数学卷·2018届湖北省仙桃市汉江高中高二上学期期中数学试卷(理科) (解析版)

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数学卷·2018届湖北省仙桃市汉江高中高二上学期期中数学试卷(理科) (解析版)

‎2016-2017学年湖北省仙桃市汉江高中高二(上)期中数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的位置关系是(  )‎ A.相交 B.平行 C.重合 D.异面 ‎2.若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直,那么a的值等于(  )‎ A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.1‎ ‎3.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,0),则直线AB的斜率为(  )‎ A.3 B.﹣4 C.4 D.不存在 ‎4.直线mx﹣y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标是(  )‎ A.(﹣2,1) B.(2,1) C.(1,﹣2) D.(1,2)‎ ‎5.若直线经过A(1,0),B(4,)两点,则直线AB的倾斜角为(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ ‎6.如图是正六棱柱的三视图,其中画法正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是(  )‎ A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.梯形的直观图可能不是梯形 C.正方形的直观图为平行四边形 D.正三角形的直观图一定是等腰三角形 ‎8.直线l经过A(2,1)、B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是(  )‎ A.[0,π) B. C. D.‎ ‎9.与直线x+y+3=0平行,且它们之间的距离为的直线方程为(  )‎ A.x﹣y+8=0或x﹣y﹣1=0 B.x+y+8=0或x+y﹣1=0‎ C.x+y﹣3=0或x+y+3=0 D.x+y﹣3=0或x+y+9=0‎ ‎10.平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎11.过点P作圆(x+1)2+(y﹣2)2=1的切线,切点为M,若|PM|=|PO|(O为原点),则|PM|的最小值是(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎12.直线l与圆x2+y2=1相切,并且在两坐标轴上的截距之和等于,则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于(  )‎ A. B. C.1或3 D.或 ‎ ‎ 二、填空题 ‎13.过点(2,1)且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为  .‎ ‎14.已知两条直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a=  .‎ ‎15.若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切,则实数m=  .‎ ‎16.直线L:3x﹣y﹣6=0被圆C:x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦AB的长为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.求圆心在直线3x+y﹣5=0上,并且经过原点和点(4,0)的圆的方程.‎ ‎18.(1)求经过点A(3,2),B(﹣2,0)的直线方程.‎ ‎(2)求过点P(﹣1,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程.‎ ‎19.已知圆C:(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.‎ ‎(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当弦AB最短时,写出直线l的方程;‎ ‎(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.‎ ‎20.如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C﹣A′DD′,求棱锥C﹣A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.‎ ‎21.已知圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=4,直线l:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,‎ ‎(1)求证:直线l与圆C恒相交;‎ ‎(2)当m=1时,过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于P点,Q为圆C上的动点,求|PQ|的取值范围.‎ ‎22.已知直线x﹣y+1=0与圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A,B两点;‎ ‎(1)求线段AB的垂直平分线的方程;‎ ‎(2)若|AB|=2,求m的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求过点P(4,4)的圆C的切线方程.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年湖北省仙桃市汉江高中高二(上)期中数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1.直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的位置关系是(  )‎ A.相交 B.平行 C.重合 D.