数学文卷·2017届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考(2017

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文档介绍

数学文卷·2017届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考(2017

‎2017届高三毕业班联考(一)‎ 文科数学 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.已知复数(为虚数单位),则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图1所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为 ‎,根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4. 《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,已知某“堑堵”的三视图如右图所示,则该“堑堵”的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知是等比数列,则的值构成的集合是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.“”是“使成立”的 ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ ‎ C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.执行如图3所示的程序框图,输出的值为 ‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎8.若实数满足,则的最大值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限内的点,若在点处的切线平行于的一条渐近线,则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数,若对函数,当时总有三个零点,则的取值范围是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.在中,分别是的重心和外心,且,则的形状是 ‎ A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 ‎ ‎ C. 直角三角形 D.上述三种情况都有可能 ‎12.设向量,定义一种向量运算,已知向量,点在的图象上运动,点是函数图象上的动点,且满足,(其中O是坐标原点),则函数的值域是 ‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.向面积为S的平行四边形ABCD内任投一点M,则的面积小于的概率为 .‎ ‎14.若直线与圆有公共点,则实数的取值范围为 .‎ ‎15.已知函数,若正实数满足,则的最小值为 .(写出所有正确结论的序号)‎ ‎16.如果一个实数数列满足条件:(为常数,),则称这一数列为“方等差数列”,为“方等差”.给出下列关于某个方等差数列的结论:①对于任意的首项,若,则这一数列必为有穷数列;②当时,这一数列必为单调递增数列;③这一数列可以是一个周期数列;④若这一数列的首项为,方公差为,则可以是这一数列中的一项;⑤若这一数列的首项为,第三项为,则这一数列的第二项必为.其中正确的结论序号为 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.(本题满分12分)已知函数 ‎ (1)求的值;‎ ‎ (2)求方程的解集.‎ ‎18.(本题满分12分)诚信是立身之本,道德之基.某学生会创设了“诚信水站”,既便于学生用水,又推进诚信教育,并用“”表示每周“水站诚信度”.为了便于数据分析,以四周为一个周期,下表为连续八周(共两个周期)的诚信度数据统计,如表1: ‎ ‎(1)计算表1中八周水站诚信度的平均数;‎ ‎ (2)从表1水站诚信度超过91%的数据中,随机抽取2个,求至少有1个数据出现在第二个周期的概率;‎ ‎ (3)学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落,为此学生会举行了“诚信为本”主题教育活动,并得到活动后一个周期的水站诚信度数据,如表2: ‎ 请根据提供的数据,判断该主题教育活动是否有效,并根据已有数据说明理由.‎ ‎19.(本题满分12分)如图4所示,菱形与正三角形的边长均为2,它们所在平面相互垂直,平面,且.‎ ‎ (1)求证:平面;‎ ‎ (2)若,求异面直线所成角的正弦值.‎ ‎20.(本题满分12分)已知椭圆的两个焦点分别是,点在椭圆上,且 ‎ (1)求椭圆的方程;‎ ‎ (2)设点关于轴的对称点为是椭圆上不与重合的任意一点,为原点,若直线和与轴分别相交于点,证明:为定值.‎ ‎21.(本题满分12分)已知函数 ‎ (1)求曲线在其与轴的交点处的切线方程;‎ ‎ (2)求函数的单调区间;‎ ‎(3)若关于的方程恰有两个不同的实根,且,‎ 求证:.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果两题都做,则按照所做的第一题给分;作答时,请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。