高考数学复习中档解答题规范训练(四)

高考数学复习中档解答题规范训练(四)

‎ ‎ 中档解答题规范训练(四)‎ 立体几何 ‎(建议用时:60分钟)‎ ‎1.(2014·深圳模拟)如图所示,平面ABCD⊥平面BCEF,且四边形ABCD为矩形,四边形BCEF为直角梯形,BF∥CE,BC⊥CE,DC=CE=4,BC=BF=2.‎ ‎(1)求证:AF∥平面CDE.‎ ‎(2)求平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值.‎ ‎(3)求直线EF与平面ADE所成角的余弦值.‎ ‎【解析】(1)因为四边形BCEF为直角梯形,四边形ABCD为矩形,‎ 所以BC⊥CE,BC⊥CD,‎ 又因为平面ABCD⊥平面BCEF,且平面ABCD∩平面BCEF=BC,所以DC⊥平面BCEF.‎ 以C为原点,CB所在直线为x轴,CE所在直线为y轴,CD所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系.‎ 根据题意可得以下点的坐标:‎ A(2,0,4),B(2,0,0),C(0,0,0),D(0,0,4),E(0,4,0),F(2,2,0),‎ 则=(0,2,-4),=(2,0,0).‎ 因为BC⊥CD,BC⊥CE,‎ 所以为平面CDE的一个法向量.‎ 又因为·=0×2+2×0+(-4)×0=0,‎ 所以AF∥平面CDE.‎ ‎(2)设平面ADE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),‎ 则 因为=(-2,0,0),=(0,4,-4),‎ 所以取z1=1,得n1=(0,1,1).‎ 因为DC⊥平面BCEF,‎ 所以平面BCEF的一个法向量为=(0,0,4),‎ 设平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的大小为α,‎ 则cosα===.‎ 因此,平面ADE与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎(3)根据(2)知平面ADE的一个法向量为n1=(0,1,1),‎ 因为=(2,-2,0),‎ 所以cos<,n1>===-,‎ 设直线EF与平面ADE所成角为θ,‎ 则cosθ=|sin<,n1>|=.‎ 因此,直线EF与平面ADE所成角的余弦值为.‎ ‎【加固训练】(2014·郑州模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,AB⊥BC,AB∥CD,AB=2BC=2CD=2.‎ ‎(1)求证:平面PBC⊥平面PAB.‎ ‎(2)若二面角B-PC-D的余弦值为-,求PA.‎ ‎【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,BC平面ABCD,‎ 所以PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,‎ 所以BC⊥平面PAB,因为BC平面PBC,‎ 所以平面PBC⊥平面PAB.‎ ‎(2)以A为原点,AB所在直线为x轴,AP所在直线为z轴,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.‎ 则B(2,0,0),C(2,1,0),D(1,1,0).‎ 设P(0,0,a)(a>0),‎ 则=(0,1,0),=(2,1,-a),=(1,0,0).‎ 设n1=(x1,y1,z1)为平面BPC的法向量,‎ 则n1·=n1·=0,‎ 即 取x1=a,y1=0,z1=2,得n1=(a,0,2).‎ 同理,n2=(0,a,1)为面DPC的一个法向量,‎ 依题意,|cos|===,‎ 解得a2=2,或a2=-7(舍去),‎ 所以PA=.‎ ‎2.(2014·肇庆模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,D,E分别是BC和CC1的中点,已知AB=AC=AA1=4,∠BAC=90°.‎ ‎(1)求证:B1D⊥平面AED.‎ ‎(2)求二面角B1-AE-D的余弦值.‎ ‎(3)求三棱锥A-B1DE的体积.‎ ‎【解析】依题意,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 因为AB=AC=AA1=4,所以A(0,0,0),B(4,0,0),‎ E(0,4,2),D(2,2,0),B1(4,0,4).‎ ‎(1)=(-2,2,-4),=(2,2,0),=(0,4,2).‎ 因为·=-4+4+0=0,‎ 所以⊥,‎ 即B1D⊥AD.‎ 因为·=0+8-8=0,‎ 所以⊥,‎ 即B1D⊥AE.‎ 又AD,AE平面AED,且AD∩AE=A,故B1D⊥平面AED.‎ ‎(2)由(1)知=(-2,2,-4)为平面AED的一个法向量.