人教A数学必修一集合的含义与表示学案

人教A数学必修一集合的含义与表示学案

山东省新泰市汶城中学2014高中数学 §‎1.1.1‎集合的含义与表示学案 新人教A版必修1‎ ‎ 学习目标 ‎ ‎1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；‎ ‎2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；‎ ‎3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.‎ ‎ 学习过程 ‎ 一、课前准备 ‎（预习教材P2~ P3，找出疑惑之处）‎ 讨论：军训前学校通知：‎8月15日上午8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员. 试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？‎ 引入：在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.‎ 集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件.‎ 二、新课导学 ‎※ 探索新知 探究1：考察几组对象：‎ ‎① 1～20以内所有的质数；‎ ‎② 到定点的距离等于定长的所有点；‎ ‎③ 所有的锐角三角形；‎ ‎④ , , , ；‎ ‎⑤ 东升高中高一级全体学生；‎ ‎⑥ 方程的所有实数根；‎ ‎⑦ 隆成日用品厂2008年8月生产的所有童车；‎ ‎⑧ 2008年8月，广东所有出生婴儿.‎ 试回答：‎ 各组对象分别是一些什么？有多少个对象？‎ 新知1：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.‎ 试试1：探究1中①～⑧都能组成集合吗，元素分别是什么？‎ 探究2：“好心的人”与“1,2,‎1”‎是否构成集合？‎ 新知2：集合元素的特征 对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的，即集合元素三特征.‎ 确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.‎ 互异性：同一集合中不应重复出现同一元素.‎ 无序性：集合中的元素没有顺序.‎ 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合 .‎ 试试2：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：‎ ‎① 不等式的解；‎ ‎② 3的倍数；‎ ‎③ 方程的解； ‎ ‎④ a，b，c，x，y，z；‎ ‎⑤ 最小的整数；‎ ‎⑥ 周长为‎10 cm的三角形；‎ ‎⑦ 中国古代四大发明；‎ ‎⑧ 全班每个学生的年龄；‎ ‎⑨ 地球上的四大洋；‎ ‎⑩ 地球的小河流.‎ 探究3：实数能用字母表示，集合又如何表示呢？‎ 新知3：集合的字母表示 集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示.‎ 如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；‎ 如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：aA.‎ 试试3： 设B表示“5以内的自然数”组成的集合，则5 B，0.5 B， 0 B， －1 B.‎ 探究4：常见的数集有哪些，又如何表示呢？‎ ‎ ‎ 试试4：填∈或：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， Q， R.‎ 探究5：探究1中①～⑧分别组成的集合，以及常见数集的语言表示等例子，都是用自然语言来描述一个集合. 这种方法语言文字上较为繁琐，能否找到一种简单的方法呢？‎ 新知5：列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，这种表示集合的方法叫做列举法.‎ 注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a与{a}不同.‎ 试试5：试试2中，哪些对象组成的集合能用列举法表示出来，试写出其表示.‎ ‎※ 典型例题 例1 用列举法表示下列集合：‎ ‎① 15以内质数的集合；‎ ‎② 方程的所有实数根组成的集合；‎ ‎③ 一次函数与的图象的交点组成的集合.‎ 变式：用列举法表示“一次函数的图象与二次函数的图象的交点”组成的集合.‎ 三、总结提升 ‎※ 学习小结 ‎①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集及表示；④列举法.‎ ‎※ 知识拓展 集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的. 1874年康托尔提出“集合”的概念：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素. 人们把康托尔于‎1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日.‎ ‎ 学习评价 ‎ ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ ‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1. 下列说法正确的是（ ）.‎ A．某个村子里的高个子组成一个集合 B．所有小正数组成一个集合 C．集合和表示同一个集合 D．这六个数能组成一个集合 ‎2. 给出下列关系：‎ ‎① ；② ；③；④‎ 其中正确的个数为（ ）.‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3. 直线与y轴的交点所组成的集合为（ ）.‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎4. 设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：‎ ‎ 深圳 A； 广州 A. （填∈或）‎ ‎5. “方程的所有实数根”组成的集合用列举法表示为____________.‎ ‎ 课后作业 ‎ ‎1. 