2013年上海市高考数学试卷（理科）

2013年上海市高考数学试卷（理科）

‎2013年上海市高考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．（4分）计算：=　 　．‎ ‎2．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=　 　．‎ ‎3．（4分）若=，x+y=　 　．‎ ‎4．（4分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是　 　．‎ ‎5．（4分）设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a=　 　．‎ ‎6．（4分）方程+=3x﹣1的实数解为　 　．‎ ‎7．（4分）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为　 　．‎ ‎8．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是　 　（结果用最简分数表示）．‎ ‎9．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为　 　．‎ ‎10．（4分）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=　 　．‎ ‎11．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=　 　．‎ ‎12．（4分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为　 　．‎ ‎13．（4分）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为　 　．‎ ‎14．（4分）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=　 　．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）‎ ‎16．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（　　）‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎17．（5分）在数列（an）中，an=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（　　）‎ A．18 B．28 C．48 D．63‎ ‎18．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（　　）‎ A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．‎ ‎20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．‎ ‎（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；‎ ‎（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．‎ ‎（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；‎ ‎（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．‎ ‎22．（16分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+‎ ‎1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”‎ ‎（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；‎ ‎（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；‎ ‎（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”‎ ‎23．（18分）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．‎ ‎（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；‎ ‎（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；‎ ‎（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2013年上海市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．（4分）计算：=　　．‎ ‎【分析】由数列极限的意义即可求解．‎ ‎【解答】解：==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列极限的求法，属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=　﹣2　．‎ ‎【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0，m2﹣1≠0，由此解得实数m的值．‎ ‎【解答】解：∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，‎ ‎∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）若=，x+y=　0　．‎ ‎【分析】利用行列式的定义，可得等式，配方即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴x2+y2=﹣2xy ‎∴（x+y）2=0‎ ‎∴x+y=0‎ 故答案为0‎ ‎【点评】本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，则角C的大小是　　．‎ ‎【分析】把式子3a2+2ab+3b2﹣3c2=0变形为，再利用余弦定理即可得出．‎ ‎【解答】解：∵3a2+2ab+3b2﹣3c2=0，∴，‎ ‎∴==．‎ ‎∴C=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）设常数 a∈R，若（x2+）5的二项展开式中x7项的系数为﹣10，则 a=　﹣2　．‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项，令x的指数为7求得x7的系数，列出方程求解即可．‎ ‎【解答】解：的展开式的通项为Tr+1=C5rx10﹣2r（）r=C5rx10﹣3rar 令10﹣3r=7得r=1，‎ ‎∴x7的系数是aC51‎ ‎∵x7的系数是﹣10，‎ ‎∴aC51=﹣10，‎ 解得a=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题主要考查了二项式系数的性质．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）方程+=3x﹣1的实数解为　log34　．‎ ‎【分析】化简方程+=3x﹣1为 =3x﹣1，即（3x﹣4）（3x+2）=0，解得 3x=4，可得x的值．‎ ‎【解答】解：方程+=3x﹣1，即 =3x﹣1，即 8+3x=3x﹣1（ 3x+1﹣3），‎ 化简可得 32x﹣2•3x﹣8=0，即（3x﹣4）（3x+2）=0．‎ 解得 3x=4，或 3x=﹣2（舍去），‎ ‎∴x=log34，‎ 故答案为 log34．‎ ‎【点评】本题主要考查指数方程的解法，指数函数的值域，一元二次方程的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为　　．‎ ‎【分析】联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．‎ ‎【解答】解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，‎ 解得ρ=或ρ=（舍），‎ 所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是　　（结果用最简分数表示）．