‎ 设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 因为=(0,4,2),=(4,0,4),‎ 所以由得 令y=1,得x=2,z=-2,‎ 即n=(2,1,-2),‎ 所以cos===.‎ 所以二面角B1-AE-D的余弦值为.‎ ‎(3)由=(2,2,0),=(-2,2,2),‎ 得·=0,‎ 所以AD⊥DE.‎ 由||=2,||=2,‎ 得S△ADE=×2×2=2.‎ 由(1)得B1D为三棱锥B1-ADE的高,‎ 且||=2,‎ 所以==×2×2=8.‎ ‎【加固训练】(2014·嘉兴模拟)已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC-A1B‎1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,点D在AB上.‎ ‎(1)若D是AB中点,求证:AC1∥平面B1CD.‎ ‎(2)当=时,求二面角B-CD-B1的余弦值.‎ ‎【解析】(1)连接BC1,交B‎1C于E,连接DE.‎ 因为直三棱柱ABC-A1B‎1C1,‎ 所以侧面BB‎1C1C为矩形,‎ 所以E为BC1中点,‎ 又D是AB中点,‎ 所以DE为△ABC1的中位线,‎ 所以DE∥AC1.‎ 因为DE平面B1CD,AC1⊄平面B1CD,‎ 所以AC1∥平面B1CD.‎ ‎(2)因为AC⊥BC,‎ 所以如图,以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz.‎ 则B(3,0,0),A(0,4,0),C(0,0,0),B1(3,0,4).‎ 设D(a,b,0)(a>0,b>0),‎ 因为点D在线段AB上,且=,‎ 即=,‎ 所以a=,b=.‎ 所以=(-3,0,-4),=(-3,4,0),=.‎ 平面BCD的一个法向量为n1=(0,0,1),‎ 设平面B1CD的法向量为n2=(x,y,1),‎ 由·n2=0,·n2=0,‎ 得 所以x=-,y=4,‎ 则n2=.‎ 设二面角B-CD-B1的大小为θ,‎ 则cosθ==.‎ 所以二面角B-CD-B1的余弦值为.‎ ‎3.(2014·珠海模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,E,F分别为PC,BD的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面PAD.‎ ‎(2)求证:面PAB⊥平面PDC.‎ ‎(3)在线段AB上是否存在点G,使得二面角C-PD-G的余弦值为?说明理由.‎ ‎【解析】(1)连接AC,则AC交BD于点F,ABCD为正方形,‎ F为AC中点,E为PC中点.‎ 所以在△CPA中,EF∥PA且PA平面PAD,‎ EF⊄平面PAD,‎ 所以EF∥平面PAD.‎ ‎(2)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ ABCD为正方形,CD⊥AD,CD平面ABCD,‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 所以CD⊥PA,又PA=PD=AD,‎ 所以△PAD是等腰直角三角形,‎ 且∠APD=,即PA⊥PD,‎ CD∩PD=D,且CD,PD平面PDC,‎ 所以PA⊥平面PDC,‎ 又PA平面PAB,‎ 所以平面PAB⊥平面PDC.‎ ‎(3)如图,取AD的中点O,连接OP,OF.‎ 因为PA=PD,所以PO⊥AD.‎ 因为侧面PAD⊥底面ABCD,‎ 平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ 所以PO⊥平面ABCD,‎ 而O,F分别为AD,BD的中点,‎ 所以OF∥AB,又ABCD是正方形,‎ 故OF⊥AD.‎ 因为PA=PD=AD,‎ 所以PA⊥PD,OP=OA=1.‎ 以O为原点,直线OA,OF,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,‎ 则有A(1,0,0),F(0,1,0),D(-1,0,0),P(0,0,1).‎ 若在AB上存在点G,使得二面角C-PD-G的余弦值为,连接PG,DG.‎ 设G(1,a,0)(0≤a≤2).‎ 由(2)知平面PDC的一个法向量为=(1,0,-1).‎ 设平面PGD的法向量为n=(x,y,z).‎ 因为=(1,0,1),=(-2,-a,0),‎ 所以由n·=0,n·=0.‎ 可得 令x=1,‎ 则y=-,z=-1,‎ 故n=,‎ 所以cos====,‎ 解得,a=.‎ 所以,在线段AB上存在点G,使得二面角C-PD-G的余弦值为.‎ ‎【加固训练】(2014·厦门模拟)已知正三棱柱ABC-A1B‎1C1中,AB=2,AA1=,点D为AC的中点,点E在线段AA1上.‎ ‎(1)当AE∶EA1=1∶2时,求证DE⊥BC1.