2017-2018学年江苏省兴化一中高二上学期期初考试数学试卷

2017-2018学年江苏省兴化一中高二上学期期初考试数学试卷

兴化市第一中学2017-2018学年高二期初考试试卷 数 学 试 题 ‎ （全卷满分160分，考试时间120分钟） 2017.9‎ 卷面分值：160分 考试时间：120分钟 命题人：张宇辉 一、填空题（每小题5分，共计70分.请将答案写在答题纸指定区域）‎ ‎1.已知全集U={a，b，c，d}，集合A={a，b}，B={b，c}，则CU（A∪B）等于 ‎ 解：∵A={a，b}，B={b，c}，∴A∪B={a，b，c}，则∁U（A∪B）={d}，‎ ‎2．不等式x2﹣4x+3≤0的解集为 ‎ 解：（1）原不等式等价于（x﹣1）（x﹣3）≤0，‎ 所以不等式的解为1≤x≤3，‎ 即不等式x2﹣4x+3≤0的解集为{x|1≤x≤3}．…（5分）‎ ‎3．已知角A为三角形的一个内角，且，则tanA=　　‎ ‎【考点】两角和与差的正切函数；GG：同角三角函数间的基本关系． ‎ 解：已知角A为三角形的一个内角，且，则sinA=，∴tanA==．‎ ‎【点评】本题主要考查两角和差的正切公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．‎ ‎4．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．求BC的长为 ‎ 解：由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3×=7，‎ 所以BC=．‎ ‎【点评】本题考查余弦定理的应用，正弦定理的应用，二倍角的三角函数，注意角的范围的解题的关键．‎ ‎5．已知数列{an}成等比数列，若a2=4，a5=，则数列{an}的通项公式为 ‎ 解：（1）设等比数列{an}的公比为q，∵a2=4，a5=，‎ ‎∴，解得a1=8，q=．∴an==2n+2．．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6．直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切，则b= ‎ 解：圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的圆心（1，1），半径r==2，‎ ‎∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0相切，‎ ‎∴圆心（1，1）到直线3x+4y=b的距离d==2，解得b=﹣3或b=17．‎ ‎7．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 ‎ 解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），‎ 所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，‎ 当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，‎ ‎8．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则圆的面积为　4π　．‎ 解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，‎ 且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos60°=r，‎ 即=r，解得r=2，∴圆的面积为4π．‎ ‎9.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱 锥A﹣BB1D1D的体积为　6　cm3．‎ 解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，‎ 所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．‎ ‎10.若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 ‎ 解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，‎ 平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，‎ 即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．‎ ‎11.数列，，，…的前n项和为 ‎ 解：由，，，…，而1，4，7，10，…，是公差为3的等差数列an，可得通项公式an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．‎ ‎∴数列，，，…的第n项为：，可化为：，‎ ‎∴数列，，，…的前n项和=++…+==．‎ ‎12．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，若，则•=　　．‎ 解：如图所示，A（1，0），B（0，），C（0，0），∵，‎ ‎∴D．∴=，=（0，），∴•=0+=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了数量积的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎13．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是 ‎ 解：函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，‎ 则有即有，解得a＜1．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性的运用，注意分段函数的分界点，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是________．‎ 解析　直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，‎ ‎∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，代入半圆方程得B.‎ 所以直线AB的方程为＝，即x＋y－－1＝0.‎ 兴化市第一中学2017学期高二期初考试试卷 ‎ 数 学 答 题 纸 命题人：张宇辉 ‎ 成绩 ‎ 一、填空题：（本大题有14小题，每小题5分，共70分。）‎ ‎1、__________________； 2、__________________ ； 3、________________；‎ ‎4、__________________ ； 5、__________________ ； 6、________________；‎ ‎7、__________________ ； 8、__________________ ； 9、________________；‎ ‎10、_________________； 11、_________________ ； 12、_______________；‎ ‎13、_________________ ； 14、_________________ ‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎15如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：（1）直线EF∥面ACD（2）平面EFC⊥面BCD 证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD ‎【点评】本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．‎ ‎16如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？‎ 解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000．①‎ 广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0．‎ 广告的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500‎ ‎=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2．‎ 当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75．‎ 即当a=120，b=75时，S取得最小值24500．‎ 故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．‎ ‎【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练．‎ ‎17在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，‎ ‎（1）若△ABC的面积等于，求a，b（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积 解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，‎ 又△ABC的面积等于，sinC=，∴，‎ 整理得：ab=4，（4分）联立方程组，解得a=2，b=2；（6分）‎ ‎（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，（8分）‎ 联立方程组，解得：，，‎ 又sinC=，则△ABC的面积．（10分）‎ ‎【点评】此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎18已知圆C的一般方程为：x2+y2﹣2x+2y﹣2=0（1）过点P（3，4）作圆C的切线，求切线方程（2）直线l在x，y轴上的截距相等，且l与圆C交于A，B两点，弦长|AB|=，求直线l的方程 解：（1）圆C的一般方程为：x2+y2﹣2x+2y﹣2=0化成标准方程为：‎ ‎（x﹣1）2+（y+1）2=4．当斜率k不存在时，圆的切线的方程为x=3．‎ 当斜率k存在时，设切线的方程为：y﹣4=k（x﹣3），化成一般式为kx﹣y+4﹣3k=0，‎ 圆心（1，﹣1）到直线kx﹣y+4﹣3k=0的距离为d==r=2，解得，．‎ 所以直线l的方程为：21x﹣20y+17=0．‎ 综上得：直线l的方程为：x=3或21x﹣20y+17=0．‎ ‎（2）当直线过原点时，设直线的方程为：y=kx，化成一般式为：kx﹣y=0．‎ ‎∵弦长|AB|=，所以圆心（1，﹣1）到kx﹣y=0的距离d=1，则，‎ 解得k=0，所以直线方程为：y=0（舍去）．‎ 当直线不过原点时，设直线的方程为：，化成一般式为：x+y﹣a=0，‎ 所以，，解得：，所以直线l方程为：．‎ 综上得：直线l的方程为：．‎ ‎19已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根．‎ ‎(1)求{an}的通项公式(2)求数列的前n项和 解　(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2,3，由题意得a2＝2，a4＝3.‎ 设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而a1＝.‎ 所以{an}的通项公式为an＝n＋1.‎ ‎(2)设的前n项和为Sn，由(1)知＝，‎ 则Sn＝＋＋…＋＋，‎ Sn＝＋＋…＋＋. 两式相减得Sn＝＋－＝‎ ＋－.所以Sn＝2－.‎ x y A l O ‎20如图，在平面直角坐标系中，点，直线．‎ 设圆的半径为，圆心在上．‎ ‎（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，‎ ‎ 求切线的方程；‎ ‎（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐 ‎ 标的取值范围．‎ ‎19.解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．‎ 设切线为：，‎ d＝，得：．‎ 故所求切线为：．‎ ‎（2）设点M(x，y)，由，知：，‎ 化简得：，‎ 即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．‎ 又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．‎ 故：1≤|CD|≤3，其中．‎ ‎ 解之得：0≤a≤．‎