2019年高考数学仿真押题试卷（十三）（含解析）

2019年高考数学仿真押题试卷（十三）（含解析）

专题13 高考数学仿真押题试卷（十三）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ 1．已知集合，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：，；‎ ‎．‎ ‎【答案】． 2．若复数满足，则　　‎ A． B． C． D．1‎ ‎【解析】解：由，得，‎ ‎，则．‎ ‎【答案】． 3．经统计，某市高三学生期末数学成绩，且，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是　　‎ A．0.35 B．0.65 C．0.7 D．0.85‎ 18‎ ‎【解析】解：学生成绩服从正态分布，且，‎ ‎，‎ 从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是0.35．‎ ‎【答案】． 4．若，满足约束条件，则的最小值是　　‎ A． B． C．0 D．2‎ ‎【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）‎ 由得 平移直线，‎ 由图象可知当直线经过点时，‎ 直线的截距最小，‎ 此时最小．‎ 将的坐标代入目标函数，‎ 得．即的最小值为；‎ ‎【答案】．‎ ‎ 5．某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球的球面上，则球的体积是　　‎ 18‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．‎ 把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为．‎ 该三棱柱外接球的半径为．‎ 体积．‎ ‎【答案】． 6．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为，‎ 令，求得，，故函数的对称中心为，，，‎ ‎【答案】． 7．函数的图象在点，（1）处的切线在轴上的截距为　　‎ A． B．1 C． D．0‎ 18‎ ‎【解析】解：由，得，‎ 则（1），‎ 又（1），‎ 函数的图象在点，（1）处的切线方程为，‎ 取，可得．‎ 函数的图象在点，（1）处的切线在轴上的截距为．‎ ‎【答案】． 8．刘徽《九章算术商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，‎ 四棱锥的高为长方体的一棱长，‎ 且阳马的外接球也是长方体的外接球；‎ 由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，‎ 长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，‎ 长方体的对角线为，‎ 外接球的半径为，‎ 18‎ 外接球的体积为．‎ ‎【答案】． 9．已知函数，若将函数的图象向右平移个单位后关于轴对称，则下列结论中不正确的是　　‎ A． ‎ B．是图象的一个对称中心 ‎ C． ‎ D．是图象的一条对称轴 ‎【解析】解：由题意可知，‎ 故，‎ ‎．‎ ‎【答案】． 10．已知5辆不同的白颜色和3辆不同的红颜色汽车停成一排，则白颜色汽车至少2辆停在一起且红颜色的汽车互不相邻的停放方法有　　‎ A．1880 B．1440 C．720 D．256‎ ‎【解析】解：由题意可知，白颜色汽车按3，2分为2组，先从5辆白色汽车选3辆全排列共有种，‎ 再将剩余的2辆白色汽车全排列共有种，再将这两个整体全排列，共有种，排完后有3个空，‎ ‎3辆不同的红颜色汽车抽空共有种，‎ 由分步计数原理得共有有种，‎ ‎【答案】． 11．已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2019项满足　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】解：将此数列分组为，，，，，，第组有个数，‎ 18‎ 设数列的第2019项在第组中，由等差数列前项和公式可得：，‎ 解得：，‎ 则前63组共，即在第64组的第3项，‎ 即，‎ ‎【答案】． 12．已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上一点，圆与线段相交于点，且被直线截得的弦长为，若，则　　‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎【解析】解：如图，圆心到直线的距离，①‎ 圆的半径，‎ ‎，，②‎ ‎，③‎ 由①②③可得，或，‎ ‎，或4．‎ 或，．‎ ‎【答案】．‎ 18‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．在平行四边形中，点是的中点，点是的中点，记，，用，表示，则　　．‎ ‎【解析】‎ 解：由图可知：，①‎ ‎，②‎ 联立①②解得：，‎ ‎【答案】． 14．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”‎ 18‎ ‎．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为　　．‎ ‎【解析】解：由题意可知：与相切时，切点在上方时取得最大值，如图：‎ 可得：，解得，‎ 的最大值为：．‎ ‎【答案】． 15．已知，与相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为　　．‎ ‎【解析】解：设两圆的公切线为，即，‎ 已知圆心，，‎ 设，到公切线的距离为，，‎ 可得，，‎ 由于公切线在两圆的同侧，‎ 18‎ ‎，‎ 即，可得或，‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 综上可得．‎ ‎【答案】． 16．在各项均为正数的等比数列中，，当取最小值时，则数列的前项和为　　．