2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程2
2.2.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用
[课时作业]
[A组 基础巩固]
1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m≥1或0
m，则m≥1，若5b>0)的离心率为，若直线y＝kx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为( )
A．±1 B．± C．± D．±
解析：因为椭圆的离心率为，所以有＝，即c＝a，c2＝a2＝a2－b2，所以
b2＝a2.当x＝b时，交点的纵坐标为y＝kb，即交点为(b，kb)，
代入椭圆方程＋＝1，即＋k2＝1，k2＝，所以k＝±，选C.
答案：C
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
解析：由题意知：F(－c,0)，A(a,0)，B.
∵BF⊥x轴，∴＝.
又∵＝2，∴＝2即e＝＝.
答案：D
4．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( )
A．1 B．－1
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C．－ D．以上都不对
解析：由题意知的几何意义是椭圆上的点(x，y)与点(2,0)两点连线的斜率，∴当直线y＝k(x－2)与椭圆相切(切点在x轴上方)时，＝k最小．
由整理得(4＋k2)x2－4k2x2＋4k2－4＝0.
Δ＝(－4k2)2－4(4＋k2)(4k2－4)＝16(4－3k2)＝0，即k＝－(k＝舍去)时，符合题意．
答案：C
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2 C. D．3
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．
由＝3，
得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×2＋2＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
故选A.
答案：A
6．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a－c＝，那么椭圆的方程是________．
解析：若短轴的端点与两焦点组成一个正三角形，则a＝2c，
又a－c＝，
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故c＝，a＝2，
∴b2＝(2)2－3＝9，
椭圆的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
7．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是________．
解析：如图所示，设以(0,6)为圆心，以r为半径的圆的方程为x2＋(y－6)2＝r2(r＞0)，与椭圆方程＋y2＝1联立得方程组，消掉x2得9y2＋12y＋r2－46＝0.
令Δ＝122－4×9(r2－46)＝0，解得r2＝50，
即r＝5.
由题意易知P，Q两点间的最大距离为r＋＝6.
答案：6
8．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，则||的最小值是________．
解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．
∵·＝0，
∴⊥.
∴||2＝||2－||2＝||2－1，
∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故||min＝2，
∴||min＝.
答案：
9．已知椭圆的短轴长为2，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)．
(1)求这个椭圆的标准方程；
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(2)如果直线y＝x＋m与这个椭圆交于不同的两点，求m的取值范围．
解析：(1)∵2b＝2，c＝1，
∴b＝，a2＝b2＋c2＝4.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)联立方程组
消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0.
若直线y＝x＋m与椭圆＋＝1有两个不同的交点，
则有Δ＝(8m)2－28(4m2－12)＞0，即m2＜7，
解得－＜m＜.
10．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．
解析：椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2－5x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)
＝×1×＝.
[B组 能力提升]
1．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过F1的直线与椭圆相交于A，B两点，若A·A2＝0，|A|＝|A2|，则椭圆的离心率为( )
A.－ B.－ C.－1 D.－1
解析：在Rt△ABF2中，设|AF2|＝m，则|AB|＝m，|BF2|＝m，所以4a＝(2＋)m.
又在Rt△AF1F2中，|AF1|＝2a－m＝m，|F1F2|＝2c，所以(2c)2＝2＋m2＝m2，则2c＝m.
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所以椭圆的离心率e＝＝＝－.
答案：A
2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝2内
B．必在圆x2＋y2＝2上
C．必在圆x2＋y2＝2外
D．以上三种情形都有可能
解析： ∵e＝，
∴a＝2c，
∴a2＝4c2，b2＝a2－c2＝3c2，
∴b＝c，
方程ax2＋bx－c＝0，
可化为2cx2＋cx－c＝0，
即2x2＋x－1＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，
x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝－2×
＝<2，
∴P(x1，x2)必在圆x2＋y2＝2内．故选A.
答案：A
3．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
解析：由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝
(x＋2)2＋2，
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当且仅当x＝2时，·取得最大值6.
答案：6
4．过点M(1,1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，得＝，所以e＝.
答案：
5．椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程得，
ax＋by＝1， ①
ax＋by＝1. ②
②－①，得
a(x1＋x2)(x2－x1)＋b(y2＋y1)(y2－y1)＝0.
而＝kAB＝－1，＝kOC＝，
则b＝a.
又∵|AB|＝|x2－x1|＝|x2－x1|＝2，
∴|x2－x1|＝2.
又由得
(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∴|x2－x1|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝2－4·＝4.将b＝a代入，
得a＝，b＝.
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.
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6．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为，F1，F2为其焦点，一直线过点F1与椭圆相交于A，B两点，且△F2AB的最大面积为，求椭圆的方程．
解析：由e＝得a∶b∶c＝∶1∶1，
所以椭圆方程设为x2＋2y2＝2c2.
设直线AB：x＝my－c，
由，得(m2＋2)y2－2mcy－c2＝0，
Δ＝4m2c2＋4c2(m2＋2)＝4c2(2m2＋2)
＝8c2(m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是方程的两个根．
得
所以|y1－y2|＝
＝
S△ABF2＝|F1F2||y1－y2|
＝c·2c·
＝≤2c2·＝c2，
当且仅当m＝0时，即AB⊥x轴时取等号，
∴c2＝，c＝1，
所以，所求椭圆方程为＋y2＝1.
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