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文档介绍
高考立体几何专题复习
1 立体几何小题总结 一、空间几何体的表面积和体积 1．若球的半径扩大为原来的 2 倍，则它的体积扩大为原来的( ) A．2 倍 B．4 倍 C．8 倍 D．16 倍 解析 设原来球的半径为 r，则现在球的半径为 2r，则 V 原＝4 3πr3，V 现＝4 3π·(2r)3， 故 V 现＝8V 原．故选 C． 2．已知圆锥的表面积为 a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面 直径是( ) A．a 2 B． 3πa 3π C．2 3πa 3π D．2 3a 3π 解析 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意知，2πr＝πl，∴l＝2r，则圆 锥的表面积 S 表＝πr2＋1 2π(2r)2＝a，∴r2＝ a 3π ，∴2r＝2 3πa 3π ． 3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个 圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆 深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸． (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸．) 解析 由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为 V＝1 3πh(r2中＋ r2下＋r 中 r 下)＝π 3 ×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为 V 142π ＝588π 196π ＝ 3(寸)． 4．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成，则该多面体的体积 是________． 解析 易知该几何体是正四棱锥．连接 BD，设正四棱锥 P－ ABCD，由 PD＝PB＝1，BD＝ 2，则 PD⊥PB．设底面中心 O， 则四棱锥高 PO＝ 2 2 ，则其体积是 V＝1 3Sh＝1 3 ×12× 2 2 ＝ 2 6 ． 2 5．如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AB⊥AD，AB＝AD＝ 1，BC＝CD＝5，以直线 AB 为轴，将四边形 ABCD 旋转一周， 则所得旋转体的体积为________． 解析 由题意，该旋转体是一圆台内部挖去一个 圆锥，如图 1 所示： 如图 2，过点 C 作 CE⊥AB，连接 BD．在 等腰直角三角形 ABD 中，BD＝ AD2＋AB2＝ 2．在△BDC 中，CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos ∠DBC，所以 25＝2＋25－10 2cos∠DBC，所以 cos∠DBC＝ 2 10 ，所以 sin∠DBC ＝ 1－cos2∠DBC＝7 2 10 ．因为∠CBE＝180°－∠ABD－∠DBC＝135°－∠DBC， 所以 sin∠CBE＝sin(135°－∠DBC)＝ 2 2 cos∠DBC＋ 2 2 sin∠DBC＝4 5 ．在 Rt△ BCE 中，CE＝BCsin∠CBE＝4，所以 BE＝ BC2－CE2＝3，AE＝4．所以圆台上、 下底面圆的面积分别为 S 上＝π，S 下＝16π，圆台体积 V1＝1 3(S 上＋S 下＋ S 上 S 下)·AE ＝28π，圆锥体积 V2＝1 3 ×16π×3＝16π，所以旋转体体积 V＝V1－V2＝12π． 6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱 所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A．12 2π B．12π C．8 2π D．10π 解析 根据题意，可得截面是边长为 2 2的正方形，结合圆柱的特征，可知该 圆柱的底面为半径是 2的圆，且高为 2 2，所以其表面积为 S＝2π( 2)2＋ 2π× 2×2 2＝12π．故选 B． 7．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，AC1 与平面 BB1C1C 所成的角为 30°，则该长方体的体积为( ) A．8 B．6 2 C．8 2 D．8 3 解析 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，连接 BC1，根据线面角的 定义可知∠AC1B＝30°，因为 AB＝2， AB BC1 ＝tan30°，所以 BC1＝2 3，从而求得 CC1＝ BC21－BC2＝2 2，所以该长方体的体积为 V＝2×2×2 2＝8 2．故选 C． 3 8．设 A，B，C，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形 且其面积为 9 3，则三棱锥 D－ABC 体积的最大值为( ) A．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3 解析 如图所示，点 M 为三角形 ABC 的重心，E 为 AC 的 中点，当 DM⊥平面 ABC 时，三棱锥 D－ABC 体积最大， 此时，OD＝OB＝R＝4． ∵S△ABC＝ 3 4 AB2＝9 3， ∴AB＝6， ∵点 M 为三角形 ABC 的重心， ∴BM＝2 3BE＝2 3， ∴在 Rt△OMB 中，有 OM＝ OB2－BM2＝2． ∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6， ∴(V 三棱锥 D－ABC)max＝1 3 ×9 3×6＝18 3．故选 B． 9．已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为7 8 ，SA 与圆锥底面所成 角为 45°，若△SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为________． 解析 因为母线 SA，SB 所成角的余弦值为7 8 ，所以母线 SA，SB 所成角的正 弦值为 15 8 ，因为△SAB 的面积为 5 15，设母线长为 l，所以1 2 ×l2× 15 8 ＝5 15， 所以 l2＝80，因为 SA 与圆锥底面所成角为 45°，所以底面圆的半径为 lcosπ 4 ＝ 2 2 l， 因此，圆锥的侧面积为πrl＝ 2 2 πl2＝40 2π． 10.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，除面 ABCD 外， 该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则 四棱锥 M－EFGH 的体积为________． 解析 由题意知四棱锥的底面 EFGH 为正方形，其边长为 2 2 ，即底面面积为1 2 ， 四棱锥的高为1 2 ．故四棱锥 M－EFGH 的体积 V＝1 3 ×1 2 ×1 2 ＝ 1 12 ． 11.如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__． 