江西省上饶市六校2020届高三第一次联考数学（理）试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 上饶市2020届六校高三第一次联考 ‎（上饶市一中、上饶市二中、广信中学、玉山一中、天佑中学、余干中学）‎ 理科数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分总分：150分时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 算出集合A、B及，再求补集即可.‎ ‎【详解】由，得，所以，又，‎ 所以，故或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.‎ ‎2.已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.‎ - 24 -‎ ‎【详解】设，则，所以，‎ 解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎3.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：‎ ‎ ‎ 则下列结论正确的是（ ）.‎ A. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加 B. 与2016年相比，2019年一本达线人数减少 C. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍 D. 2016年与2019年艺体达线人数相同 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，通过简单的计算逐一验证选项A、B、C、D.‎ ‎【详解】设2016年高考总人数为x，则2019年高考人数为，2016年高考不上线人数为，‎ ‎2019年不上线人数为，故A正确；‎ ‎2016年高考一本人数，2019年高考一本人数，故B错误；‎ - 24 -‎ ‎2019年二本达线人数，2016年二本达线人数，增加了 倍，故C错误；‎ ‎2016年艺体达线人数，2019年艺体达线人数，故D错误.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查柱状图的应用，考查学生识图的能力，是一道较为简单的统计类的题目.‎ ‎4.在中，在边上满足，为的中点，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，，再将代入即可.‎ ‎【详解】因为，所以，故 ‎.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题.‎ ‎5.已知等差数列的公差为，前项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数（ ）.‎ A. 6 B. 5 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若对任意的恒成立，则为的最大值，所以由已知，只需求出取得最大值时的n即可.‎ ‎【详解】由已知，，又三角形有一个内角为，所以 - 24 -‎ ‎，‎ ‎，解得或（舍），‎ 故，当时，取得最大值，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前n项和的最值问题，考查学生的计算能力，是一道基础题.‎ ‎6.设为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，若，则（ ）.‎ A. 9 B. 6 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，，由可得，利用定义将用表示即可.‎ ‎【详解】设，，，由及，‎ 得，故，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用抛物线定义求焦半径的问题，考查学生等价转化的能力，是一道容易题.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）.‎ - 24 -‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.‎ ‎【详解】第一次循环：；第二次循环：；‎ 第三次循环：；第四次循环：；‎ 此时满足输出结果，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.‎ ‎8.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为（ ）.‎ A. 432 B. 576 C. 696 D. 960‎ - 24 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把没有要求的3人排好，再分如下两种情况讨论：1.甲、丁两者一起，与乙、丙都不相邻，2.甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻.‎ ‎【详解】首先将除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好，共有种不同排列方式，甲、丁排在一起共有种不同方式；‎ 若甲、丁一起与乙、丙都不相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；‎ 若甲、丁一起与乙、丙二者之一相邻，插入余下三人产生的空档中，共有种不同方式；‎ 根据分类加法、分步乘法原理，得满足要求的排队方法数为种.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查排列组合的综合应用，在分类时，要注意不重不漏的原则，本题是一道中档题.‎ ‎9.已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（ ）.‎ A. 16 B. C. 5 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.‎ ‎【详解】设等比数列公比为，由已知，，即，‎ 解得或（舍），又，所以，‎ 即，故，所以 ‎，当且仅当时，等号成立.‎ - 24 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求式子和的最小值问题，涉及到等比数列的知识，是一道中档题.‎ ‎10.函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项.‎ ‎【详解】，函数是奇函数，排除，‎ 时，，时，，排除，‎ 当时，， ‎ 时，，排除，‎ - 24 -‎ 符合条件，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.‎ ‎11.如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易得，，又，平方计算即可得到答案.‎ ‎【详解】设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形，‎ 所以，又，‎ 故，，，‎ 所以，即，‎ 故离心率为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题.‎ ‎12.设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）.‎ - 24 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出在的解析式，作出函数图象，数形结合即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，，，‎ ‎，又，所以至少小于7，此时，‎ 令，得，解得或，结合图象，故.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的范围，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知实数，满足约束条件，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 令，所求问题的最大值为,只需求出即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.‎ ‎【详解】作出可行域，如图 令，则，显然当直线经过时，最大，且，‎ 故的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.‎ ‎14.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义即可解决.‎ ‎【详解】由已知，，，故.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，要注意在某点的切线与过某点的切线的区别，本题属于基础题.‎ ‎15.定义在封闭平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域 - 24 -‎ 的“直径”.已知锐角三角形的三个点，，，在半径为的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域，则平面区域的“直径”的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 先找到平面区域内任意两点的最大值为，再利用三角恒等变换化简即可得到最大值.