2018-2019学年浙江省金华十校高一第一学期期末调研考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省金华十校高一第一学期期末调研考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省金华十校高一第一学期期末调研考试数学试题 一、单选题 ‎1．设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出，利用并集概念即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题可得：=，‎ 所以 ‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的补集、并集运算，属于基础题。‎ ‎2．在正方形中，点为边的中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量加法、数乘运算直接求解。‎ ‎【详解】‎ 因为点为边的中点，‎ 所以 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的加法运算及数乘运算，属于基础题。‎ ‎3．最小正周期为，且图象关于直线对称的一个函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数周期为可排除A，再利用函数图象关于直线对称即可判断。‎ ‎【详解】‎ 函数的周期为：，故排除A.‎ 将代入得：=1，此时取得最大值，‎ 所以直线是函数一条对称轴。‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的周期计算及对称轴知识，属于基础题。‎ ‎4．以下给出的对应关系，能构成从集合到集合的函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对赋值逐一排除即可。‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，当时，，但,所以A选项不满足题意。‎ 对于C选项，当时，，但无意义,所以C选项不满足题意。‎ 对于D选项，当时，，但,所以D选项不满足题意。‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的概念知识，属于基础题。‎ ‎5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．先向左平移平移，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B．先向左平移个单位，再横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变.‎ C．先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移个单位.‎ D．先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，再向左平移个单位 ‎【答案】D ‎【解析】利用平移伸缩变换规律直接判断即可。‎ ‎【详解】‎ 将函数的图象先横坐标缩短为原来的，纵坐标保持不变，‎ 得到：函数的图象，再将它向左平移个单位得到：‎ 函数的图象.即：的图象。‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的平移、伸缩规律，属于基础题。‎ ‎6．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数是偶函数可排除B.再对赋值即可一一排除。‎ ‎【详解】‎ 因为，所以=，‎ 所以函数是偶函数，可排除B.‎ 当时，，排除A.‎ 当时，，排除D.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数图象的判断，可以从奇偶性，单调性，函数值的正负，定点方面入手，逐一排除，考查了分析能力，属于基础题。‎ ‎7．已知在梯形中，，且，，点为中点，则（ ）‎ A．是定值 B．是定值 C．是定值 D．是定值 ‎【答案】A ‎【解析】过点M作AB的垂线段，垂足为E，将表示成，利用条件即可计算出，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 如图，过点M作AB的垂线段，垂足为E，‎ 因为点为中点，所以点M是AB的中点，所以 所以,‎ 所以=，‎ 因为，，所以，‎ 所以=，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量垂直的数量积及向量的加法运算、数乘运算，属于基础题。‎ ‎8．已知函数，角A，B，C为锐角的三个内角，则　　‎ A．当，时，‎ B．当，时，‎ C．当，时，‎ D．当，时，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由角A，B，C为锐角的三个内角得：，再由当，时，在区间上递减得：，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 角A，B，C为锐角的三个内角，‎ 所以,即：，‎ 所以，即：,‎ 当，时，，此函数在区间上递减，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了锐角三角形的特点及函数的单调性应用，考查转化能力，属于基础题。‎ ‎9．在平面内，已知向量，，，若非负实数满足，且，则（ ）‎ A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 ‎【答案】A ‎【解析】求出的坐标，表示，即：=，构造柯西不等式模型，利用柯西不等式即可求得其最小值，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ 所以=，‎ 又非负实数满足，所以，‎ 所以=‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立。‎ 即：当且仅当时，等号成立。‎ 所以的最小值为 ，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了柯西不等式的应用，还考查了向量的模及坐标运算，考查构造能力，属于中档题。‎ ‎10．若对任意实数，均有恒成立，则下列结论中正确的是（ ）‎ A．当时，的最大值为 B．当时，的最大值为 C．当时，的最大值为 D．当时，的最大值为 ‎【答案】B ‎【解析】对选项逐一检验即可判断。‎ ‎【详解】‎ 当时，不等式可化为：‎ ‎，令，‎ 则，所以，‎ 所以可化为：，即：恒成立，‎ 当且仅当时等号成立，此时或 不满足对任意实数，均有恒成立，‎ 当时，不等式可化为：‎ ‎，令，‎ 则，所以，‎ 所以可化为：，‎ 即：，当时，不等式恒成立。‎ 即：，解得：，‎ 即：，‎ 因为对任意实数，均有成立，‎ 所以的最大值为.所以B选项正确，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了转化思想及三角恒等变换，还考查了三角函数的性质，考查计算能力，属于中档题。‎ 二、填空题 ‎11．函数的定义域为_________；函数的值域为_______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(1)由函数表达式列不等式组求解。‎ ‎(2)令，则，将问题转化成的值域求解即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)要使得有意义，则，解得：且，‎ 所以函数的定义域为.