4 解析 多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成，其中正四棱 锥的底面边长为 2，高为 1，∴其体积为1 3 ×( 2)2×1＝2 3 ，∴多面 体的体积为4 3 ． 二、空间点、直线、平面间的位置关系 1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公 共点”的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 解析 “两条直线为异面直线”⇒“两条直线无公共点”．“两直线无公共 点”⇒“两直线异面或平行”．故选 A． 2．下列命题正确的个数为( ) ①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直 线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． A．0 B．1 C．2 D．3 解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以 确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③ 正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确． 3．若直线上有两个点在平面外，则( ) A．直线上至少有一个点在平面内 B．直线上有无穷多个点在平面内 C．直线上所有点都在平面外 D．直线上至多有一个点在平面内 解析 根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外， 则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线 上至多有一个点在平面内． 4．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l＝M， 过 A，B，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( ) A．点 A B．点 B C．点 C 但不过点 M D．点 C 和点 M 解析 ∵A，B∈γ，M∈AB，∴M∈γ．又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β．根据公理 3 可知，M 在γ与β的交线上．同理可知，点 C 也在γ与β的交线上． 5 5．若 a 和 b 是异面直线，b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位置关系是( ) A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以 说明，a，b 异面，直线 c 的位置如图(可有三种情况)所示，故 a， c 可能相交、平行或异面． 6．以下四个命题中： ①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点 A，B，C，D 共面，点 A， B，C，E 共面，则点 A，B，C，D，E 共面；③若直线 a，b 共面，直线 a，c 共 面，则直线 b，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析 ①正确，否则三点共线和第四点必共面；②错误， 如图三棱锥，能符合题意但 A，B，C，D，E 不共面；③错误，从②的几何体知； 空间四边形为反例可知，④错误． 7．已知异面直线 a，b 分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线 c 一定( ) A．与 a，b 都相交 B．只能与 a，b 中的一条相交 C．至少与 a，b 中的一条相交 D．与 a，b 都平行 解析 如果 c 与 a，b 都平行，那么由平行线的传递性知 a，b 平行，与异面 矛盾．故选 C． 8．如图，平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中既与 AB 共面又与 CC1 共面的棱有________条． 解析 依题意，与 AB 和 CC1 都相交的棱有 BC；与 AB 相交 且与 CC1 平行的棱有 AA1，BB1；与 AB 平行且与 CC1 相交的棱有 CD，C1D1．故 符合条件的棱有 5 条． 9．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所 成角的正切值为( ) A． 2 2 B． 3 2 C． 5 2 D． 7 2 解析 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，CD∥AB，所以异面直线 AE 与 CD 所成 的角为∠EAB，设正方体的棱长为 2a，则由 E 为棱 CC1 的中点，可得 CE＝a， 6 所以 BE＝ 5a， 则 tan∠EAB＝BE AB ＝ 5a 2a ＝ 5 2 ．故选 C． 10．若空间中 n 个不同的点两两距离都相等，则正整数 n 的取值( ) A．至多等于 3 B．至多等于 4 C．等于 5 D．大于 5 解析 首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除 C， D．又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除 A，故选 B． 11．已知直线 a，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线 a 和直线 b 相交” 是“平面α和平面β相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 因为直线 a 和直线 b 相交，所以直线 a 与直线 b 有一个公共点，而直线 a， b 分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若 平面α与β相交，则直线 a 与直线 b 可能相交、平行、异面．故选 A． 12．已知直线 l 和平面α，无论直线 l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内 总存在一条直线与直线 l( ) A．相交 B．平行 C．垂直 D．异面 解析 当直线 l 与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线 l 垂直， 当直线 l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线 l 垂直，当直线 l 与平面α 相交时，在平面α内至少有一条直线与直线 l 垂直，所以无论直线 l 与平面α具有 怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线 l 垂直． 13．如图，已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AC∩BD＝F， DC1∩CD1＝E，则直线 EF 是平面 ACD1 与( ) A．平面 BDB1 的交线 B．平面 BDC1 的交线 C．平面 ACB1 的交线 D．平面 ACC1 的交线 解析 连接 BC1．因为 E∈DC1，F∈BD，所以 EF⊂平面 BDC1，故平面 ACD1∩ 平面 BDC1＝EF．故选 B． 14．设直线 m 与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A．