2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学
2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
理科数学
1.(2016山东,理1)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i
答案B 设z=a+bi(a,b∈R),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.
注意共轭复数的概念.
2.(2016山东,理2)设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2-1<0},则A∪B=( )
A.(-1,1) B.(0,1)
C.(-1,+∞) D.(0,+∞)
答案C A={y|y>0},B={x|-1
-1},选C.
本题涉及求函数值域、解不等式以及集合的运算.
3.(2016山东,理3)
某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )
A.56 B.60 C.120 D.140
答案D 自习时间不少于22.5小时为后三组,其频率和 为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故人数为200×0.7=140,选D.
4.(2016山东,理4)若变量x,y满足x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,则x2+y2的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
答案C 如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方 ,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.
5.(2016山东,理5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示.则该几何体的体积为( )
A.13+23π B.13+23π
C.13+26π D.1+26π
答案C 由三视图可知,上面是半径为22的半球 ,体积为V1=12×43π×223=2π6,下面是底面积为1,高为1的四棱锥 ,体积V2=13×1×1=13,故选C.
6.(2016山东,理6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案A 若直线a与直线b相交,则α,β一定相交,若α,β相交,则a,b可能相交,也可能平行或异面 ,故选A.
7.(2016山东,理7)函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是( )
A.π2 B.π C.3π2 D.2π
答案B f(x)=2sinx+π6×2cosx+π6=2sin2x+π3,故最小正周期T=2π2=π,故选B.
8.(2016山东,理8)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
A.4 B.-4 C.94 D.-94
答案B 由4|m|=3|n|,可设|m|=3k,|n|=4k(k>0),
又n⊥(tm+n),所以n·(tm+n)=n·tm+n·n=t|m|·|n|cos+|n|2=t×3k×4k×13+(4k)2=4tk2+16k2=0.所以t=-4,故选B.
9.(2016山东,理9)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,fx+12=fx-12,则f(6)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案D 当x>12时,fx+12=fx-12,所以当x>12时,函数f(x)是周期为1的周期函数 ,所以f(6)=f(1),又因为当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x),所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)3-1]=2,故选D.
本题考查了函数的周期性、奇偶性,利用函数性质灵活变换是解 题的关键.
10.(2016山东,理10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
答案A 当y=sin x时,y'=cos x,因为cos 0·cos π=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=ex,y=x3的导数值均非负 ,不符合题意,故选A.
本题实质上是检验函数图象上存在两点的导数值乘积等于-1.
11.(2016山东,理11)执行下边的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为 .
答案3
解析第一次循环:a=1,b=8;第二次循环:a=3,b=6;第三次循环:a=6,b=3;满足条件,结束循环,此时,i=3.
循环结构抓住结束点是关键.
12.(2016山东,理12)若ax2+1x5的展开式中x5的系数是-80,则实数a= .
答案-2
解析因为Tr+1=C5r(ax2)5-r1xr=C5ra5-rx10-5r2,所以由10-5r2=5,解得r=2.因此C52a5-2=-80,解得a=-2.
13.已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
答案2
解析由双曲线和矩形的对称性可知AB⊥x轴,不妨设A点的横坐标为c,则由c2a2-y2b2=1,解得y=±b2a.设Ac,b2a,Bc,-b2a,则|AB|=2b2a,|BC|=2c,由2|AB|=3|BC|,c2=a2+b2得离心率e=2或e=-12(舍去),所以离心率为2.
把涉及的两个线段的长度表示出来是做题的关键.
14.(2016山东,理14)在[-1,1]上随机地取一个数k,则事件“直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交”发生的概率为 .
答案34
解析直线y=kx与圆(x-5)2+y2=9相交,需要满足圆心到直线的距离小于半径, 即d=|5k|1+k2<3,解得-34m,其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
答案(3,+∞)
解析
x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2.由题意画出函数图象为右图时才符合,要满足存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,应4m-m23,即m的取值范围为(3,+∞).
能够准确画出函数的图象是解决本题的关键.
16.(2016山东,理16)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(tan A+tan B)=tanAcosB+tanBcosA.
(1)证明:a+b=2c;
(2)求cos C的最小值.
解(1)由题意知2sinAcosA+sinBcosB=sinAcosAcosB+sinBcosAcosB,
化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,
即2sin(A+B)=sin A+sin B,
因为A+B+C=π,
所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.
从而sin A+sin B=2sin C.
由正弦定理 得a+b=2c.
(2)由(1)知c=a+b2,
所以cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab
=38ab+ba-14≥12,
当且仅当a=b时,等号成立.
故cos C的最小值为12.
17.(2016山东,理17)
在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.
(1)已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC;
(2)已知EF=FB=12AC=23,AB=BC,求二面角F-BC-A的余弦值.
(1)证明
设FC中点为I,连接GI,HI.
在△CEF中,因为点G是CE的中点,
所以GI∥EF.
又EF∥OB,
所以GI∥OB.
在△CFB中,因为H是FB的中点,
所以HI∥BC.
又HI∩GI=I ,所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH⊂平面GHI,
所以GH∥平面ABC.
(2)解法一连接OO',则OO'⊥平面ABC.
又AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC.以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.
由题意得B(0,23,0),C(-23,0,0).
过点F作FM垂直OB于点M,
所以FM=FB2-BM2=3,
可得F(0,3,3).