异面 ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】根据两直线的斜率相等,但在y轴上的截距不相等,则得两直线平行.‎ ‎【解答】解:由于直线2x﹣y=7与直线2x﹣y﹣1=0的斜率相等,都等于2,而在y轴上的截距分别为﹣7 和1,不相等,‎ 故两直线平行,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直,那么a的值等于(  )‎ A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.1‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.‎ ‎【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:由于直线x+2y+1=0的斜率存在,且直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直,‎ 则×(﹣a)=﹣1,解得a=﹣2.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.已知直线经过点A(0,4)和点B(1,0),则直线AB的斜率为(  )‎ A.3 B.﹣4 C.4 D.不存在 ‎【考点】直线的斜率.‎ ‎【分析】利用斜率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:kAB==﹣4.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.直线mx﹣y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标是(  )‎ A.(﹣2,1) B.(2,1) C.(1,﹣2) D.(1,2)‎ ‎【考点】恒过定点的直线.‎ ‎【分析】直线mx﹣y+2m+1=0可化为m(x+2)+(﹣y+1)=0,根据m∈R,建立方程组,即可求得定点的坐标.‎ ‎【解答】解:直线mx﹣y+2m+1=0可化为m(x+2)+(﹣y+1)=0‎ ‎∵m∈R ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线mx﹣y+2m+1=0经过定点(﹣2,1)‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.若直线经过A(1,0),B(4,)两点,则直线AB的倾斜角为(  )‎ A.30° B.45° C.60° D.120°‎ ‎【考点】直线的倾斜角.‎ ‎【分析】先根据直线的斜率公式求出斜率,再根据倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,求出倾斜角的值.‎ ‎【解答】解:若直线经过两点,则直线的斜率等于 =.‎ 设直线的倾斜角等于θ,则有tanθ=.‎ 再由 0≤θ<π可得 θ=,即θ=30°,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎6.如图是正六棱柱的三视图,其中画法正确的是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图.‎ ‎【分析】根据三视图有两个为矩形,则几何体为柱体,具体是哪种柱体由第三个视图决定,可判断出几何体的形状.‎ ‎【解答】解:由已知中的正六棱柱的三视图中:‎ 正视图和侧视图的轮廓为矩形,俯视图是一个正六边形,‎ 故选A ‎ ‎ ‎7.对于用“斜二侧画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是(  )‎ A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.梯形的直观图可能不是梯形 C.正方形的直观图为平行四边形 D.正三角形的直观图一定是等腰三角形 ‎【考点】斜二测法画直观图.‎ ‎【分析】根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则,可得:等腰三角形的直观图不再是等腰三角形,梯形的直观图还是梯形,正方形的直观图是平行四边形,正三角形的直观图是一个钝角三角形,进而得到答案.‎ ‎【解答】解:根据斜二侧画法画水平放置的平面图形时的画法原则,可得:‎ 等腰三角形的直观图不再是等腰三角形,‎ 梯形的直观图还是梯形,‎ 正方形的直观图是平行四边形,‎ 正三角形的直观图是一个钝角三角形,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎8.直线l经过A(2,1)、B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是(  )‎ A.[0,π) B. C. D.‎ ‎【考点】直线的倾斜角.‎ ‎【分析】设直线AB的倾斜角为θ,0≤θ<π,根据斜率的计算公式,可得AB的斜率为 K==1﹣m2,进而可得K的范围,由倾斜角与斜率的关系,可得tanθ≤1,进而由正切函数的图象分析可得答案.‎ ‎【解答】解:设直线AB的倾斜角为θ,0≤θ<π,‎ 根据斜率的计算公式,可得AB的斜率为 K==1﹣m2,‎ 易得k≤1,‎ 由倾斜角与斜率的关系,可得tanθ≤1,‎ 由正切函数的图象,可得θ的范围是,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎9.与直线x+y+3=0平行,且它们之间的距离为的直线方程为(  )‎ A.x﹣y+8=0或x﹣y﹣1=0 B.x+y+8=0或x+y﹣1=0‎ C.x+y﹣3=0或x+y+3=0 D.x+y﹣3=0或x+y+9=0‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离.‎ ‎【分析】设所求直线方程为x+y+m=0,运用两平行直线的距离公式,解关于m的方程,即可得到所求方程.‎ ‎【解答】解:设所求直线方程为x+y+m=0,‎ 则由两平行直线的距离公式可得d==3,‎ 解得m=9或﹣3.‎ 则所求直线方程为x+y﹣3=0或x+y+9=0,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎10.平行线3x+4y﹣9=0和6x+8y+2=0的距离是(  )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离.