在平面α内有且只有一条直线与直线 m 垂直 B．过直线 m 有且只有一个平面与平面α垂直 7 C．与直线 m 垂直的直线不可能与平面α平行 D．与直线 m 平行的平面不可能与平面α垂直 解析 对于 A，在平面α内可能有无数条直线与直线 m 垂直，这些直线是互 相平行的，A 错误；对于 B，因为直线 m 与平面α相交但不垂直，所以过直线 m 必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B 正确；对于 C，类似于 A，在平面α外 可能有无数条直线垂直于直线 m 并且平行于平面α，C 错误；对于 D，与直线 m 平行且与平面α垂直的平面有无数个，D 错误．故选 B． 15．已知长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AB＝ 3，AD＝1， 则异面直线 B1C 和 C1D 所成角的余弦值为( ) A． 6 4 B． 6 3 C． 2 6 D． 3 6 解析 如图，连接 A1D，A1C1，由题易知 B1C∥A1D，∴∠C1DA1 是异面直 线 B1C 与 C1D 所成的角，又 AA1＝AB＝ 3，AD＝1，∴A1D＝2，DC1＝ 6，A1C1 ＝2，由余弦定理，得 cos∠C1DA1＝C1D2＋A1D2－A1C21 2×C1D×A1D ＝ 6 4 ，故选 A． 16．下列正方体或四面体中，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四点不共面 的一个图是( ) 解析 (利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断) 对选项 A，易判断 PR∥SQ，故点 P，Q，R，S 共面；对选项 B，易判断 QR∥SP，故点 P，Q，R，S 共面；对选项 C，易判 断 PQ∥SR，故点 P，Q，R，S 共面；而选项 D 中的 RS，PQ 为异面直线，故选 D． 17．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的 AB，CD， EF，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对． 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化， 则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD， EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故互为异面直线的有 3 对． 8 18．如图所示，在空间四边形 A－BCD 中，点 E，H 分别是 边 AB，AD 的中点，点 F，G 分别是边 BC，CD 上的点，且 CF CB ＝CG CD ＝2 3 ，则下列说法正确的是________．(填写所有正 确说法的序号) ①EF 与 GH 平行；②EF 与 GH 异面；③EF 与 GH 的交点 M 可能在直线 AC 上， 也可能不在直线 AC 上；④EF 与 GH 的交点 M 一定在直线 AC 上． 解析 连接 EH，FG(图略)，依题意，可得 EH∥BD，FG∥BD，故 EH∥FG，所 以 E，F，G，H 共面．因为 EH＝1 2BD，FG＝2 3BD，故 EH≠FG，所以四边形 EFGH 是梯形，EF 与 GH 必相交，设交点为 M．因为点 M 在 EF 上，故点 M 在平面 ACB 上．同理，点 M 在平面 ACD 上，所以点 M 是平面 ACB 与平面 ACD 的交 点，又 AC 是这两个平面的交线，所以点 M 一定在直线 AC 上．答案 ④ 三、直线、平面平行的判定及其性质 1．已知平面α∥平面β，若两条直线 m，n 分别在平面α，β内，则 m，n 的关系不 可能是( ) A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面 解析 由α∥β知，α∩β＝∅．又 m⊂α，n⊂β，故 m∩n＝∅．故选 B． 2．两条直线 a，b 满足 a∥b，b⊂α，则 a 与平面α的位置关系是( ) A．a∥α B．a⊂α C．a 与α相交 D．a 与α不相交 解析 由于 b⊂α且 a∥b，则 a∥α或 a⊂α．故 a 与α不相交．故选 D． 3．如图所示的三棱柱 ABC－A1B1C1 中，过 A1B1 的平面与 平面 ABC 交于 DE，则 DE 与 AB 的位置关系是( ) A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 解析 在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB∥A1B1， ∵AB⊂平面 ABC，A1B1⊄平面 ABC，∴A1B1∥平面 ABC， ∵过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE．∴DE∥A1B1，∴DE∥AB． 4．下列命题中，错误的是( ) A．平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 9 B．平行于同一个平面的两个平面平行 C．若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 解析 由面面平行的判定定理和性质知 A，B，D 正确．对于 C，位于两个 平行平面内的直线也可能异面． 5．若直线 l 不平行于平面α，且 l⊄α，则( ) A．α内的所有直线与 l 异面 B．α内不存在与 l 平行的直线 C．α内存在唯一的直线与 l 平行 D．α内的直线与 l 都相交 解析 因为 l⊄α，若在平面α内存在与直线 l 平行的直线，则 l∥α，这与题意 矛盾．故选 B． 6．下面结论中： ①过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行； ②过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行； ③过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ④过不在直线上的一点，有且只有一个平面与这条直线平行． 正确的序号为( ) A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 解析 对于①，过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行， 正确；对于②，当已知直线与平面相交时，不存在平面与已知平面平行，错误； 对于③，过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确；对于 ④，过不在直线上的一点，有无数个平面与已知直线平行，错误．故选 C． 7．有下列命题：①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则直线 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥b，b∥α，则 a∥α； ④若直线 a∥b，b∥α，则 a 平行于平面α内的无数条直线． 其中真命题的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析 命题①，l 可以在平面α内，是假命题；命题②，直线 a 与平面α可以是相 交关系，是假命题；命题③，a 可以在平面α内，是假命题；命题④是真命题． 