广东省广州市第五中学高二数学2018-2019学年下学期第一次段考考试试卷
广州五中高二数学2018-2019学年下学期第一次段考考试试卷
第Ⅰ卷（选择题）
一、 单选题：每小题5分，共60分
1.设复数z满足 z=4i1+1，则z的共轭复数z在复平面内的对应点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设a,b∈R，则“a>b”是“a2>b2”的（ ）
A．充分必要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
3.函数fx=aex-x+1，已知fx在x=0时取得极值，则a的值为（ ）
A．5 B.3 C.-1 D.1
4.已知空间向量OA=x,y,8，OB=z,3,4，OA//OB，且AB=52，则实数z的值为（ ）
A.5 B.-5 C.5或-5 D.-10或10
5.设曲线y=ax-ln1-2x在点0,0处的切线方程为y=x，则a=（ ）
A.-3 B.3 C.-1 D.1
6.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有c2=a2+b2，设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用S1,S2,S3
表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是（ ）
A. S4=S1+S2+S3 B. S42=S12+S22+S32
C. S43=S13+S23+S33 D. S44=S14+S24+S34
7.若fx=x3-ax2+1在1,3上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. -∞,3 B. 92,+∞ C. 3,92 D. 0,3
8.已知函数fx=x3-3x2+2，对于任意x1,x2∈[-1,1]都有|fx1-f(x2)|≤m，则实数m的最小值为（ ）
A.0 B.2 C.4 D.6
9.已知函数f(x)的定义域为[-1,4]，部分对应值如下表，
f(x)的导函数y=f'x的图像如右图所示，当1
0时，xf'x-fx<0，若a=fee,b=fln2ln2,c=f-3-3，则a,b,c的大小关系正确的是（ ）
A．a＜b＜c B. b＜c＜a C. a＜c＜b D. c＜a＜b
第Ⅱ卷（非选择题）
一、 填空题：每小题5分，共20分
13.已知i为虚数单位，复数z=i3-ai，且z=5，则实数a=__________.
14.已知双曲线x2-ky2=1的一个焦点是5,0，则其渐进线方程为___________.
15.已知函数fx=xlnx-ax有两个极值点，则实数a的取值范围是__________.
16.古代埃及数学中发现有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示外，其他分数都可写成若干个单分数和的形式，例如25=13+115，可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将13这分成5份，每人得115，这样每人分得13+115.形如22n+1（n=2,3,4…）的分解：25=13+115，27=14+128，29=15+145，按此规律，则22n+1=___________(n=2,3,4…）
三．解答题：共70分
17.（10分）在数列an中a1=12，an+1=3anan+3，
（1）求a2,a3,a4的值，由此猜想数列an的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想。
18.（12分）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为32，短轴的一个端点到右焦点的距离为2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l:y=12x+m交于椭圆C于A，B两点，且AB=5，求m的值。
19.（12分）已知函数fx=ax-1-lnxa∈R.
（1）若a=1，求f(x)在区间[1e,e]上的极值；
（2）讨论函数f(x)的单调性。
20
.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，△DAP为直角三角形且DA=DP，△ABP是等边三角形
（1）求证：PA⊥BD
（2）若BA=BD=2，求二面角D-PC-B的正弦值
21.（12分）已知抛物线y2=2pxp>0上点T3,t到焦点F的距离为4
（1）求t，p值；
（2）设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且 OA∙OB=5 (其中O为坐标原点)，求证：直线AB过定点，并求出该定点的坐标。
22.（12分）已知函数fx=ax+1+blnx，曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为x-y+1=0，
（1）求a，b的值；
（2）当x∈1,+∞时，fx>klnxx+1+2恒成立，求实数k的取值范围.
广州五中高二数学2018-2019学年下学期第一次段考考试试卷
参考答案
一． 单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
B
C
C
B
B
C
A
A
C
D
二．填空题：
13.±4 14. y=±2x 15. 00，列表；
x
1e,1
1
1,e
g'x
-
0
+
gx
单调递减
极小
单调递增
所以，gx在区间1e,e上的有极小值f1=0，无极大值。………6分
（2）∵函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f'x=a-1x=ax-1x ………7分
当a≤0时，ax-1<0，从而f'x<0，故函数fx在(0,+∞)上单调递减 ………8分
当a>0时
若01a，则ax-1>0，从而f'x>0
故函数fx在(0,1a)上单调递减，在(1a,+∞)上单调递增 ………12分
20（1）证明：取AP中点M，连DM,MB，
∵DA=DP，△ABP为等边三角形，∴PA⊥DM，PA⊥BM，又DM∩BM=M，
∴PA⊥平面DMB，又∵BD⊂平面DMB，∴PA⊥BD ……………4分
（2）解：∵BA=BD=2，M为AP中点，结合题设条件可得DM=1，BM=3，
∴BD2=MB2+MD2，∴MD⊥MB。如图，以MP,MB,MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(-1，0,0)，B(0，3,0),P(1，0，0),D(0，0，1),
得DP=1,0,-1,DC=AB=1,3,0,BP=1,-3,0,BC=AD=1,0,1。设平面DPC的一个法向量n1=(x1,y1,z1)，则n1⋅DP=0n1⋅DC=0即x1-z1=0x1+3y1=0，∴n1=(-3,1,-3)
设平面PCB的一个法向量n2=(x1,y1,z1)，由n2⋅BC=0n2⋅BP=0即x2+z2=0x2-3y2=0，∴n2=(3,1,-3)
∴cos=n1⋅n2n1|n2|=17
设二面角D-PC-B的平面角为α，则由图可知sinα>0，
∴sinα=1-cos2=437 ………12分
21.(1)由抛物线定义得3+p2=4，即p=2，
所以抛物线方程为y2=4x，代入点T3,t，可解得t=±23 ………4分
（2）设直线AB的方程为x=my+n，Ay124,y1,By224,y2，
联立y2=4xx=my+n，消元得y2-4my-4n=0，
则y1+y2=4m,y1y2=-4n ………….6分
由OA∙OB=5，得y1y2216+y1y2=5 ………………7分
所以y1y2=-20或y1y2=4（舍去），
即-4n=-20，即n=5，所以直线AB的方程为x=my+5 …………11分
所以直线AB过定点（5,0） ……………12分
22（1）函数y=fx的定义域为0,+∞，f'x=-ax+12+bx，
把1,f1代入方程x-y+1=0中，得1-f1+1=0，
即f1=2，∴a=4，
又因为f'1=1，∴-a4+b=1，故b=2， …………4分
（2）由（1）可知fx=4x+1+2lnx，当x>1时
fx>klnxx+1+2恒成立等价于2-2x+2x+2-klnx>0 …………5分
设gx=2-2x+2x+2-klnx
则g'x=-2+2lnx+2x+2-k∙1k=2lnx+2-kx …………6分
由于x>1,lnx>0
当k≤2时，g'x>0，则y=g(x)在(1,+∞)上单调递增，
gx>g1=0恒成立.
当k>2时，设hx=g'x，则h'x=2x-2-kx2>0，
则y=g'x为1,+∞上单调递增函数，
又由g'1=2-k<0。
即gx在1,+∞上存在x0，使得g'x0=0 ………10分
当x∈(1,x0)时，g(x)单调递减
当x∈(x0,+∞)时，g(x)单调递增；
则gx0
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