高二数学同步辅导教材(第4讲)
高二数学同步辅导教材（第 4 讲）
一、本讲进度
6.4 不等式的解法举例
课本第 17 页至第 19 页
二、本讲主要内容
常见类型的不等式的解法
三、学习指导
1、求不等式的解就是研究条件不等式成立的条件，或者说求出使不等式成立的变量的取值范围。在
解不等式过程中，每次对不等式进行变形都要保持前后不等式同解。
不等式的同解原理是解不等式的理论根据，主要内容有：
（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式；
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同
解不等式；
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后，所
得不等式与原不等式是同解不等式。
2、解一元二次不等式（组），一元二次不等式（组）是解其它不等式（组）的基础。熟练掌握逻辑
联结词“或”“且”的含义及集合的“并”“交”运算是解不等式的关键。应充分利用数轴及二次函数图
象等工具，体现数形结合思想。
解高次不等式及有理分式不等式，用序轴标根法。
解无理不等式，通过去根号把它同解变形为有理不等式（组）。
解绝对不等式，通过平方法、零点分段讨论法、绝对值的意义等去掉绝对值符号。对于|x-a|+|x-b|
c 型的不等式，还可借助绝对值表示的几何意义求解。
超越不等式，通过函数单调性的性质求解。
3、含字母问题，应选择正确的分类标准合理地进行讨论。
四、典型例题
【例 1】 解不等式：x2-(a+a2)x+a3<0。
解题思路分析：
因 x2-(a2+a)x+a3=(x-a)(x-a2)，不等式解的一般形式为两根 a 与 a2 之间，下面比较 a 与 a2 大小。
a-a2=a(1-a)
当 a=0 或 a=1 时，a=a2，原不等式为 x2<0，或(x-1)2<0，不等式无解
当 00，a>a2， 不等式解为 a21 或 a<0 时，a(1-a)<0，a0。
解题思路分析：
首先对二次项系数 a 讨论，以确定不等式的类型：当 a=0 时，原不等式为 4x+4>0，x>-1。
当 a≠0 时，不等式为二次不等式，其解的情况应考虑判别式△=16-16a=16(1-a)及二次项系数 a 的
符号这两个因素，也就是讨论的标准为 a 与 1 与 0 的大小比较。
当 a>1 时，不等式可化为 0a
4xa
4x 2
△’= 0
a
)a1(16
a
44)a
4( 2
2 ，不等式的解为 R
当 00，解的形式为两根之外，求得方程 0a
4xa
4x 2
两根为
a
a122x ，
a
a122
a
a122 ， 不 等 式 的 解 为
a
a122x ，或
a
a122x 。
当 a<0 时， 不 等 式 可化 为 0a
4xa
4x 2 ，△’>0， 解的 形式 为 两 根 之 间 ，不 等 式的 解 为
a
a122xa
a122 ，注意此时两根大小已改变。
当 a=1 时，原不等式可化为 x2+4x+4>0，(x+2)2>0
∴ x≠-2
注：含字母的二次不等式的讨论，涉及到的因素较多，如二次项系数是否为 0，判别式△的符号，
两根的大小关系。在判别式△<0 时，应注意区别不等式的解是 R 或φ 。关于不等式解的一般形式是两根
之间还两根之外，应由二次项符号及不等号方向两者同时决定，当二次项为正（负）及不等号方向为大
于（小于）时，不等式解的形式为两根之外；否则为两根之间。通常将二次项系数化为常数。
【例 3】 已知不等式组
0k5x)5k2(x2
02xx
2
2
的整数解的集合是{-2}，求实数 k 的取值范围。
解题思路分析：
不妨记 A={x|2x2+(2k+5)x+5k<0}={x|(x+k)(2x+5)<0}，B={x|x<-1，或 x>2}。
∵ -2∈A
∴ (-2+k)(-4+5)<0
∴ k<2 …………………………………… ①
再考虑单元素集{-2}在整数集中的唯一性
显然，若-k<-
2
5 ，则 A={x|-k-
2
5 ，A={x|-
2
5 1）。
解题思路分析：
（1）这是一个高次不等式，第一步可通过换元的途径转化为二次问题