8．已知正方体 ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_______(只填序号)． ①AD1∥BC1；②平面 AB1D1∥平面 BDC1；③AD1∥DC1；④AD1∥平面 BDC1． 10 解析 连接 AD1，BC1，AB1，B1D1，C1D，BD，则 AD1∥BC1， 从而①正确；易证 BD∥B1D1，AB1∥DC1，又 AB1∩B1D1＝B1， BD∩DC1＝D，故平面 AB1D1∥平面 BDC1，从而②正确；由图 易知 AD1 与 DC1 异面，故③错误；因 AD1∥BC1，AD1⊄平面 BDC1，BC1⊂平面 BDC1，故 AD1∥平面 BDC1，故④正确． 9．已知平面α，直线 m，n 满足 m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 ∵m⊄α，n⊂α，m∥n，∴m∥α，故充分性成立．而由 m∥α，n⊂α， 得 m∥n 或 m 与 n 异面，故必要性不成立．故选 A． 10．如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在 棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) 解析 A 项，作如图①所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD∥AB．∵ QD∩平面 MNQ＝Q，∴QD 与平面 MNQ 相交，∴直线 AB 与平面 MNQ 相交．B 项，作如图②所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ．又 AB⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ． C 项，作如图③所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ．又 AB ⊄平面 MNQ，MQ⊂平面 MNQ， ∴AB∥平面 MNQ．D 项，作如图④所示的辅助线，则 AB∥CD，CD∥NQ， ∴AB∥NQ． 又 AB⊄平面 MNQ，NQ⊂平面 MNQ，∴AB∥平面 MNQ．故选 A． 11 11．平面α过正方体 ABCD－A1B1C1D1 的顶点 A，α∥平面 CB1D1，α∩平面 ABCD ＝m，α∩平面 ABB1A1＝n，则 m，n 所成角的正弦值为( ) A． 3 2 B． 2 2 C． 3 3 D．1 3 解析 如图，延长 B1A1 至 A2，使 A2A1＝B1A1，延长 D1A1 至 A3，使 A3A1＝D1A1，连接 AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D．易 证 AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C．∴平面 AA2A3∥平面 CB1D1，即平面 AA2A3 为平面α．于是 m∥A2A3，直线 AA2 即为直线 n．显然有 AA2＝AA3＝A2A3，于是 m，n 所成的角为 60°，其正弦值为 3 2 ．故选 A． 12．α，β是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果 m⊥α，n∥α，那么 m⊥n； ③如果α∥β，m⊂α，那么 m∥β； ④如果 m∥n，α∥β，那么 m 与α所成的角和 n 与β所成的角相等． 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) 解析 由 m⊥n，m⊥α，可得 n∥α或 n 在α内，当 n∥β时，α与β可能相交， 也可能平行，故①错．易知②③④都正确． 13．在三棱锥 A－BCD 中，E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的点，当 BD∥平面 EFGH 时，下面结论正确的是( ) A．E，F，G，H 一定是各边的中点 B．G，H 一定是 CD，DA 的中点 C．BE∶EA＝BF∶FC，且 DH∶HA＝DG∶GC D．AE∶EB＝AH∶HD 且 BF∶FC＝DG∶GC 解析 由 BD∥平面 EFGH，得 BD∥EH，BD∥FG，则 AE∶EB＝AH∶HD， 且 BF∶FC＝DG∶GC．故选 D． 14．如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 C1D1， BC，A1D1 的中点，则下列命题正确的是( ) A．MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面 BB1D1D D．MN∥平面 BDP 解析 取 B1C1 中点 Q，连接 MQ，NQ，由三角形中位线定理可得 MQ∥B1D1， 12 ∴MQ∥面 BB1D1D，由四边形 BB1QN 为平行四边形，得 NQ∥BB1，∴NQ∥面 BB1D1D，∴平面 MNQ∥平面 BB1D1D，MN⊂面 MNQ，∴MN∥平面 BB1D1D， 故选 C． 15．若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥中与平面α平行的棱有 ( ) A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．1 条或 2 条 解析 如图所示，平面α截三棱锥所得截面为平行四边形 EFGH，因为 FG∥EH，可证明 FG∥平面 ABD，由线面平行 的性质可知 FG∥AB，所以 AB∥α，同理可得 CD∥α，所以 有两条棱和平面平行，故选 C． 16．下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所 在棱的中点，能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( ) A．①③ B．②④ C．②③ D．①④ 解析 在①中，由正方体性质得到平面 MNP 与 AB 所在平面平行，∴AB∥ 平面 MNP，故①成立；②若下底面中心为 O，则 NO∥AB，NO∩面 MNP＝N， ∴AB 与面 MNP 不平行，故②不成立；③过 P 作与 AB 平行的直线 PO，则 PO 与平面 MNP 相交，∴AB 与面 MNP 不平行，故③不成立；在④中，AB 与 PN 平 行，∴AB∥平面 MNP，故④成立．综上所述，答案为 D． 17．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，B1C 和 C1D 与底面 所成的角分别为 60°和 45°，则异面直线 B1C 和 C1D 所成的 角的余弦值为________． 解析 ∵B1B⊥平面 ABCD，∴∠BCB1 是 B1C 与底面所成角， ∴∠BCB1＝60°．∵C1C⊥底面 ABCD，∴∠CDC1 是 C1D 与底面所成角，∴∠CDC1 ＝45°，连接 A1D，A1C1，则 A1D∥B1C，∴∠A1DC1 或其补角为异面直线 B1C 与 C1D 所成角，不妨设 BC＝1，则 CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝ 3＝CD，∴C1D＝ 6， A1C1＝2．在等腰三角形 A1C1D 中，cos∠A1DC1＝ 1 2C1D A1D ＝ 6 4 ． 13 18.