故BC=(-23,-23,0),BF=(0,-3,3).
设m=(x,y,z)是平面BCF的一个法向量.
由m·BC=0,m·BF=0,
可得-23x-23y=0,-3y+3z=0.
可得平面BCF的一个法向量 m=-1,1,33.
因为平面ABC的一个法向量n=(0,0,1),
所以cos=m·n|m|·|n|=77.
所以二面角F-BC-A的余弦值为77.
解法二连接OO'.过点F作FM垂直OB于点M,
则有FM∥OO'.
又OO'⊥平面ABC,
所以FM⊥平面ABC.
可得FM=FB2-BM2=3.
过点M作MN垂直BC于点N, 连接FN.
可得FN⊥BC,
从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角.
又AB=BC,AC是圆O的直径,
所以MN=BMsin 45°=62.
从而FN=422,可得cos∠FNM=77.
所以二面角F-BC-A的余弦值为77.
18.(2016山东,理18)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n,{bn}是等差数列,且an=bn+bn+1.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)令cn=(an+1)n+1(bn+2)n,求数列{cn}的前n项和Tn.
解(1)由题意知当n≥2时,an=Sn-Sn-1=6n+5,
当n=1时,a1=S1 =11,
所以an=6n+5.
设数列{bn}的公差为d.
由a1=b1+b2,a2=b2+b3,即11=2b1+d,17=2b1+3d,
可解得b1=4,d=3.所以bn=3n+1.
(2)由(1)知cn=(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)·2n+1.
又Tn=c1+c2+…+cn,
得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],
2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],
两式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]
=3×4+4(1-2n)1-2-(n+1)×2n+2
=-3n·2n+2,所以Tn=3n·2n+2.
19.(2016山东,理19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.
解(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.
由题意,
E=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.
由事件的独立性与互斥性,
P(E)=P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)+P(ABCD)
=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)·P(B)P(C)P(D)
=34×23×34×23+2×14×23×34×23+34×13×34×23=23.
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23.
(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.
由事件的独立性与互斥性,得
P(X=0)=14×13×14×13=1144,
P(X=1)=2×34×13×14×13+14×23×14×13=10144=572,
P(X=2)=34×13×34×13+34×13×14×23+14×23×34×13+14×23×14×23=25144,
P(X=3)=34×23×14×13+14×13×34×23=12144=112,
P(X=4)=2×34×23×34×13+34×23×14×23=60144=512,
P(X=6)=34×23×34×23=36144=14.
可得随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
6
P
1144
572
25144
112
512
14
所以数学期望EX=0×1144+1×572+2×25144+3×112+4×512+6×14=236.
20.(2016山东,理20)已知f(x)=a(x-ln x)+2x-1x2,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=1时,证明f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.
解(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
f'(x)=a-ax-2x2+2x3=(ax2-2)(x-1)x3.
当a≤0时,x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
当a>0时,f'(x)=a(x-1)x3x-2ax+2a.
①01,
当x∈(0,1)或x∈2a,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈1,2a时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
②a=2时 ,2a=1,在x∈(0,+∞)内,f'(x)≥0,f(x)单调递增.
③a>2时 ,0<2a<1,
当x∈0,2a或x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈2a,1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减;
当02时,f(x)在0,2a内单调递增,在2a,1内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
(2)由(1)知,a=1时,
f(x)-f'(x)=x-ln x+2x-1x2-1-1x-2x2+2x3
=x-ln x+3x+1x2-2x3-1,x∈[1,2].
设g(x)=x-ln x ,h(x)=3x+1x2-2x3-1,x∈[1,2].
则f(x)-f'(x)=g(x)+h(x).
由g'(x)=x-1x≥0,
可得g(x)≥g(1)=1,
当且仅当x=1时取得等号.
又h'(x)=-3x2-2x+6x4,
设φ(x)=-3x2-2x+6,则φ(x)在x∈[1,2]单调递减,
因为φ(1)=1,φ(2)=-10,
所以∃x0∈(1,2),使得x∈(1,x0)时,φ(x)>0,x∈(x0,2)时,φ(x)<0.
所以h(x)在(1,x0)内单调递增,在(x0,2)内单调递减.
由h(1)=1,h(2)=12,可得h(x)≥h(2)=12 ,
当且仅当x=2时取得等号.
所以f(x)-f'(x)>g(1)+h(2)=32,
即f(x)>f'(x)+32对于任意的x∈[1,2]成立.
21.(2016山东,理21)
平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32,抛物线E:x2=2y的焦点F是C的一个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是E上的动点,且位于第一象限,E在点P处的切线l与C交于不同的两点A,B,线段AB的中点为D.直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
①求证:点M在定直线上;
②直线l与y轴交于点G,记△PFG的面积为S1,△PDM的面积为S2,求S1S2的最大值及取得最大值时点P的坐标.
解(1)由题意知a2-b2a=32,可得a2=4b2,
因为抛物线E的焦点F0,12,
所以b=12,a=1.
所以椭圆C的方程为x2+4y2=1.
(2)①
设Pm,m22(m>0).
由x2=2y,可得y'=x ,所以直线l的斜率为m.
因此直线l方程为y-m22=m(x-m),即y=mx-m22.
设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).
联立方程x2+4y2=1,y=mx-m22,
得(4m2+1)x2-4m3x+m4-1=0.
由Δ>0,得0
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