‎ ‎【详解】由已知及正弦定理，得，所以，‎ ‎，取AB中点E，AC中点F，BC中点G，‎ 如图所示 显然平面区域任意两点距离最大值为，‎ 而 ‎，‎ - 24 -‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理在平面几何中的应用问题，涉及到距离的最值问题，在处理这类问题时，一定要数形结合，本题属于中档题.‎ ‎16.已知三棱锥中，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB 的垂线，则垂线的交点为球心O，将的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半径.‎ ‎【详解】设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB 的垂线，则垂线的交点为球心O，如图所示 因为，，所以，，，‎ 又二面角的大小为，则，，所以 ‎，‎ 设外接球半径为R，则，，‎ 在中，由余弦定理，得，‎ - 24 -‎ 即，解得，‎ 故三棱锥外接球的表面积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题.‎ 三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共70分）‎ ‎（一）必考题（共60分）‎ ‎17.在中，角、、所对的边分别为、、，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求及的值.‎ ‎【答案】（1）（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由代入中计算即可；‎ ‎（2）由余弦定理可得，所以，由，变形即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，可得：，‎ ‎∴，或（舍），∵，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由余弦定理，‎ 得 所以，‎ 故，‎ - 24 -‎ 又，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.‎ ‎18.如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角平面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别取，的中点，，连接，，，，，要证明平面，只需证明面∥面即可.‎ ‎（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，‎ 分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.‎ ‎【详解】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，，.‎ 由平面平面，且交于，平面，有平面，‎ - 24 -‎ 由平面平面，且交于，平面，有平面 ‎，所以∥，又平面，平面，所以∥平面 ‎，由，有，∥，又平面，平面 ‎，所以∥平面，‎ 由∥平面，∥平面，，所以平面∥平面，所以∥平面 ‎（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系 由面，所以面的法向量可取，‎ 点，点，点，，，‎ 设面的法向量，所以 ‎，取，‎ 二面角的平面角为，则为锐角.‎ 所以 ‎【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在做此类题时，一定要准确写出点的坐标.‎ - 24 -‎ ‎19.已知某种细菌适宜生长温度为12℃~27℃，为了研究该种细菌的繁殖数量（单位：个）随温度（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：‎ 温度/℃‎ ‎14‎ ‎16‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎26‎ 繁殖数量/个 ‎25‎ ‎30‎ ‎38‎ ‎50‎ ‎66‎ ‎120‎ ‎218‎ 对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：‎ ‎20‎ ‎78‎ ‎4.1‎ ‎112‎ ‎3.8‎ ‎1590‎ ‎20.5‎ 其中，.‎ ‎（1）请绘出关于的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；‎ ‎（2）根据（1）的判断结果及表格数据，建立关于的回归方程（结果精确到0.1）；‎ ‎（3）当温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？‎ 参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：.‎ - 24 -‎ ‎【答案】（1）作图见解析；更适合（2）（3）预报值为245‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由散点图即可得到答案；‎ ‎（2）把两边取自然对数，得，由 计算得到，再将代入可得，最终求得，即；‎ ‎（3）将代入中计算即可.‎ ‎【详解】解：（1）绘出关于的散点图，如图所示：‎ 由散点图可知，更适合作为该种细菌的繁殖数量关于的回归方程类型；‎ ‎（2）把两边取自然对数，得，‎ 即，‎ 由 ‎.‎ ‎∴，‎ 则关于的回归方程为；‎ ‎（3）当时，计算可得；‎ 即温度为27℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查求非线性回归方程及其应用的问题，考查学生数据处理能力及运算能力，是一道中档题.‎ ‎20.已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.‎ ‎【答案】（1）（2）直线过定点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），再由，解方程组即可；‎ ‎（2）设，，由，得，由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.‎ ‎【详解】（1）由题意知：，又，且 解得，，‎ ‎∴椭圆方程为，‎ ‎（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，‎ 由，得.‎ 则，（*）‎ 由，‎ - 24 -‎ 得，‎ 整理可得 ‎（*）代入得，‎ 整理可得，‎ 又 ‎，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴直线过点 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ 所以 ‎∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点 综上所述，直线过定点.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ - 24 -‎ ‎（2）若函数在上存在两个极值点，，且，证明.‎ ‎【答案】（1）若，则在定义域内递增；若，则在上单调递增，在上单调递减（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），分，讨论即可；‎ ‎（2）由题可得到，故只需证，，即，采用换元法，转化为函数的最值问题来处理.‎ ‎【详解】由已知，，‎ 若，则在定义域内递增；‎ 若，则在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）由题意，‎ 对求导可得 从而，是的两个变号零点，因此 下证：，‎ - 24 -‎ 即证 令，即证：，‎ 对求导可得，，，因为 故，所以在上单调递减，而，从而 所以在单调递增，所以，即 于是 ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及证明不等式，考查学生逻辑推理能力、转化与化归能力，是一道有一定难度的压轴题.‎ ‎（二）选考题（共10分）.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可；‎ ‎（2）将直线参数方程代入圆的普通方程，可得，，而根据直线参数方程的几何意义，知，代入即可解决.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程为（为参数），‎ 消去；得 曲线的极坐标方程为.‎ 由，，，‎ 可得，即曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）将直线的参数方程（为参数）代入的方程，‎ 可得，，‎ 设，是点对应的参数值，‎ ‎，，则.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，直线参数方程的几何意义，是一道容易题.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）若时，解不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）零点分段法，分，，讨论即可；‎ ‎（2）当时，原问题可转化为：存在，使不等式成立，即.‎ - 24 -‎ ‎【详解】解：（1）若时，，‎ 当时，原不等式可化为，解得，所以，‎ 当时，原不等式可化为，解得，所以，‎ 当时，原不等式可化为，解得，所以，‎ 综上述：不等式的解集为；‎ ‎（2）当时，由得，‎ 即，‎ 故得，‎ 又由题意知：，‎ 即，‎ 故的范围为.‎ ‎【点睛】本题考查解绝对值不等式以及不等式能成立求参数，考查学生的运算能力，是一道容易题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