2011高考数学专题复习：《直接证明与间接证明》专题训练一

2011高考数学专题复习：《直接证明与间接证明》专题训练一

‎2011《直接证明与间接证明》专题训练一 一、解答题 ‎1、求证：‎ ‎2、设数列的通项公式为 数列定义如下：对于正整数，是使得不等式≥成立的所有中的最小值．‎ ‎(I)若，求；‎ ‎(Ⅱ)若=2，=-1，求数列的前‎2m项和的公式；‎ ‎(Ⅲ)是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围；如果不存在，请说明理由．‎ ‎3、设数列是公比为的等比数列，是它的前项和．‎ ‎(1)求证：数列{}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{}是等差数列吗？为什么？‎ ‎4、已知：>0，>0，+=1．求证：‎ ‎5、已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且三个内角A，B，C的对边分别为求证：‎ ‎6、已知三个方程：，其中至少有一个方程有实根，求实数的取值范围．‎ ‎7、在数列中，‎ ‎( I)证明数列{-}是等比数列；‎ ‎(Ⅱ)求数列的前n项和；‎ ‎(Ⅲ)证明不等式。对任意皆成立．‎ ‎8、已知是正数组成的数列，=1，且点 在函数的图象上．‎ ‎(I)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若数列满足求证：‎ ‎9、已知△ABC的三边长是，且为正数，求证：‎ ‎10、已知数列和满足：‎ ‎，其中A为实数，为正整数．‎ ‎(I)证明：对任意实数，数列不是等比数列；‎ ‎(Ⅱ)证明：当≠-18时，数列是等比数列；‎ ‎(Ⅲ)设为数列的前项和．是否存在实数，使得对任意正整数，都有> -12?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎11、首项为正数的数列满足 ‎(1)证明：若为奇数，则对一切n≥2，都是奇数；‎ ‎(2)若对一切都有>，求的取值范围．‎ ‎12、已知数列的前n项和（n为正整数）．‎ ‎(1)令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎(2)令，试比较与的大小，并予以证明．‎ ‎13、已知数列满足：=0．求证：‎ ‎(1) -l<<0；‎ ‎(2) > 对一切都成立；‎ ‎(3)数列{}为递增数列．‎ ‎14、已知数列中，‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列中，证明：‎ ‎15、设函数数列满足 ‎(1)证明：函数在区间(0，1)上是增函数；‎ ‎(2)证明：‎ ‎(3)设 (，1)，整数证明：>．‎ ‎16、已知数列 记：‎ 求证：当时，‎ ‎17、设数列满足，其中为实数．‎ ‎(1)证明:∈[0，1]对任意成立的充分必要条件是∈[0，1]；‎ ‎(2)设．证明：‎ ‎(3)设，证明：‎ ‎18、已知数列是等差数列，‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设数列的通项（其中>0且≠1．记是数列的前n项和，试比较与的大小，并证明你的结论．‎ ‎19、已知集合= {，，…，}，其中 由中的元素构成两个相应的集合：‎ ‎．其中（）是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质．‎ ‎(1)检验集合{0，1，2，3}与{-1，2，3}是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；‎ ‎(2)对任何具有性质的集合，证明：‎ ‎(3)判断和的大小关系，并证明你的结论．‎ 以下是答案 一、解答题 ‎1、解析 当时，等式左边=2，右边=2，故等式成立；‎ 假设当=时等式成立，即 那么当时，左边=‎ 这就是说当时等式也成立．综上可知原等式对于任意正整数都成立．‎ ‎2、解析(1)由题意，得，解，得 使得成立的所有中的最小正整数为7，即=7．‎ ‎(Ⅱ)由题意，得=2-1，‎ 对正整数，由≥，得 根据的定义可知 当 时, () ;当 时, ().‎ ‎(Ⅲ)假设存在和满足条件，由不等式及>0得 ‎，根据的定义可知，对于任意的正整数都有 ‎，即对任意的正整数都成立．‎ 当）时，得 这与上述结论矛盾，‎ 当，即时，得，解得（经检验符合题意）存在和，使得 ()．和的取值范围分别是 ‎3、解析(1)假设数列是等比数列，则，即，因为 ‎，所以，即=0，这与公比≠O矛盾，所以数列不是等比数列．‎ ‎ (2)当=l时，是等差数列；当≠1时．不是等差数列．否则，即，得=0，这与公比矛盾．‎ ‎4、解析 要证只需证 由已知知，‎ 故只需证，只需证 只需证，故原不等式成立．‎ ‎5、解析 要证原式，只需证，即 即只需证,而 从而原式得证．‎ ‎6、解析 若三个方程都无实根，则．解得，故当三个方程至少有一个方程有实根时，实数的取值范围为或}．‎ ‎7、解析(I)由题设，得, ，所以数列是首项为1，且公比为4的等比数列．‎ ‎ (Ⅱ)由(I)可知，于是数列的通项公式为所以数列的前项和 ‎(Ⅲ)对任意的，‎ 所以不等式。