高考数学专题复习练习：第二章 2_4二次函数

高考数学专题复习练习：第二章 2_4二次函数

‎ ‎ ‎1．二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 ‎①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．‎ ‎②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．‎ ‎③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．‎ ‎(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)‎ f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)‎ 图象 定义域 ‎(－∞，＋∞)‎ ‎(－∞，＋∞)‎ 值域 单调性 在x∈上单调递减；‎ 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增；‎ 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 ‎2.幂函数 ‎(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)幂函数的图象比较 ‎(3)幂函数的性质 ‎①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；‎ ‎②幂函数的图象过定点(1,1)；‎ ‎③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；‎ ‎④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.‎ ‎2．幂函数的图象和性质 ‎(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．‎ ‎(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)‎ ‎(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　×　)‎ ‎(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)‎ ‎(4)函数是幂函数．(　×　)‎ ‎(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)‎ ‎(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)‎ ‎1．(教材改编)已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)‎ A．a≥3 B．a≤3‎ C．a＜－3 D．a≤－3‎ 答案　D 解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间 ‎(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，‎ ‎∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.‎ ‎2．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)‎ 答案　D 解析　由a＋b＋c＝0和a>b>c知a>0，c<0，‎ 由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.‎ ‎3．幂函数(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ 答案　C 解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，‎ ‎(a∈Z)为偶函数，‎ 且在区间(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，‎ 又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.‎ ‎4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．‎ 答案　[1,2]‎ 解析　如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．‎ ‎5．(教材改编)已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减．‎ 答案　　(0，＋∞)‎ 解析　设f(x)＝xa，则2a＝，‎ ‎∴a＝－，即幂函数的解析式为，单调减区间为(0，＋∞)．‎ 题型一　求二次函数的解析式 例1　(1)(2016·太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f(x)＝________.‎ 答案　x2＋2x 解析　设函数的解析式为f(x)＝ax(x＋2)，‎ 所以f(x)＝ax2＋2ax，由＝－1，‎ 得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.‎ ‎(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．‎ 解　∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，‎ ‎∴f(x)的对称轴为x＝2.‎ 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，‎ ‎∴f(x)＝0的两根为1和3.‎ 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，‎ 又f(x)的图象过点(4,3)，‎ ‎∴3a＝3，a＝1，‎ ‎∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，‎ 即f(x)＝x2－4x＋3.‎ 思维升华　求二次函数解析式的方法 ‎　(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.‎ ‎(2)若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________.‎ 答案　(1)x2＋2x＋1　(2)－2x2＋4‎ 解析　(1)设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，‎ 由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，∴a＝1，‎ 故f(x)＝x2＋2x＋1.‎ ‎(2)由f(x)是偶函数知f(x)图象关于y轴对称，‎ ‎∴－a＝－(－)，即b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，‎ 又f(x)的值域为(－∞，4]，‎ ‎∴2a2＝4，故f(x)＝－2x2＋4.‎ 题型二　二次函数的图象和性质 命题点1　二次函数的单调性 例2　函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－3,0) B．(－∞，－3]‎ C．[－2,0] D．[－3,0]‎ 答案　D 解析　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件．‎ 当a≠0时，f(x)的对称轴为x＝，‎ 由f(x)在[－1，＋∞)上递减知 解得－3≤a＜0.综上，a的取值范围为[－3,0]．‎ 引申探究 若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.‎ 答案　－3‎ 解析　由题意知a<0，‎ 又＝－1，∴a＝－3.‎ 命题点2　二次函数的最值 例3　已知函数f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求函数f(x)的最小值．‎ 解　(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0,1]上单调递减，‎ ‎∴f(x)min＝f(1)＝－2.‎ ‎(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x的图象开口向上 且对称轴为x＝.‎ ‎①当0<≤1，即a≥1时，‎ f(x)＝ax2－2x的对称轴在[0,1]内，‎ ‎∴f(x)在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增．