‎ ‎【分析】利用组合知识求出从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数，再求出从5个奇数中任意取出2个奇数的取法种数，求出取出的两个球的编号之积为奇数的概率，利用对立事件的概率求出取出两个球的编号之积为偶数的概率．‎ ‎【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为种．‎ 取出的两个球的编号之积为奇数的方法种数为种．‎ 则取出的两个球的编号之积为奇数的概率为．‎ 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是．‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了简单的排列组合知识，考查了对立事件的概率，解答的关键是明确取到的两数均为奇数时其乘积为奇数，是基础题．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）设AB是椭圆Γ的长轴，点C在Γ上，且∠CBA=，若AB=4，BC=，则Γ的两个焦点之间的距离为　　．‎ ‎【分析】由题意画出图形，设椭圆的标准方程为，由条件结合等腰直角三角形的边角关系解出C的坐标，再根据点C在椭圆上求得b值，最后利用椭圆的几何性质计算可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，设椭圆的标准方程为，‎ 由题意知，2a=4，a=2．‎ ‎∵∠CBA=，BC=，∴点C的坐标为C（﹣1，1），‎ 因点C在椭圆上，∴，‎ ‎∴b2=，‎ ‎∴c2=a2﹣b2=4﹣=，c=，‎ 则Γ的两个焦点之间的距离为 ．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义、解三角形，以及椭圆的简单性质的应用．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）设非零常数d是等差数列x1，x2，…，x19的公差，随机变量ξ等可能地取值x1，x2，…，x19，则方差Dξ=　30d2　．‎ ‎【分析】利用等差数列的前n项和公式可得x1+x2+…+x19=和数学期望的计算公式即可得出Eξ，再利用方差的计算公式即可得出Dξ=即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意可得Eξ===x1+9d．‎ ‎∴xn﹣Eξ=x1+（n﹣1）d﹣（x1+9d）=（n﹣10）d，‎ ‎∴Dξ=+…+（﹣d）2+0+d2+（2d）2+…+（9d）2]‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=30d2．‎ 故答案为：30d2．‎ ‎【点评】熟练掌握等差数列的前n项和公式、数学期望和方差的计算公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）若cosxcosy+sinxsiny=，sin2x+sin2y=，则sin（x+y）=　　．‎ ‎【分析】利用两角差的余弦公式及cosxcosy+sinxsiny=，可得cos（x﹣y）=，再利用和差化积公式sin2x+sin2y=，得到2sin（x+y）cos（x﹣y）=，即可得出sin（x+y）．‎ ‎【解答】解：∵cosxcosy+sinxsiny=，∴cos（x﹣y）=．‎ ‎∵sin2x+sin2y=，‎ ‎∴sin[（x+y）+（x﹣y）]+sin[（x+y）﹣（x﹣y）]=，‎ ‎∴2sin（x+y）cos（x﹣y）=，‎ ‎∴，‎ ‎∴sin（x+y）=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】熟练掌握两角和差的正弦余弦公式及和差化积公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=9x++7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为　．　．‎ ‎【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x≥0时函数的解析式，将f（x）≥a+1对一切x≥0成立转化为函数的最小值≥a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围．‎ ‎【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 所以当x=0时，f（x）=0；‎ 当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）=﹣9x﹣+7‎ 因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，‎ 所以f（x）=9x+﹣7；‎ 因为f（x）≥a+1对一切x≥0成立，‎ 所以当x=0时，0≥a+1成立，‎ 所以a≤﹣1；‎ 当x＞0时，9x+﹣7≥a+1成立，‎ 只需要9x+﹣7的最小值≥a+1，‎ 因为9x+﹣7≥2=6|a|﹣7，‎ 所以6|a|﹣7≥a+1，‎ 解得，‎ 所以．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查函数解析式的求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）在xOy平面上，将两个半圆弧（x﹣1）2+y2=1（x≥1）和（x﹣3）2+y2=1（x≥3），两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分，记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω．过（0，y）（|y|≤1）作Ω的水平截面，所得截面积为4π+‎ ‎8π．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为　2π2+16π　．‎ ‎【分析】由题目给出的Ω的水平截面的面积，可猜想水平放置的圆柱和长方体的量，然后直接求出圆柱的体积与长方体的体积作和即可．‎ ‎【解答】解：因为几何体为Ω的水平截面的截面积为4+8π，该截面的截面积由两部分组成，‎ 一部分为定值8π，看作是截一个底面积为8π，高为2的长方体得到的，对于4，看作是把一个半径为1，‎ 高为2π的圆柱平放得到的，如图所示，‎ 这两个几何体与Ω放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等，‎ 即Ω的体积为π•12•2π+2•8π=2π2+16π．‎ 故答案为2π2+16π．‎ ‎【点评】本题考查了简单的合情推理，解答的关键是由几何体Ω的水平截面面积想到水平放置的圆柱和长方体的有关量，是中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0=　2　．‎ ‎【分析】根据互为反函数的两函数定义域、值域互换可判断：当x∈[0，1）时，x∈[1，2）时f（x）的值域，进而可判断此时f（x）=x无解；由f（x）在定义域 ‎[0，3]上存在反函数可知：x∈[2，3]时，f（x）的取值集合，再根据方程f（x）=x有解即可得到x0的值．‎ ‎【解答】解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），‎ 所以对于函数f（x），‎ 当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；‎ 当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；‎ 所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，‎ 又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，‎ 故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），‎ 故若f（x0）=x0，只有x0=2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查函数的零点及反函数，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．