‎ ‎【分析】先将两平行直线的方程的系数统一,再代入平行线间的距离公式计算即可.‎ ‎【解答】解:两平行直线的距离d===2.‎ 故选B ‎ ‎ ‎11.过点P作圆(x+1)2+(y﹣2)2=1的切线,切点为M,若|PM|=|PO|(O为原点),则|PM|的最小值是(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【考点】圆的切线方程.‎ ‎【分析】由切线的性质可得|PM|2=|PC|2﹣|CM|2,又|PM|=|PO|,可得x0﹣2y0+2=0.动点P在直线x﹣2y+2=0上,|PM|的最小值就是|PO|的最小值,利用点到直线的距离公式求解即可.‎ ‎【解答】解:∵PM⊥CM,∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2,又|PM|=|PO|,‎ ‎∴(x0+1)2+(y0﹣2)2﹣1=x02+y02,整理得:x0﹣2y0+2=0.‎ 即动点P在直线x﹣2y+2=0上,所以,|PM|的最小值就是|PO|的最小值,‎ 过点O作直线x﹣2y+2=0的垂线,垂足为P,|OP|==.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎12.直线l与圆x2+y2=1相切,并且在两坐标轴上的截距之和等于,则直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积等于(  )‎ A. B. C.1或3 D.或 ‎【考点】圆的切线方程;直线的截距式方程.‎ ‎【分析】设出直线l与坐标轴的交点,表示出三边关系(勾股定理,面积相等,截距之和为),化简为三角形面积,即可.‎ ‎【解答】解:设直线分交x轴于A(a,0),y轴B(0,b),‎ 则|a|>1,|b|>1.‎ ‎∵截距之和等于,‎ ‎∴直线l的斜率大于0.‎ ‎∴ab<0.‎ 令|AB|=c 则c2=a2+b2…①‎ ‎∵直线l与圆x2+y2=1相切,‎ ‎∴圆心(0,0)到直线AB的距离d=r=1.‎ 由面积可知c•1=|a•b|…②‎ ‎∵a+b=,‎ ‎∴(a+b)2=3…③‎ 由①②③可得(ab)2+2ab﹣3=0.‎ ab=﹣3或ab=1.‎ 又∵ab<0,‎ ‎∴ab=﹣3‎ 于是直线l与两坐标轴围成的三角形的面积 ‎.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13.过点(2,1)且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为 3x﹣y﹣5=0 .‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.‎ ‎【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率,可得点斜式方程,化为一般式可得.‎ ‎【解答】解:∵直线x+3y+4=0的斜率为﹣,‎ ‎∴与直线x+3y+4=0垂直的直线斜率为3,‎ 故点斜式方程为y﹣1=3(x﹣2),‎ 化为一般式可得3x﹣y﹣5=0,‎ 故答案为:3x﹣y﹣5=0.‎ ‎ ‎ ‎14.已知两条直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a= ﹣1或2 .‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】分别化为斜截式,利用两条直线平行与斜率、截距之间的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:两条直线l1:(a﹣1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0的分别化为:,y=﹣x﹣,‎ ‎∵l1∥l2,‎ ‎∴,,‎ 解得a=﹣1或2.‎ 故答案为:﹣1或2.‎ ‎ ‎ ‎15.若圆x2+y2=4 与圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0相外切,则实数m= ±3 .‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定.‎ ‎【分析】先求出圆的圆心和半径,根据两圆相外切,可得圆心距等于半径之和,求得m的值.‎ ‎【解答】解:圆x2+y2=4 的圆心为(0,0)、半径为2;圆x2+y2﹣2mx+m2﹣1=0,即(x﹣m)2+y2=1,表示圆心为(m,0)、半径等于1的圆.‎ 根据两圆相外切,可得圆心距等于半径之和,即|m|=2+1=3,求得m=±3,‎ 故答案为:±3.‎ ‎ ‎ ‎16.直线L:3x﹣y﹣6=0被圆C:x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦AB的长为  .‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质.‎ ‎【分析】将圆的方程化为标准方程从而确定圆心和半径.根据直线与圆截得的弦长公式求出弦AB的长.‎ ‎【解答】解:将圆的方程x2+y2﹣2x﹣4y=0化为标准方程,得 ‎(x﹣1)2+(y﹣2)2=5‎ ‎∴圆心坐标为(1,2),半径.‎ ‎∴圆心到直线的距离 ‎.‎ 弦AB的长 ‎|AB|=‎ ‎=2‎ ‎=2‎ ‎=‎ 故答案为 ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分70分)‎ ‎17.求圆心在直线3x+y﹣5=0上,并且经过原点和点(4,0)的圆的方程.‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质.‎ ‎【分析】由直线和圆相交的性质可得,圆心在点O(0,0)和点A(4,0)的中垂线x=2上,再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上,可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值,从而得到所求的圆的方程.‎ ‎【解答】解:由直线和圆相交的性质可得,圆心在点O(0,0)和点A(4,0)的中垂线x=2上,‎ 再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上,可得圆心C的坐标为(2,﹣1),故半径r=|OC|=,‎ 故所求的圆的方程为 (x﹣2)2+(y+1)2=5.