‎ ‎【解析】解：各项均为正数的等比数列中，首项为，公比设为，‎ 由，即，且，‎ 整理得，‎ 所以，‎ 令，‎ 可得，当时，，递增；‎ 当时，，递减，可得时，取得极大值，且为最大值，‎ 则，‎ 数列的前项和为，‎ ‎，‎ 两式相减可得 ‎，‎ 18‎ 化简可得．‎ ‎【答案】．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（1）求证为等比数列；‎ ‎（2）数列满足，求的前项和．‎ ‎【解析】（1）证明：由．时，，化为：，‎ 时，，解得．‎ ‎．‎ 为等比数列，首项为2，公比为2．‎ ‎（2）解：由（1）可得：．‎ ‎，‎ 的前项和，‎ ‎，‎ 相减可得：，‎ 整理为：． 18．某水果种植户对某种水果进行网上销售，为了合理定价，现将该水果按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ 单价（元 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ 销量 ‎120‎ ‎118‎ ‎112‎ ‎110‎ ‎108‎ ‎104‎ ‎（1）已知销量与单价之间存在线性相关关系求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若在表格中的6种单价中任选3种单价作进一步分析，求销量恰在区间，内的单价种数的分布列和期望．‎ 18‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．‎ ‎【解析】解：（1），‎ ‎．‎ ‎，．‎ 关于的线性回归方程为；‎ ‎（2）6种单价中销售量在，内的单价种数有3种．‎ 销量恰在区间，内的单价种数的取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 期望为． 19．如图四棱锥中，平面平面，，，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若与平面所成的角的正弦值为，求二面角的余弦值．‎ 18‎ ‎【解析】证明：（1），，，．‎ ‎，‎ ‎，，‎ 四棱锥中，平面平面，，，‎ 平面，平面，‎ 平面平面，‎ 平面平面，平面，‎ ‎，‎ ‎，平面，‎ 平面，平面平面．‎ 解：（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，4，，，0，，，4，，，1，，‎ ‎，4，，，4，，，1，，‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，得，，，‎ 与平面所成的角的正弦值为，‎ ‎，‎ 解得，，，，‎ ‎，0，，，4，，‎ 18‎ 设平面的法向量，，，‎ 则，取，得，，，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则．‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎ 20．已知椭圆上的动点到其左焦点的距离的最小值为1，且离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于，两点，是椭圆的左顶点，若，试证明直线经过不同于点的定点．‎ ‎【解析】（1）解：由已知可得，，解得，，‎ 椭圆的方程；‎ ‎（2）证明：由，得，‎ 设直线方程为，，，，，‎ 联立，得．‎ 18‎ ‎△．‎ ‎，．‎ 由题意，，则，，‎ 由，得 ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，即或．‎ 当时，满足△，此时直线方程为：，过定点；‎ 当时，满足△，此时直线方程为：，过定点，不合题意．‎ 综上，直线经过不同于点的定点． 21．已知函数，．‎ ‎（1）当时，求在点，（1）处的切线方程；‎ ‎（2）当时，是否存在两个极值点，若存在，求实数的最小整数值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】解：（1）函数导数，‎ 当时，，（1），‎ ‎，（1），即在点处的切线斜率，‎ 则对应的切线方程为即．‎ ‎（2）当时，若存在两个极值点，‎ 则有两个不同的解，‎ 18‎ 即，有两个根，‎ 即有两个不同的根，‎ 设，，设切点，‎ 则，‎ 即过原点的切线方程为，‎ 即 当，时，，‎ 设，‎ 则，‎ 即在上为减函数，‎ ‎（1），（2），‎ 当时，，‎ 即当时，和有两个交点，‎ ‎，，‎ 当时，与没有交点，‎ 当时，与有两个交点，‎ 即当时，是存在两个极值点，此时最小的的整数值为4‎ ‎(二)选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 18‎ ‎22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为为参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点、分别为曲线及曲线上任意一点，求的最小值及此时的坐标．‎ ‎【解析】解：（1）因为，，‎ ‎①②得，即的普通方程为，‎ 曲线的极坐标方程为，，‎ 由，，可得的直角坐标方程为：．‎ ‎（2）设直线与平行，且与曲线相切，设方程为，联立与的方程消去得：，③‎ 因为与曲线相切，故△，解得：，或．‎ 的方程为：‎ 当时，设切点为，过作的垂线，垂足为，则此时最小，且此时，值等于与的距离，‎ ‎．‎ 将代入③得，，‎ ‎．即点坐标为，．‎ 综上，点、分别为曲线及曲线上任意一点，则的最小值为，此时点坐标为，．‎ 18‎ ‎[选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）时，，‎ 即，‎ 不等式即为或或，‎ 即有或或，‎ 则为或，‎ 所以不等式的解集为或；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数的值域为，，‎ 若恒成立，则，‎ 即，解得或．‎ 实数的取值范围是，，．‎ 18‎ 18‎