‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎2‎ - 22 -‎ 根据限行前六年180天与限行后90天的数据，计算并填写列联表，并回答是否有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.‎ 空气质量优良 空气质量污染 合计 限行前 限行后 合计 参考数据：‎ 其中 ‎【答案】（1）0.05（2）计算及填表见解析；有把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用每个小矩形的面积和为1即可求得答案；‎ ‎（2）利用公式计算即可.‎ ‎【详解】（1）由频率分布直方图可知，空气重度污染和严重污染的概率应为 ‎，‎ 所以某人因空气污染被限号出行的概率为0.05.‎ - 22 -‎ ‎（2）限行前六年180天中，空气质量优良的天数为.‎ 列联表如下：‎ 空气质量优、良 空气质量污染 合计 限行前 ‎90‎ ‎90‎ ‎180‎ 限行后 ‎55‎ ‎35‎ ‎90‎ 合计 ‎145‎ ‎125‎ ‎270‎ 由表中数据可得.‎ 所以有的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，考查学生识图及数据处理的能力，是一道容易题.‎ ‎20.己知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，当的横坐标为1时，.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知过定点的直线与抛物线相交于两点.若恒为定值，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的定义可得，所以有；‎ ‎（2）设，联立直线与抛物线方程得到根与系数的关系，又，代入化简即可.‎ - 22 -‎ ‎【详解】（1）抛物线准线方程为，焦点 当的横坐标为1时，‎ ‎∴，解得 ‎∴抛物线的方程为 ‎（2）设，‎ 由直线的方程为与抛物线联立，‎ 消去得：，‎ 则，，，‎ ‎，，‎ ‎，对任意恒为定值，‎ 当时，此时，∴，且满足，符合题意.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到抛物线中的定值问题，在处理直线与抛物线位置关系的问题时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.‎ ‎21.已知函数，，.‎ ‎（1）讨论的单调性：‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1），分，两种情况讨论；‎ ‎（2）不等式对任意恒成立，转化为对任意恒成立，令，只需求出的最大值即可.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎①当时，，所以在上单调递减；‎ ‎②当时，由，得，由，得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，‎ 因为，所以 令 令，，‎ 故在上单调递减，且，，‎ 故存在使得，‎ 即即，‎ 当时，，；‎ 当，，；‎ 所以，‎ - 22 -‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题，在处理不等式恒成立问题时，通常构造函数，转化为函数的最值问题来处理，是一道较难的题.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号．‎ 选修4-4：极坐标与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若为曲线上的两点，且，求的最大值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；‎ ‎（2），，即可求得最大值.‎ ‎【详解】（1）曲线C的普通方程为，故C的极坐标方程为，又，所以，故直线的直角坐标方程.‎ ‎（2）不妨设，，‎ 则 ‎，当且仅当时，取得等号，‎ - 22 -‎ ‎∴的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化以及距离和的最大值问题，是一道基础题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的最小值记为，设，，且有.求的最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；‎ ‎（2），，在乘开，利用基本不等式即可.‎ ‎【详解】解（1）因为 从图可知满足不等式的解集为.‎ - 22 -‎ ‎（2）由图可知函数的最小值为，即.‎ 所以，从而，‎ 从而 当且仅当，即时，等号成立，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