如图直三棱柱 ABC－A′B′C′中，△ABC 为边长为 2 的 等边三角形，AA′＝4，点 E，F，G，H，M 分别是边 AA′， AB，BB′，A′B′，BC 的中点，动点 P 在四边形 EFGH 内 部运动，并且始终有 MP∥平面 ACC′A′，则动点 P 的轨迹 长度为________． 解析 因为 H，F，M 分别为 A′B′，AB，BC 的中点，所以 FM∥AC，HF ∥AA′，所以 FM∥平面 ACC′A′，HF∥平面 ACC′A′，又因为 FM∩HF＝ F，所以平面 HFM∥平面 ACC′A′，要使 MP∥平面 ACC′A′，则 MP⊂平面 HFM，所以点 P 的轨迹为线段 HF，点 P 的轨迹长度为 4． 四、直线、平面垂直的判定及其性质 1．下列条件中，能判定直线 l⊥平面α的是( ) A．l 与平面α内的两条直线垂直 B．l 与平面α内无数条直线垂直 C．l 与平面α内的某一条直线垂直 D．l 与平面α内任意一条直线垂直 解析 由直线与平面垂直的定义，可知 D 正确． 2．设 l，m，n 均为直线，其中 m，n 在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n” 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 当 l⊥α时，l⊥m 且 l⊥n．但当 l⊥m，l⊥n 时，若 m，n 不是相交直 线，则得不到 l⊥α．即 l⊥α是 l⊥m 且 l⊥n 的充分不必要条件．故选 A． 3．给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ④若一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4 解析 由直线与平面垂直的性质，可知①正确；正方体的相邻的两个侧面都垂直 于底面，而不平行，故②错误；由直线与平面垂直的定义知④正确，而③错误． 4．若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b⊥c，则直线 a 与 c( ) 14 A．一定平行 B．一定相交 C．一定是异面直线 D．平行、相交、异面直线都有可能 解析 当 a，b，c 共面时，a∥c；当 a，b，c 不共面时，a 与 c 可能异面也 可能相交． 5．下列命题中错误的是( ) A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 解析 对于 D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即 与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项易知均是正确的． 6．如图，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1 ⊥AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( ) A．直线 AB 上 B．直线 BC 上 C．直线 AC 上 D．△ABC 内部 解析 由 AC⊥AB，AC⊥BC1，∴AC⊥平面 ABC1．又∵AC⊂平面 ABC，∴ 平面 ABC1⊥平面 ABC． ∴C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面交线 AB 上． 7．如图所示，在立体图形 D－ABC 中，若 AB＝CB，AD＝ CD，E 是 AC 的中点，则下列结论正确的是( ) A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BDC C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE 解析 因为 AB＝CB，且 E 是 AC 的中点，所以 BE⊥AC，同理有 DE⊥AC， 而 BE∩DE＝E，所以 AC⊥平面 BDE． 因为 AC 在平面 ABC 内，所以平面 ABC⊥平面 BDE．又由于 AC 在平面 ADC 内， 所以平面 ADC⊥平面 BDE．故选 C． 8．如图所示，已知六棱锥 P－ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABCDEF， PA＝2AB，则下列结论正确的是( ) A．PA⊥AD B．平面 ABCDEF⊥平面 PBC 15 C．直线 BC∥平面 PAE D．直线 PD 与平面 ABCDEF 所成的角为 30° 解析 因为 PA⊥平面 ABCDEF，所以 PA⊥AD，故选项 A 正确；选项 B 中两个平面不垂直，故选项 B 错；选项 C 中，AD 与平面 PAE 相交，BC∥AD，故选项 C 错；选项 D 中，PD 与平面 ABCDEF 所成的角为 45°，故选项 D 错．故选 A． 9．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则( ) A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC 解析 解法一：如图，∵A1E 在平面 ABCD 上的投影为 AE，而 AE 不与 AC，BD 垂直，∴B，D 错误； ∵A1E 在平面 BCC1B1 上的投影为 B1C，且 B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故 C 正确； (证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又 CE∩B1C ＝C，∴BC1⊥平面 CEA1B1．又 A1E⊂平面 CEA1B1， ∴A1E⊥BC1)∵A1E 在平面 DCC1D1 上的投影为 D1E，而 D1E 不与 DC1 垂直，故 A 错误．故选 C． 解法二(空间向量法)：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0， 1，1)，E 0，1 2 ，0 ，∴A1E→ ＝ －1，1 2 ，－1 ，DC1 → ＝(0，1，1)，BD→ ＝(－1，－1， 0)，BC1 → ＝(－1，0，1)，AC→＝(－1，1，0)，∴A1E→ ·DC1 → ≠0，A1E→ ·BD→ ≠0，A1E→ ·BC1 → ＝0，A1E→ ·AC→≠0，∴A1E⊥BC1．故选 C． 10．若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析 由“m⊥α且 l⊥m”推出“l⊂α或 l∥α”，但由“m⊥α且 l∥α”可推出“l ⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选 B． 11．已知互不重合的直线 a，b，互不重合的平面α，β，γ，给出下列四个命题， 错误的命题是( ) A．若 a∥α，a∥β，α∩β＝b，则 a∥b B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则 a⊥b 16 C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则 a⊥α D．若α∥β，a∥α，则 a∥β 解析 构造一个长方体 ABCD－A1B1C1D1．对于 D，平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，A1B1∥平面 ABCD⇒ / A1B1∥平面 A1B1C1D1． 12．已知 a，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法 错误的是( ) A．