用列举法表示下列集合：‎ ‎（1）由小于10的所有质数组成的集合；‎ ‎（2）10的所有正约数组成的集合；‎ ‎（3）方程的所有实数根组成的集合.‎ ‎2. 设x∈R，集合.‎ ‎（1）求元素x所应满足的条件；‎ ‎（2）若，求实数x.‎ ‎§‎1.1.1‎ 集合的含义与表示（2）‎ ‎ 学习目标 ‎ ‎1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；‎ ‎2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；‎ ‎3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.‎ ‎ 学习过程 ‎ 一、课前准备 ‎（预习教材P4~ P5，找出疑惑之处）‎ 复习1：一般地，指定的某些对象的全体称为 .其中的每个对象叫作 .‎ 集合中的元素具备 、 、 特征.‎ 集合与元素的关系有 、 .‎ 复习2：集合的元素是 ，若1∈A，则x= .‎ 复习3：集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？四个集合有何关系？‎ 二、新课导学 ‎※ 学习探究 思考： ‎ ‎① 你能用自然语言描述集合吗？‎ ‎② 你能用列举法表示不等式的解集吗？‎ 探究：比较如下表示法 ‎① {方程的根}；‎ ‎② ；‎ ‎③ .‎ 新知：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，一般形式为，其中x代表元素，P是确定条件.‎ 试试：方程的所有实数根组成的集合，用描述法表示为 .‎ ‎※ 典型例题 例1 试分别用列举法和描述法表示下列集合：‎ ‎（1）方程的所有实数根组成的集合；‎ ‎（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合.‎ 练习：用描述法表示下列集合.‎ ‎（1）方程的所有实数根组成的集合；‎ ‎（2）所有奇数组成的集合.‎ 小结：‎ 用描述法表示集合时，如果从上下文关系来看，、明确时可省略，例如 ‎,.‎ 例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合：‎ ‎（1）抛物线上的所有点组成的集合；‎ ‎（2）方程组解集.‎ 变式：以下三个集合有什么区别.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ 反思与小结： ‎ ‎① 描述法表示集合时，应特别注意集合的代表元素，如与不同.‎ ‎② 只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如，.‎ ‎③ 集合的{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数集Z，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.‎ ‎④ 列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.‎ ‎※ 动手试试 练1. 用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数.‎ 练2. 已知集合，集合. 试用列举法分别表示集合A、B.‎ 三、总结提升 ‎※ 学习小结 ‎1. 集合的三种表示方法（自然语言、列举法、描述法）；‎ ‎2. 会用适当的方法表示集合；‎ ‎※ 知识拓展 ‎1. 描述法表示时代表元素十分重要. 例如：‎ ‎（1）所有直角三角形的集合可以表示为：，也可以写成：{直角三角形}；‎ ‎（2）集合与集合是同一个集合吗？‎ ‎2. 我们还可以用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合，即：文氏图，或称Venn图.‎ ‎ 学习评价 ‎ ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ ‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1. 设，则下列正确的是（ ）.‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2. 下列说法正确的是（ ）.‎ ‎ A.不等式的解集表示为 ‎ B.所有偶数的集合表示为 ‎ C.全体自然数的集合可表示为{自然数}‎ ‎ D. 方程实数根的集合表示为 ‎3. 一次函数与的图象的交点组成的集合是（ ）.‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎4. 用列举法表示集合为 ‎ .‎ ‎5.集合A＝{x|x=2n且n∈N}， ，用∈或填空：‎ ‎ ‎4 A，4 B，‎5 A，5 B.‎ ‎ 课后作业 ‎ ‎1. （1）设集合 ，试用列举法表示集合A.‎ ‎（2）设A＝{x|x＝2n，n∈N，且n<10}，B＝{3的倍数}，求属于A且属于B的元素所组成的集合.‎ ‎2. 若集合，集合，且，求实数a、b.‎ ‎§‎1.1.2‎ 集合间的基本关系 ‎ 学习目标 ‎ ‎1. 了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；‎ ‎2. 理解子集、真子集的概念；‎ ‎3. 能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用；‎ ‎4. 了解空集的含义.‎ ‎ 学习过程 ‎ 一、课前准备 ‎（预习教材P6~ P7，找出疑惑之处）‎ 复习1：集合的表示方法有 、 、‎ ‎ . 请用适当的方法表示下列集合.‎ ‎（1）10以内3的倍数；（2）1000以内3的倍数.‎ 复习2：用适当的符号填空.‎ ‎（1） 0 N； Q； -1.5 R.‎ ‎（2）设集合，，则‎1 A；b B； A.‎ 思考：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？‎ 二、新课导学 ‎※ 学习探究 探究：比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：‎ 与；‎ 与；‎ 与.‎ 新知：子集、相等、真子集、空集的概念.‎ ‎① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset），记作：，读作：A包含于（is contained in）B，或B包含(contains)A.