安徽省淮南市第一中学2019-2020学年高一上学期第一次段考数学试题
淮南一中 2019 级高一上学期第一次段考数学试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
1.已知集合 ，则 中元素 个数为（ ）
A. 1 B. 5 C. 6 D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】
直接列举求出 A 和 A 中元素的个数得解.
【详解】由题得 ，
所以 A 中元素的个数为 6.
故选：C
【点睛】本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析
推理能力.
2.已知集合 ， ，若 ，则实数 值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
,可以得到 ，求出集合 子集，这样就可以求出实数 值集合.
【详解】 , 的子集有 ，
当 时，显然有 ；当 时， ；
当 时， ；当 ，不存在 ，符合题意，实数 值集合为
，故本题选 D.
【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一
个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论.
的
的
{( , ) | 2, , }A x y x y x y N= + ≤ ∈ A
{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =
{ 2,1}A = − { | 2}B x ax= = A B B= a
{ }1− {2} { 1,2}− { 1,0,2}−
A B B∩ = B A⊆ A a
A B B B A∩ = ⇒ ⊆ { }2,1A = − { } { } { }, 2 , 1 , 2,1φ − −
B φ= 0a = { }2B = − 2 2 1a a− = ⇒ = −
{ }1B = 1 2 2a a⋅ = ⇒ = { }2,1B = − a a
{ }1,0,2−
3.函数 的定义域为（ ）
A. [ ，3）∪（3，+∞） B. （-∞，3）∪（3，+∞）
C. [ ，+∞） D. （3，+∞）
【答案】A
【解析】
【分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】因为函数 ，
解得 且 ；
函数 的定义域为 , 故选 A．
【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式
(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已
知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.
4.下列四组中的函数 ， 表示同一个函数的是（ ）
A. ， B. ,
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．
【详解】 ． 的定义域为 ， ，两个函数的定义域相同，对应法则相同，所
以 ，
表示同一个函数．
1( ) 2 3 3f x x x
= − + −
3
2
3
2
2 3 012 3 , 3 03
xy x xx
− ≥= − + ∴ − ≠−
3
2x ≥ 3x ≠
∴ ( ) 12 3 3f x x x
= − + −
( )3 ,3 3,2
+∞
( )f x [ ],a b ( )( )f g x ( )a g x b≤ ≤
( )f x ( )g x
3( )f x x= 3 9( )g x x= ( )f x x= ( )g x x=
2( )f x x= ( )4
( )g x x= ( ) 1f x = 0( )g x x=
A ( )f x R 3( )g x x=
( )f x
( )g x
． 的定义域为 ， ，两个函数的定义域相同，对应法则不相同，
所以 ， 不能表示同一个函数．
． 的定义域为 ， 的定义域为 ，两个函数的定义域不相同，所以 ，
不能表示同一个函数．
． 的定义域为 ， 的定义域 ，两个函数的定义域不相同，对应法则相
同，所以 ， 不能表示同一个函数．
故选： ．
【点睛】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定
义域和对
应法则是否相同即可．
5.函数 的值域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
值域问题应先确定定义域 ，此题对根号下二次函数进行配方,利用对称轴与区间的位置
关系求出最值进而确定值域.
【详解】定义域应满足 ，
即 ，
当 时， ；当 或 4 时, ，
所以函数的值域为 ，故选 C.
【点睛】本题主要考查函数的定义域，函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法
有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完
全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值
域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的值域，用不
B ( )f x R
, 0( ) , 0
x xg x x x x
= = − <
( )f x ( )g x
C ( )f x R ( )g x { | 0}x x ( )f x
( )g x
D ( )f x R ( )g x { | 0}x x ≠
( )f x ( )g x
A
22 4y x x= − − +
[ 2,2]− [1,2] [0,2] [ 2, 2]−
[ ]0,4
2 4 0x x− + ≥
( )220 4, 2 4 2 2 4x y x x≤ ≤ = − − + = − − − +
∴ 2x = min 0y = 0x = max 2y =
[ ]0,2
等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先
确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图
象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.
6.若函数 是 R 上的单调递减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数分段函数 是 R 上的单调递减函数，得到 且 ，即可求
解，得到答案.