∵ (x+5)(x-4)=x2+x-20
(x+2)(x-1)=x2+x-2
含未知数的项 x2+x 为公共项
∴ 可令 x2+x=t
则 (t-20)(t-2)≤-80
∴ t2-22t+120≤0
∴ (t-10)(t-12)≤0
∴ (x2+x-10)(x2+x-12)≤0
第二步再分解二次因式：
)4x)(3x)(2
411x)(2
411x( ≤0
利用序轴标根法可得不等式解为：
-4≤x≤
2
411 ，或
2
411 ≤x≤3
注：也可令 x2+x-2=u，或 x2+x-11=v，此时不等式可化为(v-9)(v+9)≤-80，v2≤1，
-1≤v≤1，此时更加简捷一些。
（2）移项、通分得：
0)1x)(1x(x
1m
mx 2
由 m>1 得 01m
m
∴ 0)1x)(1x(x
)1m
mx)(1m
mx(
∵ 01m
111m
m
∴ 11m
m
， 11m
m
∴ 11m
m
由序轴标根法：
原不等式的解为：
1x1m
m ，或 00，
x
1x ≥2，
x
1x +3≥5，0≤t≤
5
2
若
2
53x2
53 ，-
x
1x3 ≤-2， 3x
1x0 ≤1，t≥2
∴ 函数值域为[0，
5
10 ]∪[ 2 ，+∞）
【例 6】 某地区上年度电价为每千瓦时 0.8 元，年用电量为 a 千瓦时，本年度计划将电价降到每千
瓦时 0.55 元至 0.75 元之间，而用户期望电价为每千瓦 0.4 元。经测算，下调电价后新增的用电量与实
际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为 k），该地区电力成本价为每千瓦 0.3 元，设 k=0.2a，当
电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%？
解题思路分析：
解决实际应用题，首先要理清数量之间关系，如本题：收益 = 实际用电量×(实际电价-成本价)。
其次，将关键文字语言转换成适当的数学模型，如“新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反
比”翻译为数学模型就是“设实际电价为 x，则新增用电量=
4.0x
k
”，“电力部门的收益比去年至少增长
20%”翻译为数学模型就是“本年度收益 )3.0x)(a4.0x
k(
，去年收益(0.8-0.3)a， )3.0x)(a4.0x
k(
≥(0.8-0.3)a(1+20%)”。
令 k=0.2a，解不等式：
)3.0x)(a4.0x
a2.0(
≥(0.8-0.3)(1-20%)a
即 x2-1.1x+0.3≥0
得：x≥0.6，或 x≤0.5
又 0.55≤x≤0.75
∴ x=0.6
五、同步练习
（一）选择题
1、设命题甲：0b，关于 x 的不等式 0bx
)ax( 5
的解集是
A、{x|xa} B、{x|xb}
C、{x|b2} D、{x|0≤x≤4}
6、已知关于 x 的不等式 kxxx3 2 的解集为（0，3]，则实数 k 的取值范围是
A、k<0 B、k≥0 C、00 且 a≠1
8、已知{x|ax2+bx+c>0}=(-
3
1 ,2)，则关于 x 的不等式 cx2+bx+a<0 的解的区间是
A、（-2，
3
1 ） B、（-3，
2
1 ）
C、(-∞，-3)∪(
2
1 ,+∞) D、(-∞，-2)∪(
3
1 ，+∞)
9、与不等式
2x
3x2
≥1 同解的不等式是
A、x-1≥0 B、x2-3x+2≥0 C、lg(x2-3x+2)>0 D、
2x
1xxx 23
≥0
10、函数 f(x)=(a-2)x2+2(a-2)x-4 定义域为 R，值域为（-∞，0]，则实数 a 的取值范围是
A、（ -∞，2] B、（ -∞，-2） C、{-2} D、） -2，2）
（二）填空题
11、不等式 xx
1 的解集为____________________。
12、不等式(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)≥120 的解是____________________。
13、当不等式 2≤x2+px+10≤6 中恰有一个解时，实数 p 的值是________。
