新课标高二数学同步测试(3)
新课标高二数学同步测试（3）—（2－1 第二章 2.4－2.5）
说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟．
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的
括号内（每小题 5 分，共 50 分）．
1．x= 231 y 表示的曲线是 （ ）
A．双曲线 B．椭圆
C．双曲线的一部分 D．椭圆的一部分
2．设双曲线 2
2
2
2
b
y
a
x =1（0＜a＜b＝的半焦距为 c，直线 l 过（a，0），（0，b）两点.已知原点到直线 l 的
距离为
4
3 c，则双曲线的离心率为 （ ）
A．2 B． 3 C． 2 D． 33
2
3．中心在原点，焦点坐标为(0, ±5 2 )的椭圆被直线 3x－y－2=0 截得的弦的中点的横坐标为
2
1 ，则椭圆
方程为 （ ）
A．
25
2 2x +
75
2 2y =1 B．
75
2 2x +
25
2 2y =1 C．
25
2x +
75
2y =1 D．
75
2x +
25
2x =1
4．过双曲线 12
2
2 yx 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若｜ＡＢ｜＝４，则这样的直线 l
有 （ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
5．过椭圆 2
2
a
x + 2
2
b
y =1（0
a
b 22 )的线段 AB 的端点在双曲线 b2x2－a2y2=a2b2 的右支上, 则 AB 中点 M 的横坐标的最小
值为
14．如果过两点 )0,(aA 和 ),0( aB 的直线与抛物线 322 xxy 没有交点，那么实数 a 的取值范围是
_____________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共 76 分）．
15．（ 12 分）已知抛物线 y2=8x 上两个动点 A、B 及一个定点 M（x0, y0）， F 是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、
|BF|成等差数列，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于一点 N．
（1）求点 N 的坐标（用 x0 表示）；
（2）过点 N 与 MN 垂直的直线交抛物线于 P、Q 两点，若|MN|=4 2 ，求△MPQ 的面积．
16．（ 12 分）已知双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x 的离心率
3
32e ，过 ),0(),0,( bBaA 的直线到原点的距离是 .2
3
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 )0(5 kkxy 交双曲线于不同的点 C，D 且 C，D 都在以 B 为圆心的圆上，求 k
的值.
17．（ 12 分）已知抛物线 xy 2 的弦 AB 与直线 y=1 有公共点，且弦 AB 的中点 N 到 y 轴的距离为 1，求
弦 AB 长度的最大值，并求此直线 AB 所在的直线的方程．
18．（ 12 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 1,2M ，它们在 x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对
称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．
（1）求这三条曲线的方程；
（2）已知动直线 l 过点 3,0P ，交抛物线于 ,AB两点，是否存在垂直于 轴的直线l 被以 AP 为直径
的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明理由．
19．（ 14 分）设 F1、F2 分别为椭圆 C： 2
2
2
2 8
b
y
a
x =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.
（1）若椭圆 C 上的点 A（1，
2
3 ）到 F1、F2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和焦点坐标；
（2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线
PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、kPN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲
线 12
2
2
2
b
y
a
x 写出具有类似特性的性质，并加以证明．
20．（ 14 分）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于
A、B 两点， OBOA 与 (3, 1)a 共线．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 M 为椭圆上任意一点，且 ( , )OM OA OB R ，证明 22 为定值．
参考答案
一、1．D；解析：x= 231 y 化为 x2＋3y2＝1（x＞0）．
2．A；解析：由已知，直线 l 的方程为 ay+bx－ab=0，原点到直线 l 的距离为
4
3 c，则有 c
ba
ab
4
3
22
，
又 c2=a2+b2，∴ 4ab= 3 c2，两边平方，得 16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以 a4，并整理，得 3e4－16e2+16=0，
∴e2=4 或 e2=
3
4 .而 0＜a＜b，得 e2= 2
2
2
22
1 a
b
a
ba ＞2，∴e2=4.故 e=2．评述：本题考查点到直线的距
离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出 e 后还须根据 b＞a 进行检验.
3．C；4．C；5．C；6．A；7．D；8．B；9．B；10．D
二、
11．
25
16 ；解析：原方程可化为
4
2x ＋y2＝1，a2＝4，b2＝1，∴a＝2，b＝1，c＝ 3 ．当等腰直角三角形，
设交点（x，y）（ y＞0）可得 2－x＝y，代入曲线方程得：y＝
5
4 ∴S＝
2
1 ×2y2＝ ．
12．x2－4y2＝1；解析：设 P（x0，y0）∴M（x，y），∴
2,2
00 yyxx ∴2x＝x0，2y＝y0
∴
4
4 2x －4y2＝1x2－4y2＝1．
13．
222
)2(
ba
ala
；
14． 13, 4
；
三、
15．（1）设 A(x1, y1)、B(x2、y2)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差数列得 x1+x2=2x0．
得线段 AB 垂直平分线方程： ),(2 0
21
2121 xxyy
xxyyy
令 y=0，得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0)．
（2）由 M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4 2 , 得 x0=2．
由抛物线的对称性，可设 M 在第一象限，所以 M(2, 4), N(6,0)．
直线 PQ: y=x－6, 由 ),4,2(),12,18(
.8
,6
2
QP
xy
xy 得 得△MPQ 的面积是 64．
16．解：∵（1） ,3
32a
c 原点到直线 AB： 1 b
y
a
x 的距离
.3,1
.2
3
22
ab
c
ab
ba
abd ．
故所求双曲线方程为 .13
2
2
yx
（2）把 335 22 yxkxy 代入 中消去 y，整理得 07830)31( 22 kxxk .