对任意皆成立．‎ ‎8、解析(I)由已知得，则，又，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，故 ‎ (Ⅱ)由(I)知，，从而．‎ 因为 所以 ‎9、解析 观察所需证明的不等式，发现其每一项都有共同的结构，联想到函数 具有单调性，构造单调函数O，)．证明过程如下：‎ 构造单调函数 因为为(0，+)上的增函数，‎ 而 又因为，所以 因此 ‎10、解析(I)假设存在一个实数，使是等比数列，则有，即 ‎，矛盾不是等比数列．‎ 由上式知 故当≠- 18时，数列{}是以- (+18)为首项，为公比的等比数列．‎ ‎(Ⅲ)当≠- 18时，由(Ⅱ)得，于是 当= -18时，=0，从而=0，>-12恒成立．‎ 要使对任意正整数，都有> -12．‎ 即 令，则当为正奇数时，当为正偶数时，‎ 的最大值为于是可得 综上所述，存在实数使得对任意正整数，都有> -12，的取值范围为（-，-6）．‎ ‎11、解析(1)已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数，‎ 则由递推关系得是奇数．‎ 根据数学归纳法可知，对一切, 都是奇数．‎ ‎(2)方法一 由知，当且仅当<1‎ 或>3时，．‎ 另一方面，若O< <1，则；若>3，则>‎ 根据数学归纳法可知，对一切；对一切 综上所述，对一切，都有>的充要条件是O<<1或>3．‎ 方法二 由，得，于是0<<1或>3.‎ 因为，所以所有的均大于0，因此与 同号，‎ 根据数学归纳法可知，对一切与同号．‎ 因此，对一切，都有的充要条件是0<<1或>3.‎ ‎12、解析(1)在中，令，可得 ‎，即 当≥2时，‎ ‎，即 ‎，即当≥2时，‎ 又,数列是首项和公差均为l的等差数列．‎ 于是 ‎(2)由(1)得 ‎，①‎ 由①一②得 于是确定与的大小关系等价于比较与的大小，‎ 由+1：…，‎ 可猜想当≥3时，>，证明如下：‎ ‎①当=3时，已证不等式成立；‎ ‎②假设当= (≥3)时，不等式成立，即> 2 +1.‎ 那么当=+l时，‎ 当=+l时，猜想也成立，‎ 综合①②可知，对一切≥3的正整数，都有 综上所述，当=l，2时，；当n3时，‎ ‎13、解析 已知条件可化为，即 ‎(1)①当=l时结论已成立；‎ ‎②假设当=（≥1且∈N*）时结论成立，即-1<<0，‎ 那么当=+l时，‎ 内为增函数，‎ ‎,则-1<<0‎ 当时结论成立．‎ 由①②知，对一切均有-1 <<0．‎ ‎(2)①当时，成立；‎ ‎②假设当=（≥1且）时结论成立，即，‎ 即同上法可得，‎ 当时结论成立，‎ 由①②知对一切均有成立，‎ ‎，则 两式相减得 若把上式中的换成，‎ 则 数列为递增数列．‎ ‎14、解析(1)因为 所以 所以数列是首项为．公比为的等比数列，‎ 所以 即的通项公式 ‎(2)用数学归纳法证明：‎ ‎()当时，因为 所以<≤，结论成立；‎ ‎()假设当=（≥1且）时，结论成立，即 即 当=+1时，‎ 所以 也就是说，当=+1时，结论成立．‎ 根据()和()知．‎ ‎15、解析(1)当0<<1时，‎ 所以函数在区间(0，1)上是增函数．‎ ‎(2)当O<≥．否则，若<，则由0<≤<-2.‎ ‎(3)由，得 所以 于是 故当≥3时，‎ 又因为所以<3．‎ ‎17、解析(1)必要性：‎ 又 即[0，1].‎ 充分性：设 [O，1]，对用数学归纳法证明。∈[0，1]．‎ 当=l时， =O∈[0，1]，假设∈[0，1]（≥1且N*）‎ 则 且 由数学归纳法知， [0，1]对所有都成立．‎ ‎(2)设，当=l时，=0结论成立，‎ 当≥2且时．‎ ‎，由(I)知且1-‎ ‎(3)设，当=l时，．结论成立，‎ 当≥2且时，由(Ⅱ)知 ‎18、解析(1)设数列的公差为，由题意得 ‎，‎ ‎ (2)由知，‎ 而，于是比较与的大小 比较与的大小，‎ 取，有 取，有 推测：‎ ‎①当时，已验证()式成立；‎ ‎②假设 (≥1)时()式成立，即 则当时，‎ 从而 即当时，（）式成立．‎ 由①②知，()式对任意正整数都成立，‎ 于是，当>l时，；当O<<1时，‎ ‎19、解析(1)集合{0，l，2，3}不具有性质．集合{-1，2，3}具有性质P， ‎ ‎ 其相应的集合和分别是S={（-1，3），（3，-1）}，T={（2．-1），(2，3)}． ‎ ‎ (2)首先，由中元素构成的有序数对(，)共有个． ‎ ‎ 因为，所以(，) (l，2，…，)； ‎ 又因为当时，，所以当(，)∈T时， (, )T(，＝1,2,…, )． ‎ 从而，集合中元素的个数最多为即 ‎(3) ，证明如下：‎ ‎①对于(，) ，根据定义,，，且，从而(，)∈如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立，故(，)与(，)也是的不同元素，可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即．‎ ‎ ②对于 ，根据定义，，，且，从而（，）．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立，故（，）与(，)也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，由①②可知，．‎