2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十六)

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2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十六)

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十六)‎ ‎17.(10分)的内角的对边分别为.‎ ‎(1)若,求面积的最大值;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎【答案】(1)面积的最大值为;(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)有余弦定理易得,结合均值不等式得:,又,从而面积的最大值可得;(2)由正弦定理得,从而,又,故可求得的值.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由余弦定理得,即,所以,‎ 因为,所以,即(当且仅当时,等号成立),‎ 所以,故面积的最大值为.‎ ‎(2)由正弦定理得,,所以,‎ 所以,又因为,所以,所以,故为锐角,‎ 所以,‎ 所以 ‎ .‎ ‎18.(12分)已知正项数列的前项和为,满足.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设数列,求数列前项和的值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)由推得,即,其中,故而得到数列的通项公式;(2)利用裂项相消法求和.‎ 试题解析:‎ ‎(1)当时,即,解得,‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎①-②:,所以,‎ 即,‎ 因为是正项数列,所以,即,其中,‎ 所以是以为首项,1为公差的等差数列,所以.‎ ‎(2)因为,所以,‎ 所以 ‎,‎ 所以 ‎.‎ ‎19.(12分)如图,在四棱锥中,四边形为梯形,,‎ ‎,为等边三角形,.‎ ‎(1)求证:平面平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)二面角的余弦值为.‎ ‎【解析】试题分析:(1)欲证面面垂直,即证线面垂直;(2)以为轴,为轴,过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标,平面的法向量,平面的法向量,从而得到二面角的余弦值.‎ 试题解析:‎ ‎(1)如图取的中点,连接,依题意且,‎ 所以四边形是平行四边形,‎ 所以.因为是中点,‎ 所以,故,‎ 所以为等边三角形,所以,‎ 因为,所以,‎ 所以平行四边形为菱形,‎ 所以,所以,即,‎ 又已知,所以平面,‎ 平面,所以平面平面.‎ ‎(2)由(1)知,平面,平面平面,所以如图,以为轴,为轴,过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标.‎ 设,则,,‎ 所以,‎ 所以.‎ 设平面的法向量,则,‎ 令,则,所以.‎ 同理可得平面的法向量,所以,‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎20.(12分)为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质,学校对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为,其中第2小组的频数为12.‎ ‎(1)求该校报考飞行员的总人数;‎ ‎(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选2人,设表示体重超过60公斤的学生人数,求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1);(2)随机变量的分布列为:‎ ‎.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由条件可得:,‎ ‎,;(2)由题意知服从二项分布,‎ ‎,从而得到分布列及期望.‎ 试题解析:‎ ‎(1)设报考飞行员的人数为,前3个小组的频率分别为,则由条件可得:,‎ 解得,‎ 又因为,所以.‎ ‎(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为:‎ ‎,‎ 由题意知服从二项分布,,‎ 所以随机变量的分布列为:‎ ‎.‎ ‎21.(12分)已知点是圆心为的圆上的动点,点,线段的垂直平分线交于点.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)矩形的边所在直线与曲线均相切,设矩形的面积为,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用定义法求椭圆的轨迹方程;(2)设的方程为,的方程为,直线与间的距离为,直线与间的距离为,‎ ‎,从而得到的范围.‎ 试题解析:‎ ‎(1)依题,所以(为定值),‎ ‎,,‎ 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆,其中,‎ 所以点轨迹的方程是.‎ ‎(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得;‎ ‎②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率存在且不为0,设的方程为,的方程为,则的方程为,的方程为,其中,‎ 直线与间的距离为,‎ 同理直线与间的距离为,‎ 所以 ‎,‎ 因为直线与椭圆相切,所以,所以,同理,‎ 所以 ‎,‎ ‎(当且仅当时,不等式取等号),‎ 所以,即,‎ 由①②可知,.‎ ‎22.(12分)已知函数.‎ ‎(1)研究函数的单调性;‎ ‎(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)在上单调递增;(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)二次求导确定函数的单调区间;(2)不等式在上恒成立.在上恒成立,转求的最小值即可.‎ 试题解析:‎ ‎(1)易知函数的定义域为,‎ ‎,设,则,‎ 当时,,当时,,所以,‎ 故,所以在上单调递增.‎ ‎(2)依题在上恒成立,‎ 设,则在上恒成立,‎ ‎,,‎ 欲使在上恒成立,则,得,‎ 反之,当时,,‎ 设,则,‎ 设,则,‎ 所以在上单调递增,所以,‎ 所以,所以在上单调递增,所以,‎ 故,所以在上单调递增,‎ 又,所以在上恒成立,‎ 综上所述,在上恒成立,‎ 所以的取值范围是.‎
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