14、若 3x <2+sinα （α ∈R）恒成立，不等式的解集是__________。
15、不等式 lgx2<(lgx)2 的解集是____________________。
（三）解答题
16、已知集合 A={x| 0x21
2x3x 2
},B={x2-ax+b≤0}，且 A∩B={x|
2
1 2mx+3 的解集为（4，n），求 m、n 的值。
18、已知当 m∈(1，2)时，不等式 mx2+2(m-1)x-2>0 成立，求实数 x 的取值范围。
19、已知函数 f(x)=
x2
xlog1x
1
2
1
（1）求函数 f(x)的定义域；
（2）解不等式 f[x(x- )]>
2
1
20、关于实数 x 的不等式
2
)1a(x
2 ≤
2
)1a( 2 与 x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0（a∈R）的解集为 A 与 B，
求使 A B 的 a 的取值范围。
六、参考答案
（一）选择题
1、A。 化简|x-2|<3 得-10，xa。
5、A。 原不等式同解于
x4x
0x4
0x
， 解之得 20}=（-
3
1 ，2）得:
a
c23
1
c
b
3
1
0a
即
3
2
a
c
3
5
a
b
0a
由 a<0，
a
c <0 得 c>0
设{x|cx2+bx+a<0}={x|x10
∴ t<0，或 t>2
∴ 0100
（三）解答题
16、解： 0x21
2x3x 3
可化为 0
2
1x
)1x)(2x(
∴ -2
2
1
∴ A={x|-2
2
1
显然 B≠R，B≠φ ，设 B={x|x1≤x≤x2}（x10 得：(x2+2x)m-2x-2>0
令 f(m)=(2x2+2x)m-2x-2
则 f(m)>0
0)2(f
0)1(f
∴
01xx
02x
2
2
∴
2
51x,2
51x
2x,2x
或
或
∴ x≤
2
51 ，或 x≥ 2
19、解（1）x 满足
0x2
x
01x
，
2x0
1x
∴ f(x)定义域为（0，2）
（2）易证 f(x)在（0，2）上递减
又 f(1)=
2
1
∴ 原不等式可化为 f[x(x-
2
1 )]>f(1)
∴ 0
3
1 时，3a+1>2，B=[2，3a+1]
则
2a2
1a31a 2
，1≤a≤3，满足条件
（3）当 a=
3
1 时，B={2}，A=[
9
10,3
2 ]，舍
综上所述，1≤a≤3，或 a=-1
七、附录
例 1 的解：
∵ x2-(a+a2)x+a3=(x-a)(x-a2)
∴ 当 a>1，或 a<0 时，不等式的解为 a0，x>-1，为原不等式的解
当 01 时，原不等式可化为 x2+ 0a
4xa
4
∵ 0
a
)a1(16
2
∴ 不等式的解为 R
当 a<0 时，原不等式可化为 x2+ 0a
4xa
4
0
a
)a1(16
2
∴ 原不等式的解为
a
a122xa
a122
当 a=1 时，原不等式可化为(x+2)2>0，x≠-2，原不等式解为 x∈R，且 x≠-2
例 4 的解
（1）[(x+5)(x-4)][(x+2)(x-1)]≤-80
(x2+x-20)(x2+x-2)≤-80
令 t=x2+x
则 (t-20)(t-2)≤-80
∴ t2-22t+120≤0
∴ (t-10)(t-12)≤0
∴ (x2+x-10)(x2+x-12)≤0
∴ )4x)(3x)(2
411x)(2
411x( ≤0
画序轴：
∴ -4≤x≤
2
411 ，或
2
411 ≤x≤3 即为原不等式的解
例 6 的解
设 实 际 电 价 为 x （ 元 ），则 用 电 量 增 至 a4.0x
k
， 去 年 收 益 为 (0.8-0.3)a ， 今 年 收 益 为
)3.0x)(a4.0x
k(
当 k=0.2a 时，由已知得：
)3.0x)(a4.0x
a2.0(
≥≥ a%)201)(3.08.0(
化简得：
x2-1.1x+0.3∴0
∴ x≥0.6，或 x≤0.5
又 0.55≤x≤0.75
∴0.6≤x≤0.75
∴ 当实际用电价最低为每千瓦时 0.6 元时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%。