‎ ‎(2)是否存在点E,使二面角D-BE-A等于60°,若存在,求AE的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎【解析】(1)连接DC1,因为ABC-A1B‎1C1为正三棱柱,所以△ABC为正三角形,‎ 又因为D为AC的中点,‎ 所以BD⊥AC,‎ 又平面ABC⊥平面ACC‎1A1,‎ 所以BD⊥平面ACC‎1A1,‎ 所以BD⊥DE.‎ 因为AE∶EA1=1∶2,AB=2,‎ AA1=,‎ 所以AE=,AD=1,‎ 所以在Rt△ADE中,∠ADE=30°,‎ 在Rt△DCC1中,∠C1DC=60°,‎ 所以∠EDC1=90°,即ED⊥DC1,‎ 又DC1∩BD=D,‎ 所以ED⊥平面BDC1,‎ 又BC1平面BDC1,‎ 所以ED⊥BC1.‎ ‎(2)假设存在点E满足条件,‎ 设AE=h.‎ 取A‎1C1的中点D1,连接DD1,‎ 则DD1⊥平面ABC,‎ 所以DD1⊥AD,DD1⊥BD,‎ 分别以DA,DB,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Dxyz,‎ 则A(1,0,0),B(0,,0),E(1,0,h),‎ 所以=(0,,0),=(1,0,h),=(-1,,0),=(0,0,h),‎ 设平面DBE的法向量为n1=(x1,y1,z1),‎ 则 即 令z1=1,得n1=(-h,0,1),‎ 设平面ABE的法向量为n2=(x2,y2,z2),‎ 则 即 所以n2=(,1,0).‎ 所以|cos|==cos60°=.‎ 解得h=<,‎ 故存在点E,当AE=时,二面角D-BE-A等于60°.‎ ‎4.(2014·北京模拟)等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∠ABC=60°,N是BC的中点.将梯形ABCD绕AB旋转90°,得到梯形ABC′D′(如图).‎ ‎(1)求证:AC⊥平面ABC′.‎ ‎(2)求证:C′N∥平面ADD′.‎ ‎(3)求二面角A-C′N-C的余弦值.‎ ‎【解析】(1)因为AD=BC,N是BC的中点,‎ 所以AD=NC,又AD∥BC,‎ 所以四边形ANCD是平行四边形,‎ 所以AN=DC.‎ 又因为等腰梯形ABCD中,∠ABC=60°,‎ 所以AB=AN=BN=AD,‎ 所以四边形ANCD是菱形,‎ 所以∠ACB=∠DCB=30°.‎ 所以∠BAC=90°,‎ 即AC⊥AB,‎ 由已知平面C′BA⊥平面ABC,‎ 因为平面C′BA∩平面ABC=AB,‎ 所以AC⊥平面ABC′.‎ ‎(2)因为AD∥BC,AD′∥BC′,‎ AD∩AD′=A,BC∩BC′=B,‎ 所以平面ADD′∥平面BCC′,‎ 又因为C′N平面BCC′,‎ 所以C′N∥平面ADD′.‎ ‎(3)因为AC⊥平面ABC′,‎ 同理AC′⊥平面ABC,建立如图所示空间直角坐标系,连接BD.‎ 设AB=1,则B(1,0,0),C(0,,0),C′(0,0,),N,‎ 则=(-1,0,),=(0,-,),‎ 设平面C′NC的法向量为n=(x,y,z),‎ 有·n=0,·n=0,‎ 得n=(,1,1),‎ 因为AC′⊥平面ABC,‎ 所以平面C′AN⊥平面ABC,‎ 又BD⊥AN,平面C′AN∩平面ABC=AN,‎ 所以BD⊥平面C′AN,‎ 设BD与AN交于点O,‎ 则O为AN的中点,O,‎ 所以平面C′AN的一个法向量=,‎ 所以cos==,‎ 由图形可知二面角A-C′N-C为钝角,‎ 所以二面角A-C′N-C的余弦值为-.‎ ‎【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下两点:‎ ‎(1)灵活运用平行(垂直)关系定理:本题(1),(2)的证明,若用判定定理则易误入歧途,然而用性质定理则较明朗,因此要讲清视条件定方法的重要性.‎ ‎(2)看准二面角是锐角还是钝角:这一点学生极易出错,一定要从原图中认准.如本题(3)中二面角A-C′N-C是钝角,余弦值为负.‎ ‎5.(2014·江门模拟)如图,在多面体ABCDEF中,ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,且AD=DE=2BF=2.‎ ‎(1)求证:AC⊥EF.‎ ‎(2)求二面角C-EF-D的大小.‎ ‎(3)设G为CD上一动点,试确定G的位置使得BG∥平面CEF,并证明你的结论.‎ ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系:‎ A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),F(2,2,1),E(0,0,2).‎ ‎(1)=(-2,2,0),=(2,2,-1),·=-2×2+2×2+0×(-1)=0,‎ 所以AC⊥EF.‎ ‎(2)因为ED⊥平面ABCD,‎ AC平面ABCD,‎ 所以AC⊥ED,‎ 又AC⊥EF,‎ 所以取为平面EFD的法向量.‎ 且=(-2,2,0),‎ 又=(0,2,-2),‎ 设平面CEF的法向量为n=(x,y,1),‎ 所以有 所以n=.