若 a⊥α，b⊥β，α∥β，则 a∥b B．若 a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β C．若 a⊥α，a⊥b，α∥β，则 b∥β D．若α∩β＝a，a∥b，则 b∥α或 b∥β 解析 对于 A，若 a⊥α，α∥β，则 a⊥β，又 b⊥β，故 a∥b，A 正确；对于 B， 若 a⊥α，a⊥b，则 b⊂α或 b∥α，∴存在直线 m⊂α，使得 m∥b，又 b⊥β，∴m ⊥β，∴α⊥β，故 B 正确；对于 C，若 a⊥α，a⊥b，则 b⊂α或 b∥α，又α∥β， ∴b⊂β或 b∥β，故 C 错误；对于 D，若α∩β＝a，a∥b，则 b∥α或 b∥β，故 D 正确，故选 C． 13．如图甲所示，在正方形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，G 是 EF 的中点，现在 沿 AE，AF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体， 使 B，C，D 三点重合，重合后的点记为 H，如 图乙所示，那么，在四面体 A－EFH 中必有( ) A．AH⊥平面 EFH B．AG⊥平面 EFH C．HF⊥平面 AEF D．HG⊥平面 AEF 解析 ∵AH⊥HE，AH⊥HF，且 EH∩HF＝H，∴AH⊥平面 EFH，A 正确；∵ 过 A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，∴B 不正确；∵AG⊥EF，EF⊥AH，AG∩AH ＝A，∴EF⊥平面 HAG，∵EF⊂平面 AEF，∴平面 HAG⊥AEF，∴过 H 作平面 AEF 的垂线，一定在平面 HAG 内，∴C 不正确；∵HG 不垂直于 AG，∴HG⊥ 平面 AEF 不正确，∴D 不正确，故选 A． 14．在下列四个正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，F，G 均为所在棱的中点， 过 E，F，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线 BD1 与平面 EFG 不垂直 的是( ) 17 解析 如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q 均为所在棱 的中点，易知 E，F，G，M，N，Q 六个点共面，直线 BD1 与 平面 EFMNQG 垂直，并且选项 A，B，C 中的平面与这个平面 重合，不满足题意，只有选项 D 中的直线 BD1 与平面 EFG 不 垂直，满足题意．故选 D． 15．如果 PA，PB，PC 两两垂直，那么点 P 在平面 ABC 内的投影一定是△ABC 的( )A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 解析 如图，O 是点 P 在平面 ABC 内的投影，连接 OA，OB，OC， ∵PA，PB，PC 两两垂直，∴PA⊥平面 PBC， 又 BC⊂平面 PBC，∴PA⊥BC， 而 PO⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴PO⊥BC， 又 PA∩PO＝P，∴BC⊥平面 PAO． 又 AO⊂平面 PAO，∴BC⊥AO． 同理可知 AC⊥BO，AB⊥CO．∴O 为△ABC 的垂心．故选 D． 16．如图，四棱锥 P－ABCD 中，△PAB 与△PBC 是正三角形，平面 PAB⊥平面 PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是( ) A．PB⊥AC B．PD⊥平面 ABCD C．AC⊥DP D．平面 PBD⊥平面 ABCD 解析 取 BP 中点 O，连接 OA，OC，易得 BP⊥OA，BP ⊥OC⇒BP⊥面 OAC⇒BP⊥AC⇒选项 A 正确；又 AC⊥ BD⇒AC⊥面 BDP⇒AC⊥PD，平面 PBD⊥平面 ABCD， 所以选项 C，D 也正确．故选 B． 17．如图，已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD ⊥平面 ABCD，NB⊥平面 ABCD，且 MD＝NB＝1，E 为 MC 的中点，则下列结论不正确的是( ) A．平面 BCE⊥平面 ABN B．MC⊥AN C．平面 CMN⊥平面 AMN D．平面 BDE∥平面 AMN 解析 分别过 A，C 作平面 ABCD 的垂线 AP，CQ，使得 AP＝CQ＝1，连接 PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱 长为 1 的正方体．∴BC⊥平面 ABN，又 BC⊂平面 BCE， 18 ∴平面 BCE⊥平面 ABN，故 A 正确；连接 PB，则 PB∥MC，显然，PB⊥AN， ∴MC⊥AN，故 B 正确；取 MN 的中点 F，连接 AF，CF，AC．∵△AMN 和△ CMN 都是边长为 2的等边三角形，∴AF⊥MN，CF⊥MN， ∴∠AFC 为二面角 A－MN－C 的平面角，∵AF＝CF＝ 6 2 ，AC＝ 2，∵AF2＋ CF2≠AC2，即∠AFC≠π 2 ， ∴平面 CMN 与平面 AMN 不垂直，故 C 错误；∵DE∥AN，MN∥BD，DE∩BD ＝D，DE，BD⊂平面 BDE，MN∩AN＝N，MN，AN⊂平面 AMN，∴平面 BDE ∥平面 AMN，故 D 正确，故选 C． 18．已知四棱锥 P－ABCD 的底面 ABCD 是矩形，PA⊥底面 ABCD，点 E，F 分 别是棱 PC，PD 的中点，则 ①棱 AB 与 PD 所在的直线垂直；②平面 PBC 与平面 ABCD 垂直；③△PCD 的面积大于△PAB 的面积；④直线 AE 与直线 BF 是异面直线． 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号) 解析 由条件可得 AB⊥平面 PAD，∴AB⊥PD，故①正确；∵PA⊥平面 ABCD， ∴平面 PAB，平面 PAD 都与平面 ABCD 垂直． 故平面 PBC 不可能与平面 ABCD 垂直，故②错误； ∵S△PCD＝1 2CD·PD，S△PAB＝1 2AB·PA，由 AB＝CD，PD>PA，可知③正确； 由 E，F 分别是棱 PC，PD 的中点可得 EF∥CD， 又 AB∥CD，∴EF∥AB，故 AE 与 BF 共面，故④错误． 五、空间向量及其应用 1．空间四边形 ABCD 中，已知 M，G 分别为 BC，CD 的中点，则向量AB→＋1 2(BD→ ＋BC→)＝( )A．AG→ B．CG→ C．BC→ D．1 2BC→ 解析 如图所示，1 2(BD→ ＋BC→)＝BG→ ，AB→＋BG→ ＝AG→ ．故选 A． 19 2．分别以棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 AB，AD，AA1 所在的直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则四边形 AA1B1B 的对角线的交点的坐标为 ( ) A．0，1 2 ，1 2 B．1 2 ，0，1 2 C．1 2 ，1 2 ，0 D．1 2 ，1 2 ，1 2 解析 设所求交点为 O，在空间直角坐标系中，点 A1(0，0，1)，B(1，0，0)，则 AB→＝(1，0，0)，AA1 → ＝(0，0，1)，故AO→ ＝1 2 ，0，1 2 ，即对角线的交点坐标为1 2 ，0， 1 2 ，故选 B． 