‎ ‎　‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．（5分）设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．[2，+∞）‎ ‎【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围．‎ ‎【解答】解：当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），‎ 若A∪B=R，则a﹣1≤1，‎ ‎∴1＜a≤2；‎ 当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；‎ 当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞），‎ 若A∪B=R，则a﹣1≤a，显然成立，‎ ‎∴a＜1；‎ 综上，a的取值范围是（﹣∞，2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（　　）‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 ‎【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件．‎ ‎【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，‎ 根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．‎ 所以“好货”⇒“不便宜”，‎ 所以“不便宜”是“好货”的必要条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查互为逆否命题的真假一致；考查据命题的真假判定条件关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎17．（5分）在数列（an）中，an=2n﹣1，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj ‎（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（　　）‎ A．18 B．28 C．48 D．63‎ ‎【分析】由于该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），要使aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）．‎ 则满足2i+j﹣1=2m+n﹣1，得到i+j=m+n，由指数函数的单调性可得：当i+j≠m+n时，aij≠amn，因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，即可得出．‎ ‎【解答】解：该矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，12），‎ 当且仅当：i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12），‎ 因此该矩阵元素能取到的不同数值为i+j的所有不同和，其和为2，3，…，19，共18个不同数值．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】由题意得出：当且仅当i+j=m+n时，aij=amn（i，m=1，2，…，7；j，n=1，2，…，12）是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎18．（5分）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、．若m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，其中{i，j，k}⊆{1，2，3，4，5}，{r，s，t}⊆{1，2，3，4，5}，则m、M满足（　　）‎ A．m=0，M＞0 B．m＜0，M＞0 C．m＜0，M=0 D．m＜0，M＜0‎ ‎【分析】利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论．‎ ‎【解答】解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、‎ ‎、、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、、、、，‎ ‎∴利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，‎ ‎∵m、M分别为（++）•（++）的最小值、最大值，‎ ‎∴m＜0，M＜0‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2，AD=1，AA′=1．证明直线BC′平行于平面D′AC，并求直线BC′到平面D′AC的距离．‎ ‎【分析】解法一：证明ABC′D′为平行四边形，可得BC′∥AD′，再利用直线和平面平行的判定定理证得直线BC′平行于平面D′AC． 所求的距离即点B到平面D′AC的距离，设为h，再利用等体积法求得h的值．‎ 解法二：建立空间直角坐标系，求出平面D′AC的一个法向量为=（2，1，﹣2），再根据 =﹣0，可得 ⊥，可得直线BC′平行于平面D′AC．求出点B到平面D′AC的距离d= 的值，即为直线BC′到平面D′AC的距离．‎ ‎【解答】解：解法一：因为ABCD﹣A′B′C′D′为长方体，故AB∥C′D′，AB=C′D′，‎ 故ABC′D′为平行四边形，故BC′∥AD′，显然BC′不在平面D′AC内，‎ 于是直线BC′平行于平面D′AC． ‎ 直线BC′到平面D′AC的距离即为点B到平面D′AC的距离，设为h，‎ 考虑三棱锥D′﹣ABC的体积，以ABC为底面，可得三棱锥D′﹣ABC的体积为V=•（）=，‎ 而△AD′C中，AC=D′C=，AD′=，故△CAD′的底边AD′上的高为，‎ 故△CAD′的面积S△CAD′=••=，‎ 所以，V==⇒h=，即直线BC′到平面D′AC的距离为．‎ 解法二：以D′A′所在的直线为x轴，以D′C′所在的直线为y轴，以D′D所在的直线为z轴，‎ 建立空间直角坐标系．‎ 则由题意可得，点A（1，0，1 ）、B（1，2，1）、C（0，2，1）、C′（0，2，0）、D′（0，0，0）．‎ 设平面D′AC的一个法向量为=（u，v，w），则由⊥，⊥，可得，．‎ ‎∵=（1，0，1），=（0，2，1），∴，解得．‎ 令v=1，可得 u=2，w=﹣2，可得=（2，1，﹣2）．‎ 由于=（﹣1，0，﹣1），∴=﹣0，故有 ⊥．‎ 再由BC′不在平面D′AC内，可得直线BC′平行于平面D′AC． ‎ 由于=（1，0，0），可得点B到平面D′AC的距离d===，‎ 故直线BC′到平面D′AC的距离为．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，利用向量法证明直线和平面平行，求直线到平面的距离的方法，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（14分）甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．‎ ‎（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；‎ ‎（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．‎ ‎【分析】（1）求出生产该产品2小时获得的利润，建立不等式，即可求x的取值范围；‎ ‎（2）确定生产900千克该产品获得的利润函数，利用配方法，可求最大利润．‎ ‎【解答】解：（1）生产该产品2小时获得的利润为100（5x+1﹣）×2=200（5x+1﹣）‎ 根据题意，200（5x+1﹣）≥3000，即5x2﹣14x﹣3≥0‎ ‎∴x≥3或x≤﹣‎ ‎∵1≤x≤10，∴3≤x≤10；‎ ‎（2）设利润为 y元，则生产900千克该产品获得的利润为y=100（5x+1﹣）×‎ ‎=90000（）=9×104[+]‎ ‎∵1≤x≤10，∴x=6时，取得最大利润为=457500元 故甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为457500元．