【详解】由题意，函数 是 R 上的单调递减函数，
则满足 且 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，其中解答中根据分段函数的单调性，准
确列出相应的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7.若函数 为偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
( 2) , 2
( ) 1 1, 22
x
a x x
f x
x
− ≥
= − <
a
( ,2)−∞ 13, 8
−∞
( )0,2 13,2)8
( )f x 2 0a − < 21( ) 1 ( 2) 22 a− ≥ − ×
( 2) , 2
( ) 1 1, 22
x
a x x
f x
x
− ≥
= − <
2 0a − < 21( ) 1 ( 2) 22 a− ≥ − × 13
8a ≤
a 13, 8
−∞
2
2
, 0( ) ( )
, 0
x x xf x a R
x ax x
+ ≥= ∈ − <
( ) ( ) ( )2 0f a f a f> > ( ) ( ) ( )0 2f a f f a> >
( ) ( ) ( )2 0f a f a f> > ( ) ( ) ( )2 0f a f f a> >
【分析】
函数 为偶函数,则有 f(-1)=f(1),可解得 a=1,函数在区间
单调递减,在区间 单调递增,故自变量距离 0 越远函数值越大,即可求解.
【详解】因为函数 为偶函数
所以 f(-1)=f(1),解得 a=1
又因为函数在 单调递减,在 单调递增
所以
故选 C
【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利
用偶函数的性质求解 a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函
数值越大,先增后减,离原点越远越小).
8.若 a>1，则函数 y=ax 与 y=（1–a）x2 的图象可能是下列四个选项中的
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析： 是单调递增的指数函数， 是开口向上的抛物线，所
以 A 正确.
考点：本题主要考查指数函数和二次函数的图象.
点评：对于此类题目，学生主要应该分清楚底数对指数函数的单调性的影响，底数 时指
( ) ( )2
2
, 0
, 0
x x xf x a R
x ax x
+ ≥= ∈ − <
( ),0−∞ ( )0, ∞+
( ) ( )2
2
, 0
, 0
x x xf x a R
x ax x
+ ≥= ∈ − <
( ),0−∞ ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )2 0f a f a f> >
1, xa y a> ∴ =
2( 1)y a x= −
1a >
数函数单调递增，底数 时指数函数单调递减；而二次函数是二次项系数大于 ，图象
开口向上，二次项系数小于 ，图象开口向下。此外还要注意对数函数的图象，有时也和对数
函数结合起来考查.
9.若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数图象可得 的取值范围.
【详解】因为当 时 ，当 时 或 ，因此 的取
值范围是 .
【点睛】本题考查二次函数图象与性质,考查综合分析求解能力,属中档题.
10.定义在 R 上的函数 f(x)对任意 0
0 的解集是( )
A. (－2,0)∪(0,2)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－∞，－2)∪(0,2)
D. (－2,0)∪(2，＋∞)
【答案】C
0 1a< < 0
0
2 3 4y x x= − − [0, ]m 25[ , 4]4
− − m
(0,4] 3[ ,4]2
3[ ,3]2
3[ , )2
+∞
m
3
2x = 25
4y = − 0y = 24 3 4, 0x x x− = − − = 3x = m
3[ ,3]2
( ) ( )1 2
1 2
f x f x
x x
−
−
【解析】
【分析】
根 据 已 知 中 函 数 的 图 象 关 于 原 点 对 称 ， 且 任 意 都 有
，分 时， 时， 时， 时四种情况讨论，即
可求得答案
【详解】令 ， ，则
则有
即
即 时，
令 ， ，则
则有
即
即 时，
又由函数 的图象关于原点对称
时，
时，
综上所述，不等式 的解集为
故选
【点睛】本题主要考查的知识点函数奇偶性的性质，考查了分类讨论的数学思想，有一定的
难度。
第Ⅱ卷（非选择题 共 70 分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
11.已知 ，则 =______．
( )y f x= ( )2 2f = 2 10 x x< <
( ) ( )1 2
1 2
1f x f x
x x
− <− 2x > 0 2x< < 2 0x− < < 2x < −
1 2x x= > 2 2x = 2 10 x x< <
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2
2 1x 2 x 2
f x f x f x f x f x
x x
− − −= = <− − −
( ) 2 2f x x− < −
2x > ( ) 0f x x− <
20 2x x< = < 1 2x = 2 10 x x< <
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2
1 2
2 2 12 x x 2
f x f x f f x f x
x x
− − −= = <− − −
( ) 2 2f x x− > −
0 2x< < ( ) 0f x x− >
( )y f x=
2 0x∴− < < ( ) 0f x x− <
2x < − ( ) 0f x x− >
( ) 0f x x− > ( ) ( )2 0 2−∞ − ∪， ，
C
( ) 22 1 2f x x x+ = - ( )3f
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先可以根据题意令 ，求出 ，再将 带入 中进行
计算，即可得出 的值.