‎ ‎∴f(x)min＝f()＝－＝－.‎ ‎②当>1，即02x＋m恒成立，则实数m的取值范围是________________．‎ ‎(2)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　(1)(－∞，－1)　(2) 解析　(1)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，‎ 令g(x)＝x2－3x＋1－m，‎ 要使g(x)＝x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立，‎ 只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．‎ ‎∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝－m－1.‎ 由－m－1>0，得m<－1.‎ 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．‎ ‎(2)2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．‎ 当x＝0时，－3<0，成立；‎ 当x≠0时，a<2－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a<‎ eq f(1,2).‎ 综上，实数a的取值范围是 .‎ 思维升华　(1)二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．‎ ‎(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 ‎①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．‎ ‎②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.‎ ‎　(1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足10，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　 解析　由题意得a>－对1.‎ ‎(2)已知函数f(x)＝x2－2x，若x∈[－2，a]，求f(x)的最小值．‎ 解　∵函数f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，‎ ‎∴对称轴为直线x＝1，‎ ‎∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论，当－21时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，f(x)取得最小值，‎ 即f(x)min＝－1.‎ 综上，当－21时，f(x)min＝－1.‎ 题型三　幂函数的图象和性质 例5　(1)(2016·济南诊断测试)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)‎ A. B．1 C. D．2‎ ‎(2)若则实数m的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(－1,2) D. 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，‎ 所以α＝，解得α＝，从而k＋α＝.‎ ‎(2)因为函数的定义域为[0，＋∞)‎ 且在定义域内为增函数，‎ 所以不等式等价于 解2m＋1≥0，得m≥－；‎ 解m2＋m－1≥0，得m≤或m≥；‎ 解2m＋1>m2＋m－1，得－1>1，‎ 即a0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；[6分]‎ ‎(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.[9分]‎ 综上可知，a的值为或－3.[10分]‎ ‎1．函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－∞，－2]时，f(x)是减函数，则f(1)的值为(　　)‎ A．－3 B．13 C．7 D．5‎ 答案　B 解析　函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，‎ ‎∴m＝－8，∴f(1)＝2＋8＋3＝13.‎ ‎2．幂函数(m∈Z)的图象如图所示，则m的值为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　∵(m∈Z)的图象与坐标轴没有交点，‎ ‎∴m2－4m<0，即0f(x2)‎ C．f(x1)0，又x1＋x2＝0，‎ 则－x1>x2－，故f(x1)g(x)>f(x)‎ 解析　如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0,1)上的图象，由此可知，h(x)>g(x)>f(x)．‎ ‎9．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，－5]‎ 解析　方法一　∵不等式x2＋mx＋4<0对x∈(1,2)恒成立，‎ ‎∴mx<－x2－4对x∈(1,2)恒成立，‎ 即m<－(x＋)对x∈(1,2)恒成立，‎ 令y＝x＋，则函数y＝x＋在x∈(1,2)上是减函数．‎ ‎∴41，即a>2时，f(x)在[1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，不合题意；‎ ‎②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意；‎ ‎③当<0，即a<0时，不符合题意．‎ 综上，a的取值范围是[0,2]．‎ ‎11．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．‎ ‎(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；‎ ‎(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．‎ 解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]．‎ ‎∵f(x)的对称轴为x＝1，‎ ‎∴当x＝1时，f(x)取最小值1；‎ 当x＝－5时，f(x)取最大值37.‎ ‎(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的对称轴为x＝－a，‎ ‎∵f(x)在[－5,5]上是单调函数，‎ ‎∴－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.‎ 故实数a的取值范围为a≤－5或a≥5.‎ ‎12．已知幂函数(m∈N*)．‎ ‎(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；‎ ‎(2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．‎ 解　(1)因为m2＋m＝m(m＋1)(m∈N*)，‎ 而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m2＋m为偶数，‎ 所以函数(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在[0，＋∞)上为增函数．‎ ‎(2)因为函数f(x)的图象经过点(2，)，‎ 所以即 所以m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2.‎ 又因为m∈N*，所以m＝1，‎ 又因为f(2－a)>f(a－1)，‎ 所以解得1≤a＜，‎ 故函数f(x)的图象经过点(2，)时，m＝1.‎ 满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为[1，)．‎ ‎13．已知函数f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．‎ 解　要使f(x)≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f(x)的最小值为g(a)．‎ ‎(1)当－<－2，即a>4时，g(a)＝f(－2)＝7－3a≥0，得a≤，故此时a不存在；‎ ‎(2)当－∈[－2,2]，即－4≤a≤4时，g(a)＝f＝3－a－≥0，得－6≤a≤2，‎ 又－4≤a≤4，故－4≤a≤2；‎ ‎(3)当－>2，即a<－4时，g(a)＝f(2)＝7＋a≥0，‎ 得a≥－7，又a<－4，故－7≤a<－4，‎ 综上得－7≤a≤2.‎