湘赣皖十五校2020届高三下学期第一次联考试题（4月）数学（理）
2020届湘赣皖·长郡十五校高三联考 第一次考试
数学(理科)试卷
总分：150分 时量：120分钟
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{x|x2≤A}，B＝{x|3x<1}，则A∪(B)＝
A{x|x<0} B.{x|0≤x≤1} C.{x|－1≤x<0} D.{x|x≥－1}
2.若i为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是
A.E B.F C.G D.H
3.下图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图。(注；同比是指本期与同期作对比；环比是指本期与上期作对比。如：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图，下列结论错误的是
A2019年12月份，全国居民消费价格环比持平
B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨
C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨
D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格
4.自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性。各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内。某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有
A12种 B.24种 C.36种 D.72种
5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋2c＝＝2bcosA，则角B的大小为
A. B. C. D.
6.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，以F1F2为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点(A，B位于y轴右侧)，且四边形OAF2B为菱形，则该双曲线的渐近线方程为
Ax±y＝0 B.x±y＝0 C.x±y＝0 D.3x±y＝0
7.设a＝ln，，，则
A.c
0)，曲线y＝f(x)与直线y＝1相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则ω可取到的最大值为 。
15.过M(－2，0)且斜率为的直线l交抛物线C：y2＝＝2px(p>0)于A，B两点，F为C的焦点，若△MFB的面积等于△MFA的面积的2倍，则p的值为 。
16.若点N为点M在平面α上的正投影，则记N＝fα(M)。如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面AB1D1为β，平面ABCD为γ，点P是线段CC1上一动点，Q1＝fγ[fβ(P)]，Q2＝fβ[fγ(P)]。给出下列四个结论：
①Q2为△AB1D1的重心；
②Q1Q2⊥BD；
③当CP＝时，PQ1//平面β；
④当三棱锥D1－APB1的体积最大时，三棱锥D1－APB1外接球的表面积为2π。
其中，所有正确结论的序号是 。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
记数列{an}的前n项和为Sn，已知2n，an，2Sn－an成等差数列(n∈N*)。
(1)证明：数列{an＋1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)记，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn。
18.(本小题满分12分)
如图，平面四边形ABCD中，BC//AD，∠ADC＝90°，∠ABC＝120°，E是AD上的一点，AB＝BC＝2DE，F是EC的中点，以EC为折痕把△DEC折起，使点D到达点P的位置，且PC⊥BF。
(1)证明：平面PEC⊥平面ABCE；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值。
19.(本小题满分12分)
已知椭圆E：，过Q(－4，0)的直线l与椭圆E相交于A，B两点，且与y轴相交于P点。
(1)若PA＝AQ，求直线l的方程；
(2)设A关于x轴的对称点为C，证明：直线BC过x轴上的定点。
20.(本小题满分12分)
某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年。如图所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装。
其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现。在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)。若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个160元，二级滤芯每个80元。若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个400元，二级滤芯每个200元。现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中表1是根据100个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图2是根据200个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图。
以100个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以200个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率。
(1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为16的概率；
(2)记X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；
(3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数。若m＋n＝19，且m∈{8，9}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值。
21.(本小题满分12分)
函数f(x)＝ax－ln(x＋1)，g(x)＝sinx，且f(x)≥0恒成立。
(1)求实数a的集合M；
(2)当a∈M时，判断f(x)图象与g(x)图象的交点个数，并证明。
(参考数据：ln2≈0.69，≈1.77)
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数) 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝α(0<α<)，直线l交曲线C于A，B两点，P为AB中点。
(1)求曲线C的直角坐标方程和点P的轨迹C2的极坐标方程；
(2)若|AB|·|OP|＝，求α的值。
23.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知f(x)＝|2x＋5|－|x－|。
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)记f(x)的最小值为m，且正实数a，b满足。证明：a＋b≥2。
