新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析

新疆实验中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析

‎2019-2020学年新疆实验中学高二第二学期期末数学试卷 一、选择题（共12小题）．‎ ‎1.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.‎ 详解：选D.‎ 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.‎ ‎2.已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果．‎ ‎【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，‎ ‎“”⇒“a＞1或a＜0”，‎ ‎∴“a＞1”是“”的充分非必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是 - 19 -‎ 的充要条件．‎ ‎3.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是：（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】可知: 命题：，为假命题，由函数图象可知命题为真命题，所以为真命题．‎ 考点：命题的真假判断．‎ ‎4.长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 建立坐标系如图所示．‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．‎ - 19 -‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ ‎5.利用反证法证明：“若，则”时，假设为 A. ，都不为0 B. 且，都不为0‎ C. 且，不都为0 D. ，不都为0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 原命题的结论是都为零，反证时，假设为不都为零.‎ ‎6.通过大数据分析，每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量，且.则一天中从岳阳来长沙的旅客人数不超过3100的概率为（ ）（参考数据：若，有，，）‎ A. 0.0456 B. 0.6826‎ C. 0.9987 D. 0.9772‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布符合,可求得旅客人数在内的概率.结合正态分布的对称性,即可求得旅客人数不超过3100的概率.‎ ‎【详解】每天从岳阳来长沙的旅客人数为随机变量,且 根据原则可知 则 由正态分布的对称性可知 则 - 19 -‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查了正态分布的应用,原则求概率问题,属于基础题.‎ ‎7.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X2)等于 A. B. ‎ C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果 ‎【详解】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，‎ 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，‎ 即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，‎ 于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．‎ ‎8. 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 A. 甲地：总体均值为3，中位数为4 B. 乙地：总体均值为1，总体方差大于0‎ C. 丙地：中位数为2，众数为3 D. 丁地：总体均值为2，总体方差为3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现 - 19 -‎ ‎，故丙地不符合，故丁地符合.‎ 考点：众数、中位数、平均数、方差 ‎9.已知函数（为自然对数的底数），则的图像大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,可得函数的图像与轴的交点以及在不同区间的符号,从而得出选项．.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以的图像与x轴有两个交点,‎ 且当时,,当时,,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】比较A、B、C、D四个选项的异同,将函数解析式变形整理,分析函数的零点以及符号特征,是解决本题的关键,也是解决函数图像题常用的方法;同时,分析函数的定义域、奇偶性、单调性、周期性,也是常见的方法.‎ - 19 -‎ ‎10.法国有个名人叫做布莱尔·帕斯卡，他认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出一个问题，他们说，他们下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金700法郎，赌了半天，甲赢了4局，乙赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了.假设每局两赌徒输赢的概率各占，每局输赢相互独立，那么这700法郎如何分配比较合理（ ）‎ A. 甲400法郎，乙300法郎 B. 甲500法郎，乙200法郎 C. 甲525法郎，乙175法郎 D. 甲350法郎，乙350法郎 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分析甲可能获胜的概率来分得奖金，假定再赌一局，甲获胜的概率为；若再赌两局，甲才获胜的概率为，从而得甲获胜的概率为，可得出奖金的分配金额.‎ ‎【详解】假定再赌一局，甲获胜的概率为；若再赌两局，甲才获胜的概率为，‎ ‎∴甲获胜的概率为，∴甲应分得：（法郎），乙应分得：（法郎）.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查概率知识的实际应用，关键在于明确概率的原理，以达到理论联系实际，属于中档题.‎ ‎11.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设， ，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为 - 19 -‎ ‎，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．‎ 双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，‎ 设， ，‎ 则，‎ 当点P被看作是椭圆上的点时，有，‎ 当点P被看作是双曲线上的点时，有 ，‎ 两式联立消去得，即，‎ 所以，又，‎ 所以，整理得，‎ 解得或（舍去），所以，‎ 即双曲线的离心率为，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.‎ ‎12.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 19 -‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.‎ 详解：，即，结合函数解析式，可以求得方程的根为或，从而得到和一共有三个根，即共有三个根，当时，，，从而可以确定函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于或或或或，解得或或，所以所求a的范围是，故选B.‎ 点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为_______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，解得或，∴曲线及直线的交点为和因此，曲线及直线所围成的封闭图形的面积是，故答案为.‎ 点睛：‎ - 19 -‎ 本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．‎ ‎14.已知向量，且，则____________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的坐标运算求得求出，根据空间向量模的公式列方程求解即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 可得，‎ 因为，解得，故答案为3.‎ ‎15.函数在其极值点处的切线方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，令，此时 函数在其极值点处的切线方程为 考点：：导数的几何意义.‎ ‎16.