设 CDyxDyxC ),,(),,( 2211 的中点是 ),( 00 yxE ，则
.11
,31
5531
15
2
0
0
2002
21
0
kx
yk
kkxyk
kxxx
BE
,000 kkyx
即 7,0,0
31
5
31
15 2
22
kkk
k
k
k
k 又
故所求 k=± 7 .
说明：为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程.
17．解：设 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB ，中点 ),1( 0yN
当 AB 直线的倾斜角 90°时，AB 直线方程是 .2||,1 ABx （2 分）
当 AB 直线的倾斜角不为 90°时， 2
22
2
11 , yxyx 相减得 ))(( 212121 yyyyxx
所以
kyky AB 2
112 00 即 （4 分）
设 AB 直线方程为： )1(2
1)1(0 xkkyxkyy 即 ，由于弦 AB 与直线 y=1 有公共点，故当 y=1
时，
2
102
1
112
11
2
k
k
k
k
k 即
012
1)1(2
1
2
2
2
kk
yy
yx
xkky 故
所以 12
11
22121 kyykyy ，
故 )14)(11(]4))[(11(||11|| 2221
2
212212 kkyyyykyykAB
014,011],4
1,0(1,2
1
222 kkkk
2
5)2
1411
()14)(11(|| 222
22
kk
kk
AB
故当
2
5||,3
61411 max22 ABkkk
时即
18．解：（Ⅰ）设抛物线方程为 2 20y px p，将 1,2M 代入方程得 2p ，
2 4yx 抛物线方程为: ；
由题意知椭圆、双曲线的焦点为 211,0 , 1,0 ,FF c=1；
对于椭圆， 222
122 1 1 2 1 1 4 2 2 2a MF MF ；
22
2 2 2
22
12
1 2 3 2 2
2 2 2
1
3 2 2 2 2 2
a
a
b a c
xy
椭圆方程为：
对于双曲线， 122 2 2 2a MF MF
2
2 2 2
22
21
3 2 2
2 2 2
1
3 2 2 2 2 2
a
a
b c a
xy
双曲线方程为：
（2）设 AP 的中点为C ，l 的方程为： xa ，以 为直径的圆交 于 ,DE两点， DE 中点为 H
令 11
11
3, , ,22
xyA x y
C
2 2
11
1
1
11322
3 1 2322
DC AP x y
xCH a x a
222 2 2 2
1 1 1
2
1
2
113 2 344
- 2 3
2 4 6 2
2 2 2
2
DH DC CH x y x a
a x a a
a DH
DE DH
lx
当 时, 为定值;
为定值
此时 的方程为：
19．解：（1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2.
又点 A（1，
2
3 ）在椭圆上，因此 2
2
2
)2
3(
2
1
b =1 得 b2=3，于是 c2=1.
所以椭圆 C 的方程为
34
22 yx =1，焦点 F1（－1，0）， F2（1，0）.
（2）设椭圆 C 上的动点为 K（x1，y1），线段 F1K 的中点 Q（x，y）满足：
2,2
1 11 yyxx ， 即 x1=2x+1，y1=2y.
因此
3
)2(
4
)12( 22 yx =1.即 13
4)2
1(
2
2 yx 为所求的轨迹方程.
（3）类似的性质为：若 M、N 是双曲线： 2
2
2
2
b
y
a
x =1 上关于原点对称的两个点，点 P 是双曲线上任意一
点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、kPN 时，那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 位置无关的定值.
设点 M 的坐标为（m，n），则点 N 的坐标为（－m，－n），其中 2
2
2
2
b
n
a
m =1.
又设点 P 的坐标为（x，y），由
mx
nykmx
nyk PNPM
, ，
得 kPM·kPN= 22
22
mx
ny
mx
ny
mx
ny
，将 2
2
222
2
2
2 , a
bnbxa
by m2－b2 代入得 kPM·kPN= 2
2
a
b .
评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决
问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考
数学命题的方向，应引起注意
20．本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题
及推理的能力.
（1）解：设椭圆方程为 ),0,(),0(12
2
2
2
cFbab
y
a
x
则直线 AB 的方程为 1, 2
2
2
2
b
y
a
xcxy 代入
化简得 02)( 22222222 bacacxaxba .
令 ),,(),,( 2211 yxByxA 则 .,2
22
2222
2122
2
21 ba
bacaxxba
caxx
),,( 2121 yyxxOBOA 由 aOBOAa 与 ),1,3( 共线，得
.0)()(3 2121 xxyy
.3
6
,3
6.3,2
32
.2
3,0)()2(3,,
2222
22
2
2121212211
a
ce
abacbac
ba
ca
cxxxxcxxcxycxy
故离心率
所以即
又
（2）证明：由（I）知 22 3ba ，所以椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x 可化为 222 33 byx .
),,(),(),(),,( 2211 yxyxyxyxOM 由已知得设
.
,
21
21
yyy
xxx
),( yxM 在椭圆上，
.3)(3)( 22
21
2
21 byyxx
即 .3)3(2)3()3( 2
2121
2
2
2
2
22
1
2
1
2 byyxxyxyx ①
由（1）知 .2
1,2
3,2
3 2222
21 cbcacxx
))((33
.8
3
21212121
2
22
2222
21
cxcxxxyyxx
cba
bacaxx
.0
32
9
2
3
3)(34
222
2
2121
ccc
ccxxxx
又 22
2
2
2
22
1
2
1 33,33 byxbyx 又，代入①得 .122
故 22 为定值，定值为 1.
