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2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十六)
2019年高考理科数学考前30天--计算题专训(十六) 17.(10分)的内角的对边分别为. (1)若,求面积的最大值; (2)若,求的值. 【答案】(1)面积的最大值为;(2). 【解析】试题分析:(1)有余弦定理易得,结合均值不等式得:,又,从而面积的最大值可得;(2)由正弦定理得,从而,又,故可求得的值. 试题解析: (1)由余弦定理得,即,所以, 因为,所以,即(当且仅当时,等号成立), 所以,故面积的最大值为. (2)由正弦定理得,,所以, 所以,又因为,所以,所以,故为锐角, 所以, 所以 . 18.(12分)已知正项数列的前项和为,满足. (1)求数列的通项公式; (2)设数列,求数列前项和的值. 【答案】(1);(2). 【解析】试题分析:(1)由推得,即,其中,故而得到数列的通项公式;(2)利用裂项相消法求和. 试题解析: (1)当时,即,解得, ① ② ①-②:,所以, 即, 因为是正项数列,所以,即,其中, 所以是以为首项,1为公差的等差数列,所以. (2)因为,所以, 所以 , 所以 . 19.(12分)如图,在四棱锥中,四边形为梯形,, ,为等边三角形,. (1)求证:平面平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析;(2)二面角的余弦值为. 【解析】试题分析:(1)欲证面面垂直,即证线面垂直;(2)以为轴,为轴,过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标,平面的法向量,平面的法向量,从而得到二面角的余弦值. 试题解析: (1)如图取的中点,连接,依题意且, 所以四边形是平行四边形, 所以.因为是中点, 所以,故, 所以为等边三角形,所以, 因为,所以, 所以平行四边形为菱形, 所以,所以,即, 又已知,所以平面, 平面,所以平面平面. (2)由(1)知,平面,平面平面,所以如图,以为轴,为轴,过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标. 设,则,, 所以, 所以. 设平面的法向量,则, 令,则,所以. 同理可得平面的法向量,所以, 所以二面角的余弦值为. 20.(12分)为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质,学校对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为,其中第2小组的频数为12. (1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选2人,设表示体重超过60公斤的学生人数,求的分布列和数学期望. 【答案】(1);(2)随机变量的分布列为: . 【解析】试题分析:(1)由条件可得:, ,;(2)由题意知服从二项分布, ,从而得到分布列及期望. 试题解析: (1)设报考飞行员的人数为,前3个小组的频率分别为,则由条件可得:, 解得, 又因为,所以. (2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60公斤的概率为: , 由题意知服从二项分布,, 所以随机变量的分布列为: . 21.(12分)已知点是圆心为的圆上的动点,点,线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程; (2)矩形的边所在直线与曲线均相切,设矩形的面积为,求的取值范围. 【答案】(1);(2). 【解析】试题分析:(1)利用定义法求椭圆的轨迹方程;(2)设的方程为,的方程为,直线与间的距离为,直线与间的距离为, ,从而得到的范围. 试题解析: (1)依题,所以(为定值), ,, 所以点的轨迹是以,为焦点的椭圆,其中, 所以点轨迹的方程是. (2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得; ②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率存在且不为0,设的方程为,的方程为,则的方程为,的方程为,其中, 直线与间的距离为, 同理直线与间的距离为, 所以 , 因为直线与椭圆相切,所以,所以,同理, 所以 , (当且仅当时,不等式取等号), 所以,即, 由①②可知,. 22.(12分)已知函数. (1)研究函数的单调性; (2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增;(2). 【解析】试题分析:(1)二次求导确定函数的单调区间;(2)不等式在上恒成立.在上恒成立,转求的最小值即可. 试题解析: (1)易知函数的定义域为, ,设,则, 当时,,当时,,所以, 故,所以在上单调递增. (2)依题在上恒成立, 设,则在上恒成立, ,, 欲使在上恒成立,则,得, 反之,当时,, 设,则, 设,则, 所以在上单调递增,所以, 所以,所以在上单调递增,所以, 故,所以在上单调递增, 又,所以在上恒成立, 综上所述,在上恒成立, 所以的取值范围是.查看更多