‎ ‎(2)令，则，函数可化为，‎ 由指数函数的单调性可得：，‎ 所以函数的值域为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域及函数的值域，考查了换元思想及根式、指数函数的性质，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎12．已知两个向量，，‎ 若，则______；‎ 若，的夹角为，则______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】(1)利用列方程即可求解。‎ ‎(2)利用，的夹角为列方程求解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)向量，，‎ 因为，所以，解得：.‎ ‎(2)因为，的夹角为，‎ 所以，‎ 解得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量垂直的坐标关系、向量夹角的坐标表示，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎13．关于的方程在的解是_______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】整理得：，结合即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由得：，‎ 又，所以，‎ 所以或，‎ 解得：或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数的性质，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎14．已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将化简成，令，则 ‎，问题转化成：存在，使得成立，由二次函数的性质即可求解。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以可化为：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 将代入上式整理得：，‎ 令，，则，不等式可化为：‎ ‎，，‎ 所以存在实数，使得成立可转化成：‎ 存在，使得成立，‎ 由函数，可得：，‎ 所以，解得：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了换元思想及转化思想，还考查了二次函数的性质，考查转化能力及计算能力，属于中档题。‎ 三、解答题 ‎15．设集合，.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）直接利用对数函数的性质求解。‎ ‎（2）对分类求出集合A，利用列不等式组即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，所以 ‎（2）因为，所以，‎ 整理得：，‎ ‎①当时，‎ 则，可得；‎ ‎②当时，‎ 则，可得；‎ 综上可得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数函数的性质及集合间的包含关系，考查计算能力及转化能力，属于基础题。‎ ‎16．如图，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边与单位圆分别交于点，轴正半轴与单位圆交于点，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】（1）利用求出点B的纵坐标，即可求出，，问题得解。‎ ‎（2）利用向量数量积的坐标表示整理得：，结合即可解决问题。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，故.‎ ‎（2） ‎ 而，∴，‎ 故当时，取最大值为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形面积公式及数量积的坐标表示，还考查了三角函数的性质，属于基础题。‎ ‎17．设平面向量，，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）整理得：，利用即可求解。‎ ‎（2）利用及 即可判断，从而求得，将转化成，利用二倍角公式即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 所以.‎ ‎（2）由，得：，‎ 又 ，由余弦函数的性质可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量模的坐标运算及两角差的余弦公式，还考查了三角恒等式及二倍角公式，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎18．已知，函数满足为奇函数；‎ ‎（1）求实数的关系式；‎ ‎（2）当时，若不等式成立，求实数可取的最小整数值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】（1）利用为奇函数列方程整理即可。‎ ‎（2）利用（1）中结论求得，整理得：，判断该函数的单调性，并解出满足的的值：，将转化成，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴.‎ 可得 .‎ 即.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵函数在上单调递增，函数在上单调递增 ‎∴函数在上单调递增 令，则，可得，即有，‎ ‎∴可转化成，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 故实数可取的最小整数为1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的性质及函数单调性的应用，还考查了方程思想，考查计算能力及转化能力，属于中档题。‎ ‎19．已知．‎ ‎（1）若，求在上的最大值；‎ ‎（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】（1）对的范围分类即可用分段函数表示，分类求函数的最大值即可解决问题。‎ ‎（2）对的范围分类即可判断时不等式恒成立，将问题转化成：当时，不等式恒成立。由解得：或，令，对的范围分类，分别作出的图像，通过图像列不等式即可得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎∴当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴在上的最大值为.‎ ‎（2）在上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎（i）当时，显然成立；‎ ‎（ii）当时，令，‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ ‎∴要使恒成立，必须恒成立，‎ 由，解得或 注意到 ‎ ‎①若，，函数、的图象如图所示，‎ 时，函数、均单调递增，且，‎ ‎∴时，在上恒成立 ‎②若，，函数、的图象如图所示，‎ 时，函数单调递增，函数在，上单调递增，在上单调递减，则有，，且在恒成立，容易验证时，上述均成立.‎ ‎∴时，在上恒成立 综上，若在上恒成立，实数的取值范围是或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分类思想及分段函数的性质，考查了分段函数作图，考查了转化思想及函数图像与不等式的关系，考查计算能力，属于难题。‎