‎ 设二面角C-EF-D的平面角为θ,由图知θ为锐角,‎ 则cosθ====.‎ 所以θ=.‎ ‎(3)设G(0,y0,0),y0∈[0,2],‎ 若BG∥平面CEF,只需⊥n,‎ 又=(-2,y0-2,0),‎ 所以·n=(-2,y0-2,0)·‎ ‎=1+y0-2+0=0,‎ 所以y0=1,‎ 所以G点坐标为(0,1,0),‎ 即当G为CD的中点时,BG∥平面CEF.‎ ‎【加固训练】(2014·佛山模拟)如图,长方体ABCD-A1B‎1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.‎ ‎(1)求证:B1E⊥AD1.‎ ‎(2)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.‎ ‎【解析】(1)以A为原点,,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,‎ 设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),‎ E,B1(a,0,1),‎ 故=(0,1,1),=,‎ ‎=(a,0,1),=,‎ 所以·=1-1=0,‎ 所以B1E⊥AD1.‎ ‎(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0,t),使得DP∥平面B1AE,‎ 此时=(0,-1,t),‎ 设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 所以n⊥,n⊥,‎ 得取x=1,‎ 得平面B1AE的一个法向量为n=,‎ 要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,‎ 即有n·=0,‎ 由此得-at=0,‎ 解得t=,‎ 即P,‎ 又DP⊄平面B1AE.‎ 所以存在点P,满足DP∥平面B1AE,‎ 此时AP=.‎ ‎6.(2014·广州模拟)在五边形ABCDE中(图(1)),BD是AC的垂直平分线,O为垂足,ED∥AC,AE∥BD,AB⊥BC,P为AB的中点.沿对角线AC将四边形ACDE折起,使平面ACDE⊥平面ABC(图(2)).‎ ‎(1)求证:PE∥平面DBC.‎ ‎(2)当AB=AE时,求直线DA与平面DBC所成角的正弦值.‎ ‎【解析】(1)设M为BC的中点,‎ 连接PM,DM.‎ 依题意,EDAC.‎ 因为P,M分别为AB,BC的中点,‎ 所以PMAC,‎ 所以EDPM,‎ 所以四边形PMDE为平行四边形,‎ 所以PE∥DM.‎ 又DM平面DBC,PE平面DBC,‎ 所以PE∥平面DBC.‎ ‎(2)以点O为原点,OA,OB,OD所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 不妨设AE=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),D(0,0,2),E(2,0,2),P(1,1,0),‎ 所以=(2,0,-2),‎ ‎=(-2,-2,0),‎ ‎=(0,2,-2).‎ 设平面DBC的法向量为n=(x,y,z),‎ 则由 得 令x=1,则y=z=-1,‎ 所以n=(1,-1,-1),‎ cos<,n>==,‎ 所以直线DA与平面DBC所成角的正弦值为.‎ ‎【加固训练】(2014·烟台模拟)如图,正方形ABCD的边长为2,将四条边对应的等腰三角形折起构成一个正四棱锥P-ABCD.‎ ‎(1)当Q为PC的中点时,证明PA∥平面BDQ.‎ ‎(2)当等腰三角形的腰长为多少时,异面直线PA与BC所成的角为60°.‎ ‎(3)当侧棱与底面所成的角为60°时,求相邻两个侧面所成的二面角的余弦值.‎ ‎【解析】(1)连接AC交BD于点O,连接OQ,‎ 因为点O,Q分别是AC,PC的中点,‎ 所以OQ∥AP,‎ 又OQ平面BDQ,PA⊄平面BDQ,‎ 所以PA∥平面BDQ.‎ ‎(2)方法一:因为AD∥BC,‎ 所以∠PAD就是异面直线PA与BC所成的角.‎ 因为异面直线PA与BC所成的角为60°,且侧面为等腰三角形,‎ 所以△PAD为等边三角形,‎ 所以腰长为2.‎ 方法二:建立空间直角坐标系Oxyz如图所示,‎ 不妨设高OP=x,‎ 则A(1,-1,0),P(0,0,x),‎ 所以=(-1,1,x),而=(-2,0,0),‎ 所以cos<,>===,‎ 要使异面直线AP与BC所成的角为60°,‎ 只需=cos60°=,‎ 解得x=,‎ 此时侧棱长也就是三角形的腰长为2.‎ ‎(3)侧棱与底面所成的角也就是∠PBO为60°时,=,而OB=,‎ 所以OP=.‎ 所以=(-1,1,),=(0,2,0),‎ 不妨设平面PAB的法向量为n1=(x,y,z),‎ 则有 即 不妨令x=,‎ 可得n1=(,0,1),‎ 同理可得平面PBC的一个法向量n2=(0,,1),‎ 所以cos==.‎ 所以相邻两个侧面所成的二面角的余弦值为-.‎ 关闭Word文档返回原板块