【详解】因为 ，令 ，解得 ，
所以 ，故答案为 .
【点睛】本题考查了函数的解析式的相关性质，考查了如何利用函数的解析式求函数值，考
查了计算能力，体现了基础性，提高了学生对函数的理解，是基础题目.
12.已知定义在 上的奇函数 ，它的图象关于直线 对称．当 时，
，则 ______．
【答案】2
【解析】
【详解】由 为奇函数，且其图象关于直线 对称，
知 ，且 ，
所以 ， ．
是以 8 为周期的周期函数．
又 ， ，
所以 ．
13.函数 （ ，且 ）的图象恒过点_________（写出点的坐标）.
【答案】
【解析】
【分析】
由指数函数 的图象恒过点 可知,令 ,则 时有
1−
2 1 3x + = 1x = 1x = ( ) 22 1 2f x x x+ = -
( )3f
( ) 22 1 2f x x x+ = - 2 1 3x + = 1x =
( ) 23 1 2 1 1f = - ´ = - 1−
R ( )f x 2x = 0 2x< ≤
( ) 1f x x= + ( ) ( )100 101f f− + − =
( )f x 2x =
( ) ( )f x f x− = − ( ) ( )2 2f x f x− = +
( ) ( ) ( )4f x f x f x+ = − = − ( ) ( ) ( )8 4f x f x f x+ = − + =
( )f x
( ) ( )3 1 2f f= = ( ) ( )4 0 0f f= =
( ) ( ) ( ) ( )100 101 4 3 0 2 2f f f f− + − = + = + =
( ) 3 22 1xf x a −= + 0a > 1a ≠
2 ,33
( )0, 1xy a a a= > ≠ ( )0,1 3 2x t− = 0t = ty a=
的函数值为 1,从而得到答案.
【详解】因为指数函数 的图象恒过点 ,
所以令 ,
则当 时,
的函数值为 ,
此时 的值为 .
所以函数 （ ，且 ）的图象恒过点 .
故答案为:
【点睛】本题考查指数函数的图象及性质和换元思想的简单应用;解题的关键是熟练掌握指数
函数的性质,并根据性质判断出本题求定点的问题可以令指数为 0;属于基础题.
14.若不等式 对 恒成立，则 的最大值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
利用基本不等式求不等式左边最小值，即得结果
【详解】因为 ，当且仅当 时取等
号，
所以 ，即 的最大值为 2
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题（本题共 5 大题，每题 10 分）
15.设全集 ，集合 ．
（1）当 时，求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围。
【答案】(1) (2) .
( )0, 1xy a a a= > ≠ ( )0,1
3 2x t− =
0t =
ty a= 1
( )f x 3
( ) 3 22 1xf x a −= + 0a > 1a ≠ 2 ,33
2 ,33
25 4
2
x x ax
− + ≥− 2x < a
25 4 1 12 2 (2 ) 22 2 2
x x x xx x x
− + = + − ≥ ⋅ − =− − − 2 1x− =
2 a≥ a
U = R { | 3 1 7}, { | 3}A x x B x a x a= + ≥ = ≤ ≤ +
1a = A B
A B A∪ = a
[ ]2,4A B∩ = 2a ≥
【解析】
【分析】
（1）先解不等式，再根据交集定义求结果（2）先转化条件得 ，再结合数组得结果
【详解】解：（1）当 时， .
由
所以 .
（2）由 得
所以 .