3．若向量 a＝(2，－2，－2)，b＝(2，0，4)，则 a 与 b 的夹角的余弦值为( ) A．4 85 85 B． 69 85 C．－ 15 15 D．0 解析 cos〈a，b〉＝ a·b |a||b| ＝ 2×2－8 2 3×2 5 ＝－ 15 15 ． 4．设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点 O，球面上的两个点 A，B 的坐 标分别为 A(1，2，2)，B(2，－2，1)，则|AB|等于( ) A．18 B．12 C．3 2 D．2 3 解析 |AB|＝ 1－22＋2＋22＋2－12＝3 2． 5．在空间四边形 ABCD 中，AB→·CD→ ＋AC→·DB→ ＋AD→ ·BC→＝( ) A．－1 B．0 C．1 D．不确定 解析 如图，设 a＝DA→ ，b＝DB→ ，c＝DC→ ，则AB→·CD→ ＋ AC→ ·DB→ ＋AD→ ·BC→ ＝(b－a)·(－c)＋(c－a)·b＋(－a)·(c－b)＝－ b·c＋a·c＋c·b－a·b－a·c＋a·b＝0． 6．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，给出以下向量表达式： ①(A1D1 → －A1A→ )－AB→；②(BC→＋BB1 → )－D1C1 → ；③(AD→ －AB→)－2DD1 → ；④(B1D1 → ＋A1A→ ) ＋DD1 → ．其中能够化简为向量BD1 → 的是( ) A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 解析 ①(A1D1 → －A1A→ )－AB→＝AD1 → －AB→＝BD1 → ；②(BC→＋BB1 → )－D1C1 → ＝BC1 → －D1C1 → ＝ BD1 → ；③(AD→ －AB→)－2DD1 → ＝BD→ －2DD1 → ≠BD1 → ；④(B1D1 → ＋A1A→ )＋DD1 → ＝B1D→ ＋DD1 → 20 ＝B1D1 → ≠BD1 → ．综上，①②符合题意．故选 A． 7．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标分别为 A(1，－1，2)，B(5，－ 6，2)，C(1，3，－1)，则边 AC 上的高 BD＝( ) A．5 B． 41 C．4 D．2 5 解析 设AD→ ＝λAC→，AC→＝(0，4，－3)，则AD→ ＝(0，4λ，－3λ)，AB→＝(4，－5， 0)，BD→ ＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由AC→·BD→ ＝0，得λ＝－4 5 ，所以BD→ ＝－4，9 5 ，12 5 ， 所以|BD→ |＝5．故选 A． 8．已知空间向量 a，b，满足|a|＝|b|＝1，且 a，b 的夹角为π 3 ，O 为空间直角坐标 系的原点，点 A，B 满足OA→ ＝2a＋b，OB→ ＝3a－b，则△OAB 的面积为________． 解析 由已知OA→ ＝2a＋b，OB→ ＝3a－b，得|OA→ |＝ 2a＋b2＝ 7，|OB→ |＝ 3a－b2＝ 7．∴cos∠BOA＝ OA→ ·OB→ |OA→ ||OB→ | ＝11 14 ，∴sin∠BOA＝5 3 14 ． ∴S△OAB＝1 2|OA→ ||OB→ |sin∠BOA＝5 3 4 ． 9．已知向量 a＝(1，0，－1)，则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( ) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 解析 经检验，选项 B 中向量(1，－1，0)与向量 a＝(1，0，－1)的夹角的余弦 值为1 2 ，即它们的夹角为 60°．故选 B． 10．已知 e1，e2 是空间单位向量，e1·e2＝1 2 ．若空间向量 b 满足 b·e1＝2，b·e2＝5 2 ， 且对于任意 x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则 x0＝ ________，y0＝________，|b|＝________． 解析 ∵e1，e2 是单位向量，e1·e2＝1 2 ，∴cos〈e1，e2〉＝1 2 ，又∵0°≤〈e1，e2〉 ≤180°，∴〈e1，e2〉＝60°．不妨把 e1，e2 放到空间直角坐标系 Oxyz 的平面 xOy 中，设 e1＝(1，0，0)，则 e2＝ 1 2 ， 3 2 ，0 ，再设OB→ ＝b＝(m，n，r)，由 b·e1＝2， 21 b·e2＝5 2 ，得 m＝2，n＝ 3，则 b＝(2，3，r)．而 xe1＋ye2 是平面 xOy 上任一向量， 由|b－(xe1＋ye2)|≥1 知点 B(2，3，r)到平面 xOy 的距离为 1，故可得 r＝1，则 b ＝(2，3，1)，∴|b|＝2 2．又由|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1 知 x0e1＋y0e2 ＝(2，3，0)，解得 x0＝1，y0＝2． 11．若直线 l 的方向向量为 a＝(1，0，2)，平面α的法向量为 n＝(－2，0，－4)， 则( ) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l 与α斜交 解析 ∵a＝(1，0，2)，n＝(－2，0，－4)，即 n＝－2a，故 a∥n，∴l⊥α． 12．设平面α的一个法向量为 n1＝(1，2，－2)，平面β的一个法向量为 n2＝(－2， －4，k)，若α∥β，则 k＝( ) A．2 B．－4 C．－2 D．4 解析 ∵α∥β，∴n1∥n2，由题意可得－2 1 ＝－4 2 ＝ k －2 ，∴k＝4． 13．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心．若向量 A E→＝AA1 → ＋xAB→＋yAD→ ，则实数 x，y 的值分别为( ) A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝1 2 C．x＝1 2 ，y＝1 2 D．x＝1 2 ，y＝1 答案 C 14．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，点 M 是 BC 的中点， 点 P∈AC1，Q∈MD，则 PQ 长度的最小值为( ) A．1 B．4 3 C．2 3 3 D．2 解析 根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 设 P(x0，2x0，3－3x0)，Q(x1，2－x1，3)，x0，x1∈[0，1]， 所以 PQ＝ x0－x12＋2x0＋x1－22＋3－3x0－32 ＝ 2 x1＋x0－2 2 2＋27 2 x0－2 9 2＋4 3 ， 当且仅当 x0＝2 9 ，x1＝8 9 时，PQ 取得最小值，即 PQmin＝ 4 3 ＝2 3 3 ． 22 六、立体几何中的向量方法 1．若平面α，β的法向量分别为 n1＝(2，－3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( ) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确 解析 因为 cos〈n1·n2〉＝ n1·n2 |n1||n2| ≠0 且 cos〈n1，n2〉≠±1，所以α，β相交但不 垂直． 2．