‎ ‎ ‎ ‎18.(1)求经过点A(3,2),B(﹣2,0)的直线方程.‎ ‎(2)求过点P(﹣1,3),并且在两轴上的截距相等的直线方程.‎ ‎【考点】直线的两点式方程;直线的截距式方程.‎ ‎【分析】(1)利用斜率计算公式可得,再由点斜式即可得出所求直线方程;‎ ‎(2)分类讨论:当直线的截距为0时,即可得出;当直线的截距不为0时,可设直线方程为x+y=m,将P(﹣1,3)代入可得m即可.‎ ‎【解答】解:(1)∵,‎ ‎∴直线方程为,化为2x﹣5y+4=0.‎ ‎(2)当直线的截距为0时,直线方程为y=x,即y=﹣3x;‎ 当直线的截距不为0时,可设直线方程为x+y=m,‎ 将P(﹣1,3)代入可得m=2,‎ 因此所求直线方程为x+y=2.‎ 故所求直线方程为3x+y=0,或x+y﹣2=0.‎ ‎ ‎ ‎19.已知圆C:(x﹣1)2+y2=9内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.‎ ‎(1)当l经过圆心C时,求直线l的方程;‎ ‎(2)当弦AB最短时,写出直线l的方程;‎ ‎(3)当直线l的倾斜角为45°时,求弦AB的长.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)求出圆的圆心,代入直线方程,求出直线的斜率,即可求直线l的方程;‎ ‎(2)当弦AB被点P平分时,弦AB最短,求出直线的斜率,即可写出直线l的方程;‎ ‎(3)当直线l的倾斜角为45°时,求出直线的斜率,然后求出直线的方程,利用点到直线的距离,半径,半弦长的关系求弦AB的长.‎ ‎【解答】解:(1)已知圆C:(x﹣1)2+y2=9的圆心为C(1,0),‎ 因为直线l过点P,C,所以直线l的斜率为2,所以直线l的方程为y=2(x﹣1),即2x﹣y﹣2=0.‎ ‎(2)当弦AB被点P平分时,弦AB最短,此时l⊥PC,直线l的方程为y﹣2=﹣(x﹣2),即x+2y﹣6=0.‎ ‎(3)当直线l的倾斜角为45°时,斜率为1,直线l的方程为y﹣2=x﹣2,即x﹣y=0.‎ 圆心到直线l的距离为=,圆的半径为3,弦AB的长为:2=.‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C﹣A′DD′,求棱锥C﹣A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】长方体看成直四棱柱ADD′A′﹣B′C′CB,设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,求出棱锥C﹣A′DD′的体积,‎ 余下的几何体的体积,即可得到结果.‎ ‎【解答】解:已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′﹣B′C′CB,‎ 设它的底面ADD′A′面积为S,高为h,‎ 则它的体积为:V=Sh,‎ 而棱锥C﹣A′DD′的底面面积为:,高为h,‎ 因此棱锥C﹣A′DD′的体积==,‎ 余下的体积是:Sh﹣=.‎ 所以棱锥C﹣A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为:1:5.‎ ‎ ‎ ‎21.已知圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=4,直线l:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,‎ ‎(1)求证:直线l与圆C恒相交;‎ ‎(2)当m=1时,过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于P点,Q为圆C上的动点,求|PQ|的取值范围.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系;两点间的距离公式.‎ ‎【分析】通过求解直线系的两条直线的交点,判断点与圆的位置关系,即可得到结论.求出切线方程,然后求出P的坐标,通过圆心与P的距离,求出|PQ|的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)证明:由l得方程m(x+2y﹣7)+2x+y﹣8=0,‎ 故l恒过两直线x+2y﹣7=0以及2x+y﹣8=0的交点P(3,2),‎ 因为(3﹣2)2+(2﹣3)2=2<4,即点P在圆的内部,‎ 所以直线与圆相交.‎ ‎(2)由题知过圆C上点(0,3)作圆的切线l1:x=0,‎ m=1时,l:x+y=5‎ 所以⇒P(0,5),而,‎ 所以 ‎ ‎ ‎22.已知直线x﹣y+1=0与圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+m=0交于A,B两点;‎ ‎(1)求线段AB的垂直平分线的方程;‎ ‎(2)若|AB|=2,求m的值;‎ ‎(3)在(2)的条件下,求过点P(4,4)的圆C的切线方程.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)由题意,线段AB的垂直平分线经过圆的圆心(2,1),斜率为﹣1,可得线段AB的垂直平分线的方程.‎ ‎(2)利用|AB|=2,求出圆心到直线的距离,利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,从而可求m的值.‎ ‎(3)分类讨论,利用圆心到直线的距离等于半径,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:(1)由题意,线段AB的垂直平分线经过圆的圆心(2,1),斜率为﹣1,‎ ‎∴方程为y﹣1=﹣(x﹣2),即x+y﹣3=0;‎ ‎(2)圆x2+y2﹣4x﹣2y+m=0可化为(x﹣2)2+(y﹣1)2=﹣m+5,‎ ‎∵|AB|=2,∴圆心到直线的距离为,‎ ‎∵圆心到直线的距离为d==,∴,∴m=1‎ ‎(3)由题意,知点P(4,4)不在圆上.‎ ‎①当所求切线的斜率存在时,设切线方程为y﹣4=k(x﹣4),即kx﹣y﹣4k+4=0.由圆心到切线的距离等于半径,得=2,‎ 解得k=,所以所求切线的方程为5x﹣12y+28=0‎ ‎②当所求切线的斜率不存在时,切线方程为x=4‎ 综上,所求切线的方程为x=4或5x﹣12y+28=0.‎ ‎ ‎ ‎2016年12月14日
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