【点睛】本题考查集合交集以及集合包含关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
16.函数 是 上的奇函数，当 时， 。
（1）求 的解析式；
（2）当 时，求 的值域。
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】
（1）利用奇函数性质求解析式（2）分段求范围，最后取各段范围的并集得结果
【详解】解：（1） 是 上奇函数
·
当 时， ·
当 时，
.
B A⊆
1a = [ ]1,4B =
[ )3 7 ,1 2Ax ⇒ =+ ≥ +∞
[ ]2,4A B∩ =
A B A∪ = B A⊆
2a ≥
( )f x R 0x > 2( ) 1f x x
= −
( )f x
[ 1,1]x∈ − ( )f x
2 1, 0
( ) 0, 0
2 1, 0
xx
f x x
xx
+ <
= =
− >
(- ,-1] {0} [1,+ )∞ ∪ ∪ ∞
( )f x R
( ) ( ) 0f x f x∴ − + =
0x = (0) 0f =
0x < 2 2( ) ( ) ( 1) 1f x f x x x
= − − = − − = +−
（2）当 在 上减， ·
当 在 上减，
又 时， ·
在 上的值域为
【点睛】本题考查利用奇偶性求函数解析式以及分段函数值域，考查基本分析求解能力，属
基础题.
17.已知函数
(1)当 时，在 上求 最值；
(2)若 时 恒成立，求实数 的取值范围。
【答案】(1) ； (2)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数单调性确定最值取法，（2）根据二次函数图像性质确定最小值取法，列对
应不等式组，解得结果
【详解】解：（1）当 时，
的对称轴为 ，则 在 上增，在 上减
又
（2） 的对称轴为 ，抛物线开口向下
的
2 1, 0
( ) 0, 0
2 1, 0
xx
f x x
xx
+ <
∴ = =
− >
20 ( ) 1x f x x- 1 ，≤ < = + [ - 1, 0) ( ) ( 1) 1f x f∴ ≤ − = −
21 ( ) 1x f x x0 ，< ≤ = − (0,1] ( ) (1) 1f x f∴ ≥ =
0x = ( ) 0f x =
( )f x∴ [ - 1, 1] (- ,-1] {0} [1,+ )∞ ∪ ∪ ∞
2( ) 2 1f x x ax a= − + + −
1a = [ 1,6]x∈ − ( )f x
[0,1]x∈ ( ) 0f x > a
max min( ) 1 ( ) 24f x f x，= = − 0 1a< <
1a = 2 2( ) 2 ( 1) 1f x x x x= − + = − − +
( )f x∴ 1x = ( )f x [ 1,1]− [1,6]
max( ) (1) 1f x f∴ = =
( 1) 3, (6) 36 12 24 3f f− = − = − + = − < −
min( ) (6) 24.f x f∴ = = −
2 2( ) ( ) 1f x x a a a= − − + + − x a=
}{min( ) min (0), (1)f x f f=
【点睛】本题考查二次函数图像与最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
18.若 0≤x≤2，求函数 y＝ －3·2x＋5 的最大值和最小值．
【答案】最大值为 ，最小值为 .
【解析】
试题分析:
令 , 则 1≤t≤4 ，所以函数 ，其对称轴为
，所以当 时，函数 取得最小值 ，此时 ；当
时，函数 取得最大值 ，此 ，故函数的最大值和最小值分别为
和 。
19.已知函数 .
（1）求函数 的值域；
（2）设 ， ， ，求函数 的最小值 ；
（3）对（2）中的 ，若不等式 对于任意的 时恒成立，求
实数 的取值范围.
【答案】(1) ； (2) ；(3) .