‎ ‎【点评】本题考查函数模型的建立，考查解不等式，考查函数的最值，确定函数的模型是关键．‎ ‎　‎ ‎21．（14分）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0．‎ ‎（1）若y=f（x）在[﹣，]上单调递增，求ω的取值范围；‎ ‎（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．‎ ‎【分析】（1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可；‎ ‎（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2．令g（x）=0，即可解出零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a]（m∈N*）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，‎ ‎∴，且，‎ 解得．‎ ‎（2）f（x）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到，‎ ‎∴函数y=g（x）=，‎ 令g（x）=0，得，或x=（k∈Z）．‎ ‎∴相邻两个零点之间的距离为或．‎ 若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N*）分别恰有3，5，…，2m+1个零点，‎ 所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，‎ ‎∴．‎ 另一方面，在区间恰有30个零点，‎ 因此b﹣a的最小值为．‎ ‎【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．‎ ‎　‎ ‎22．（16分）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”‎ ‎（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；‎ ‎（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；‎ ‎（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”‎ ‎【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；‎ ‎（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；‎ ‎（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．‎ ‎【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：‎ 或，其中．‎ ‎（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，‎ 所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．‎ 若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．‎ 考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．‎ 显然直线x=0与C1无公共点．‎ 如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．‎ 所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．‎ 因此原点不是“C1﹣C2型点”．‎ ‎（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，‎ 故可设l：y=kx+b．‎ 若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，‎ 从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．‎ 因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，‎ 得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．‎ 因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，‎ 因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，‎ 即b2≥2k2﹣1．‎ 因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，‎ 所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．‎ 因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．‎ ‎　‎ ‎23．（18分）给定常数c＞0，定义函数f（x）=2|x+c+4|﹣|x+c|．数列a1，a2，a3，…满足an+1=f（an），n∈N*．‎ ‎（1）若a1=﹣c﹣2，求a2及a3；‎ ‎（2）求证：对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；‎ ‎（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）对于分别取n=1，2，an+1=f（an），n∈N*．去掉绝对值符合即可得出；‎ ‎（2）由已知可得f（x）=，分三种情况讨论即可证明；‎ ‎（3）由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．分以下三种情况讨论：当a1＜﹣c﹣4时，当﹣c﹣4≤a1＜﹣c时，当a1≥﹣c时．即可得出a1的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）a2=f（a1）=f（﹣c﹣2）=2|﹣c﹣2+c+4|﹣|﹣c﹣2+c|=4﹣2=2，‎ a3=f（a2）=f（2）=2|2+c+4|﹣|2+c|=2（6+c）﹣（c+2）=10+c．‎ ‎（2）由已知可得f（x）=‎ 当an≥﹣c时，an+1﹣an=c+8＞c；‎ 当﹣c﹣4≤an＜﹣c时，an+1﹣an=2an+3c+8≥2（﹣c﹣4）+3c+8=c；‎ 当an＜﹣c﹣4时，an+1﹣an=﹣2an﹣c﹣8＞﹣2（﹣c﹣4）﹣c﹣8=c．‎ ‎∴对任意n∈N*，an+1﹣an≥c；‎ ‎（3）假设存在a1，使得a1，a2，…，an，…成等差数列．‎ 由（2）及c＞0，得an+1≥an，即{an}为无穷递增数列．‎ 又{an}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，an≥﹣c，从而an+1=f（an）=an+c+8，由于{an}为等差数列，‎ 因此公差d=c+8．‎ ‎①当a1＜﹣c﹣4时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣c﹣8，‎ 又a2=a1+d=a1+c+8，故﹣a1﹣c﹣8=a1+c+8，即a1=﹣c﹣8，从而a2=0，‎ 当n≥2时，由于{an}为递增数列，故an≥a2=0＞﹣c，‎ ‎∴an+1=f（an）=an+c+8，而a2=a1+c+8，故当a1=﹣c﹣8时，{an}为无穷等差数列，符合要求；‎ ‎②若﹣c﹣4≤a1＜﹣c，则a2=f（a1）=3a1+3c+8，又a2=a1+d=a1+c+8，∴3a1+3c+8=a1+c+8，得a1=﹣c，应舍去；‎ ‎③若a1≥﹣c，则由an≥a1得到an+1=f（an）=an+c+8，从而{an}为无穷等差数列，符合要求．‎ 综上可知：a1的取值范围为{﹣c﹣8}∪[﹣c，+∞）．‎ ‎【点评】本题综合考查了分类讨论的思方法、如何绝对值符号、递增数列、等差数列等基础知识与方法，考查了推理能力和计算能力．‎ ‎　‎