已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，上存在一点满足，且到坐标原点的距离等于双曲线的虚轴长，则双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ 设，由双曲线的定义可得，结合，分别在、，中利用余弦定理列等式，消去可得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 设 ,‎ 可得 ,可得（1）, 在中，由余弦定理可得（2），‎ 因为，所以在，中分别利用余弦定理可得，‎ ‎,‎ 两式相加可得 ,分别与（1）、（2）联立得，‎ 消去可得，‎ 所以双曲线的渐近线方程为，即，故答案为 .‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程、定义与渐近线方程，以及余弦定理的应用，属于难题. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知抛物线的准线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ - 19 -‎ ‎（Ⅱ）直线交抛物线于、两点，求弦长.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.‎ ‎【详解】（Ⅰ）依已知得，所以；‎ ‎（Ⅱ）设，，由消去，得，‎ 则，，‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.‎ ‎18.已知空间中三点，，，设，.‎ ‎（1）若，且，求向量；‎ ‎（2）已知向量与互相垂直，求的值；‎ ‎（3）求的面积.‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出的坐标，由，可设，利用，求出参数的值，即可求出结果．‎ ‎（2）首先表示出的坐标，由向量与互相垂直，得到，即可求出的值．‎ - 19 -‎ ‎（3）求出，， ， ，再由同角三角函数的基本关系求出，最后由面积公式求出的面积．‎ ‎【详解】解：（1）空间中三点，，，设，，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，且，设 ‎，‎ ‎，‎ ‎，或．‎ ‎（2），‎ 且向量与互相垂直，‎ ‎，解得．‎ 的值是．‎ ‎（3）因为，， ‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ - 19 -‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查向量的求法，考查实数值、三角形的面积的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎19.从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．‎ ‎（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值．‎ ‎（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率．‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎（Ⅱ）解：设表示第一辆车遇到红灯个数，‎ - 19 -‎ 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 ‎.‎ 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.‎ ‎【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望 ‎【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎20.绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：，，，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（1）请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额（同一组中的数据用该组区间中点作代表）．‎ ‎（2）若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”． 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？‎ 水果达人 非水果达人 合计 男 ‎10‎ - 19 -‎ 女 ‎30‎ 合计 ‎（3）为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．‎ 附：参考公式和数据：，.临界值表：‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎【答案】（1）62元 （2）见解析（3）方案二更划算．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图计算平均数即可；（2）根据题意补充列联表，由表中数据计算观测值，对照临界值得出结论；（3）分别计算选方案一、方案二所支付的款数，比较它们的大小即可．‎ 详解】（1）．‎ 估计今年7月份游客人均购买水果的金额为元． ‎ ‎（2）列联表如下：‎ 水果达人 非水果达人 合计 男 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ - 19 -‎ 女 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎,‎ 因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． ‎ ‎（3）若选方案一：则需付款元；‎ 若选方案二：设付款元，则可能取值为，96，，．‎ ‎， ，‎ ‎， ，‎ 所以． ‎ 因为，‎ 所以选择方案二更划算．‎ ‎【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、平均数、独立性检验及数学期望等基础知识，也考查了运算求解能力、数据处理能力、应用意识，是中档题．条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为0.5的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，点在上.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）设直线与交于，两点，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知建立方程组，可求椭圆的基本量，从而可得椭圆方程；‎ - 19 -‎ ‎（2）设A、B两点坐标，带入椭圆和直线方程，利用向量坐标化解方程即可得出k值范围.‎ ‎【详解】（1）解：由题意得，所以，①，‎ 又点在上，所以②，联立①②，解得，，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）解：设，的坐标为，，依题意得，‎ 联立方程组消去，得.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎∵，∴，‎ 所以，.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理把向量坐标化，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎22.设函数.‎ - 19 -‎ ‎（I）讨论函数单调性；‎ ‎（II）当时，，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）函数在和上单调递减，在上单调递增.‎ ‎（II）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号确定单调区间；（2）对分类讨论，当a≥1时，，满足条件；当时，取，当0＜a＜1时，取，.‎ 试题解析： 解（1）f ’(x)=(1-2x-x2)ex 令f’(x)=0得x=-1- ，x=-1+‎ 当x∈（-∞，-1-）时，f’(x)<0；当x∈（-1-，-1+）时，f’(x)>0；当x∈（-1+，+∞）时，f’(x)<0‎ 所以f(x)在（-∞，-1-），（-1+，+∞）单调递减，在（-1-，-1+）单调递增 ‎(2) f (x)=(1+x)（1-x）ex 当a≥1时，设函数h(x)=（1-x）ex，h’(x)= -xex＜0（x＞0），因此h(x)在[0，+∞)单调递减，而h(0)=1，‎ 故h(x)≤1，所以 f(x)=（x+1）h(x)≤x+1≤ax+1‎ 当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞)单调递增，而g(0)=0，故ex≥x+1‎ 当0＜x＜1，，，取 - 19 -‎ 则 当 ‎ 综上，a的取值范围[1，+∞）‎ 点睛:利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ - 19 -‎