【解析】
试题分析：（1）利用函数单调性得证明方法证明函数在 上是增函数，利用单调性求其值
1 0
0
a
a
− >∴ >
0 1.a∴ < <
1
24x−
5
2
1
2
2 ,0 2xt x= ≤ ≤ 1 4t≤ ≤ 21( ) 3 52g t t t= − +
3 [1,4]t = ∈ 3t = 21( ) 3 52g t t t= − + 1
2 2log 3x=
1t = 21( ) 3 52g t t t= − + 5
2 0x = 5
2
1
2
4( ) , [1,2]f x x xx
= − ∈
( )f x
2
2
16 4( ) 2 ( )F x x a xx x
= + − − [1,2]x∈ a R∈ ( )F x ( )g a
( )g a 2( ) 2 4g a a at> − + + ( 3,0)a∈ −
t
[ 3,0]− 2
6 17,( 3),
( ) 8 ,( 3 0),
8, ( 0).
a a
g a a a
a
+ ≤ −
= − − < <
≥
( 4, )− +∞
[1,2]
域；（2）通过换元法，问题转化为二次函数求最小值，利用对称轴分类讨论即可；（3）分
离参数，求函数的最值，求最值时利用函数单调性.
试题解析：(1) 在 任取 且 ，则 ， ，
所以， ，即 ，
所以 是 上增函数，故当 时， 取得最小值 ，当 时，
取得最大值 ，所以函数 的值域为 .
(2) ， ，
令 ， ，则 .
①当 时， 在 上单调递增，故 ；
②当 时， 在 上单调递减，故 ；
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ；
综上所述，
(3)由(2)知，当 时， ，所以 ，
即 ，整理得， .
因为 ，所以 对于任意的 时恒成立.
令 ， ，问题转化为 .
在 任取 且 ，则 ， ，
所以， ，
①当 时， ，所以 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增；
②当 时， ，所以 ，即 ，
[1,2] 1 2,x x 1 2x x< 2 1 0x x− > 1 2 0x x⋅ >
2 1 1 2
2 1 2 1
2 1 1 2
( ) ( 4)4 4( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x xf x f x x xx x x x
− ⋅ ⋅ +− = − − − = >⋅ 2 1( ) ( )f x f x>
4( )f x x x
= − [1,2] 1x = ( )f x 3− 2x = ( )f x
0 ( )f x [ 3,0]−
2 2
2
16 4 4 4( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 8F x x a x x a xx x x x
= + − − = − − − + [1,2]x∈
4x tx
− = [ 3,0]t ∈ − 2 2 2( ) 2 8 ( ) 8h t t at t a a= − + = − + −
3a ≤ − ( )h t [ 3,0]− ( ) ( 3) 6 17g a h a= − = +
0a ≥ ( )h t [ 3,0]− ( ) (0) 8g a h= =
3 0a− < < ( )h t [ 3, ]a− [ ,0]a 2( ) ( ) 8g a h a a= = −
2
6 17,( 3),
( ) 8 ,( 3 0),
8, ( 0).
a a
g a a a
a
+ ≤ −
= − − < <
≥
( 3,0)a∈ − 2( ) 8g a a= − 2( ) 2 4g a a at> − + +
2 28 2 4a a at− > − + + 2 4at a< +
0a < 4t a a
> + ( 3,0)a∈ −
4( )a a a
ϕ = + ( 3,0)a∈ − max( )t aϕ>
( 3,0)− 1 2,a a 1 2a a< 2 1 0a a− > 1 2 0a a⋅ >
2 1 1 2
2 1 2 1
2 1 1 2
( ) ( 4)4 4( ) ( ) ( ) ( ) a a a aa a a aa a a a
ϕ ϕ − ⋅ ⋅ −− = + − + = ⋅
1 2, ( 3, 2]a a ∈ − − 1 2 4a a⋅ > 2 1( ) ( ) 0a aϕ ϕ− > 2 1( ) ( )a aϕ ϕ>
4( )a a a
ϕ = + ( 3, 2]− −
1 2, [ 2,0)a a ∈ − 1 2 4a a⋅ < 2 1( ) ( ) 0a aϕ ϕ− < 2 1( ) ( )a aϕ ϕ<
所以函数 在 上单调递减；
综上， ，从而 .
所以，实数 的取值范围是 .
试题点睛：本题涉及函数单调性定义，利用单调性求函数最值，分类讨论等内容，属于难题.
解题时注意分析函数增减性及其应用，特别是含参数的函数求最值时，要注意分类讨论，过
程要不重不漏.
4( )a a a
ϕ = + [ 2,0)−
max( ) ( 2) 4aϕ ϕ= − = − 4t > −
t ( 4, )− +∞