‎ ‎22.(本题满分10分)选修4-4:参数方程与极坐标系 ‎ 在直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线交于两点.‎ ‎(1)求的长;‎ ‎(2)若点的极坐标为,求中点到的距离.‎ ‎23.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知,且 ‎(1)若恒成立,求的取值范围;‎ ‎(2)若恒成立,求的取值范围.‎ ‎2017届高中毕业班联考试卷(一)‎ 文科数学参考答案 二.填空题:‎ ‎13. 14. . 15. 16.①③‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解:(1)由已知 …………2分 ‎ ……………………………………………4分 ‎ ‎ ……………………………………………6分 ‎ ‎(2)由(1)得……………………………………………7分 ‎ 或………………………………………9分 ‎ 或……………………………………………11分 ‎ 所以方程的解集为…………12分 ‎18.解:(1)八周诚信水站诚信度的平均数为 ‎ …………3分 ‎ (2)表1中超过91%的数据共有5个,其中第一个周期有3个,分别记为 ‎ 第二个周期有2个,分别记为从这5个数据中任取2个共有10种情况:‎ ‎ ‎ 其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况。‎ ‎ 设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A,‎ 则………………………………………………………………8分 ‎ (3)有效果………………………………………………………………10分 ‎ 理由为:(满分2分,答对 ①得1分,后3条答对任意一条得1分)‎ ‎ ① 第三个周期的四周水站诚信度呈上升趋势;‎ ‎ ②第三个周期水站诚信度的平均数为92%高于第二个周期水站诚信度 的平均数为87.75%;‎ ‎ ③第三个周期水站诚信度的平均数为92%高于第一、二个周期水站诚信度 的平均数为90.5%;‎ ④12周整体诚信度的平均数为91%高于前两个周期水站诚信度的平均数90.5%;‎ ‎…………………………………………………………12分 19. 解:(1)如图,过点作于,连接.∴,∴EH=FD, …2分 又平面BEC平面ABCD,∴EH平面ABCD,已知FD平面ABCD,∴EH//FD……………4分 ‎∴四边形为平行四边形.∴EF//HD,又HD在平面ABCD内,EF不在平面ABCD内,‎ ‎∴平面.…………………………………………………………6分 ‎ ‎(2)由(1)可得,又所以就是所成的角……8分 ‎ 设=,在中,由余弦定理得:,‎ , …………………………………………………………6分 又由正弦定理得 … ………………………12分 ‎ ‎20.解:(1)由椭圆的定义,得,.………………………2分 ‎ 将点的坐标代入,得,解得.…………………4分 ‎ 所以,椭圆的方程是. …………………………………5分 ‎ (2) 依题意,得.设,‎ ‎ 则有,,.…………………………………6分 ‎ 直线的方程为, ……………………………7分 ‎ 令,得,所以. ………………8分 ‎ 直线的方程为,………………………………9分 ‎ 令,得,所以.…………………10分 ‎ 所以 ‎ 所以为定值. ………………………………12分 ‎ 21. 解:(1)令,得.所以,函数零点为.即切点为……1分 ‎ ‎ ,所以, ……………………2分 ‎ 所以曲线在其与x轴交点处的切线方程为 ,即. …………………………………3分 ‎ (2) 由函数得定义域为.…………………………………4分 ‎ ‎ 令,得. 所以,在区间上,;‎ ‎ 在区间上,.……………………5分 ‎ 故函数的单调递增区间是,单调递减区间是.………6分 ‎ ‎(3)由(1)可知在上,在上.…………7分 ‎ ‎ 由(2)结论可知,函数在处取得极大值,………………8分 ‎ 所以,方程有两个不同的实根时,‎ 必有,且, …………………………………9分 ‎ 法1:所以, …………………………………10分 ‎ 由在上单调递减可知,………………………………11分 ‎ 所以. …………………………………12分 ‎ 法2:由可得,两个方程同解.‎ 设,则,‎ 时,由得, …………………………………10分 ‎ 所以在区间上的情况如下:‎ ‎ ‎0‎ ‎ 极大 ‎ 所以,, …………………………………11分 ‎ ‎ 所以. …………………………………12分 ‎ 22. 解: (1) 曲线C:的直角坐标方程为, ‎ 将 代入曲线C:,得: ……………………3分 ‎ ‎ 设点、点所对应的参数分别为、则 ‎ |AB|= …………………6分 ‎ (2) 点P对应的直角坐标为(0,1)在直线上,AB中点M对应的参数为,‎ ‎ 所以M点坐标为,点M到点P的距离为 …………………10分 ‎23.解(1),由基本不等式得:, ………2分 ‎ 当且仅当时等号成立,由恒成立, ……………………4分 ‎ ‎(2)‎ ‎ ………………………………………6分 故要使恒成立,则………………………7分 ‎ 当时,不等式化为:,解得 当时,不等式化为:,解得 当时,不等式化为:,解得 故的取值范围 …………………………………………………………10分 ‎
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