两平行平面α，β分别经过坐标原点 O 和点 A(2，1，1)，且两平面的一个法向 量 n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是( ) A．3 2 B． 2 2 C． 3 D．3 2 解析 两平面的一个单位法向量 n0＝ － 2 2 ，0， 2 2 ，故两平面间的距离 d＝ |OA→ ·n0|＝ 2 2 ． 3．已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面α的方向向量和法向量，若 cos〈m，n〉 ＝－1 2 ，则 l 与α所成的角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析 因为 cos〈m，n〉＝－1 2 ，所以 l 与α所成角θ满足 sinθ＝|cos〈m，n〉|＝1 2 ， 又θ∈ 0，π 2 ，所以θ＝30°． 4．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC－ A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线 BC1 与直线 AB1 夹角 的余弦值为( )A． 5 5 B． 5 3 C．2 5 5 D．3 5 解析 不妨令 CB＝1，则 CA＝CC1＝2．故 O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2， 0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)，所以BC1 → ＝(0，2，－1)，AB1 → ＝(－2，2，1)， 所以 cos〈BC1 → ，AB1 → 〉＝ BC1 → ·AB1 → |BC1 → ||AB1 → | ＝ 4－1 5× 9 ＝ 5 5 ．所以直线 BC1 与直线 AB1 夹角 的余弦值为 5 5 ．故选 A． 23 5．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M，N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点，则 sin〈CM→ ， D1N→ 〉的值为( )A．1 9 B．4 5 9 C．2 5 9 D．2 3 解析 设正方体的棱长为 2，以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系(如图)， 可知CM→ ＝(2，－2，1)，D1N→ ＝(2，2，－1)， cos〈CM→ ，D1N→ 〉＝－1 9 ，sin〈CM→ ，D1N→ 〉＝4 5 9 ． 6．已知向量 A B→＝(2，2，1)，A C→＝(4，5，3)，则平面 ABC 的单位法向量是 ( ) A．1 3 ，－2 3 ，2 3 B．－1 3 ，2 3 ，－2 3 C．±1 2 ，－1，1 D．±1 3 ，－2 3 ，2 3 解析 设平面 ABC 的一个法向量是 n＝(x，y，z)，则 2x＋2y＋z＝0， 4x＋5y＋3z＝0. 取 z＝1， 得 x＝1 2 ，y＝－1．则 n＝1 2 ，－1，1，|n|＝3 2 ，故平面 ABC 的单位法向量是±1 3 ， －2 3 ，2 3 ．故选 D． 7．如图，在四面体 ABCD 中，AB＝1，AD＝2 3，BC＝3， CD＝2．∠ABC＝∠DCB＝π 2 ，则二面角 A－BC－D 的大小 为( )A．π 6 B．π 3 C．5π 3 D．5π 6 解析 二面角 A－BC－D 的大小等于 AB 与 CD 所成角的大小．AD→ ＝AB→＋BC→＋ CD→ ，而 AD→ 2＝(AB→ ＋BC→ ＋CD→ )2＝AB→ 2＋BC→ 2＋CD→ 2＋2|AB→ ||BC→ |cos〈AB→ ，BC→ 〉＋ 2|AB→||CD→ |cos〈AB→，CD→ 〉＋2|BC→||CD→ |cos〈BC→，CD→ 〉＝AB→ 2＋CD→ 2＋BC→ 2＋2|AB→||CD→ |cos 〈AB→，CD→ 〉，即 12＝1＋4＋9＋2×2cos〈AB→，CD→ 〉， ∴cos〈AB→，CD→ 〉＝－1 2 ，∴AB→与CD→ 所成角为2π 3 ，即二面角 A－BC－D 的大 小为π－2π 3 ＝π 3 ．故选 B． 8．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝1，AA1＝ 3，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为( ) 24 A．1 5 B． 5 6 C． 5 5 D． 2 2 解析 以 D 为坐标原点，DA→ ，DC→ ，DD1 → 的方向分别为 x，y，z 轴的正方向建 立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1， 3)，D1(0，0， 3)， 所以AD1 → ＝(－1，0， 3)，DB1 → ＝(1，1， 3)，因为 cos〈AD1 → ，DB1 → 〉＝ AD1 → ·DB1 → |AD1 → ||DB1 → | ＝ －1＋3 2× 5 ＝ 5 5 ，所以异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 5 5 ，故选 C． 9．如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝11，AD＝7， AA1＝12．一质点从顶点 A 射向点 E(4，3，12)，遇长方体的 面反射(反射服从光的反射原理)，将第 i－1 次到第 i 次反射点 之间的线段记为 Li(i＝2，3，4)，L1＝AE，将线段 L1，L2，L3， L4 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( ) 解析 由对称性知质点经点 E 反射到平面 ABCD 的点 E1(8，6， 0)处．在坐标平面 xAy 中，直线 AE1 的方程为 y＝3 4x，与直线 DC 的方程 y＝7 联立得 F 28 3 ，7 ．由两点间的距离公式得 E1F ＝5 3 ，∵tan∠E2E1F＝tan∠EAE1＝12 5 ， ∴E2F＝E1F·tan∠E2E1F＝4．∴E2F1＝12－4＝8． ∴L3 L4 ＝E1E2 E2E3 ＝ E2F E2F1 ＝4 8 ＝1 2 ．故选 C． 10．如右图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在 的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB， BC 的中点，设异面直线 EM 与 AF 所成的角为θ，则 cosθ的最大值为________． 解析 建立空间直角坐标系，转化为向量进行求解． 25 以 AB，AD，AQ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系 Axyz，设正方形边长为 2，M(0，y， 2)(0≤y≤2)，则 A(0，0，0)，E(1，0，0)，F(2，1，0)， ∴EM→ ＝(－1，y，2)，|EM→ |＝ y2＋5，AF→＝(2，1，0)，|AF→| ＝ 5， ∴cosθ＝|EM→ ·AF→| |EM→ ||AF→| ＝ |y－2| 5· y2＋5 ＝ 2－y 5· y2＋5 ． 令 t＝2－y，要使 cosθ最大，显然 0查看更多
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