‎ 当集合A不包含于集合B时，记作.‎ B ‎ A ‎② 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 用Venn图表示两个集合间的“包含”关系为：‎ ‎ .‎ ‎③ 集合相等：若，则中的元素是一样的，因此.‎ ‎④ 真子集：若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作：A B（或B A），读作：A真包含于B（或B真包含A）.‎ ‎⑤ 空集：不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：. 并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.‎ 试试：用适当的符号填空.‎ ‎（1） ， ；‎ ‎（2） ， R；‎ ‎（3）N ，Q N；‎ ‎（4） .‎ 反思：思考下列问题.‎ ‎（1）符号“”与“”有什么区别？试举例说明.‎ ‎（2）任何一个集合是它本身的子集吗？任何一个集合是它本身的真子集吗？试用符号表示结论.‎ ‎（3）类比下列实数中的结论，你能在集合中得出什么结论？‎ ‎① 若；‎ ‎② 若.‎ ‎※ 典型例题 例1 写出集合的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.‎ 变式：写出集合的所有真子集组成的集合.‎ 例2 判断下列集合间的关系：‎ ‎（1）与；‎ ‎（2）设集合A={0,1}，集合，则A与B的关系如何？‎ 变式：若集合，，且满足，求实数的取值范围.‎ ‎※ 动手试试 练1. 已知集合，B＝{1,2}，，用适当符号填空 ‎ A B，A C，{2} C，‎2 C.‎ 练2. 已知集合，，且满足，则实数的取值范围为 .‎ 三、总结提升 ‎※ 学习小结 ‎1. 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn图图示；一些结论.‎ ‎2. 两个集合间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，特别要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法.‎ ‎※ 知识拓展 ‎ 如果一个集合含有n个元素，那么它的子集有个，真子集有个.‎ ‎ 学习评价 ‎ ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ ‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1. 下列结论正确的是（ ）.‎ ‎ A. A B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎2. 设，且，则实数a的取值范围为（ ）.‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎3. 若，则（ ）.‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎4. 满足的集合A有 个.‎ ‎5. 设集合，，则它们之间的关系是 ，并用Venn图表示.‎ ‎ 课后作业 ‎ ‎1. 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格. 若用A表示合格产品的集合，B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合．则下列包含关系哪些成立？‎ 试用Venn图表示这三个集合的关系.‎ ‎2. 已知，且，求实数p、q所满足的条件. ‎ ‎§‎1.1.3‎ 集合的基本运算（1）‎ ‎ 学习目标 ‎ ‎1. 理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；‎ ‎2. 会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题；‎ ‎3. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.‎ ‎ 学习过程 ‎ 一、课前准备 ‎（预习教材P8~ P9，找出疑惑之处）‎ 复习1：用适当符号填空.‎ ‎0 {0}； 0 ； {x|x＋1＝0,x∈R}；‎ ‎{0} {x|x<3且x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}；‎ ‎{x|x>6} {x|x<－2或x>5}.‎ 复习2：已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5}，则A S， {x|x∈S且xA}= .‎ 思考：实数有加法运算，类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？‎ 二、新课导学 ‎※ 学习探究 探究：设集合，.‎ ‎（1）试用Venn图表示集合A、B后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）；‎ ‎（2）讨论如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？‎ 新知：交集、并集.‎ ‎① 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫作A、B的交集（intersection set），记作A∩B，读“A交B”，即：‎ ‎ A ‎ B Venn图如右表示.‎ ‎② 类比说出并集的定义.‎ 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set），记作：，读作：A并B，用描述法表示是：‎ ‎.‎ A ‎ B A Venn图如右表示.‎ 试试：‎ ‎（1）A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ；‎ ‎（2）设A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ； ‎ ‎（3）A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝ ，A∩B＝ .‎ ‎（4）分别指出A、B两个集合下列五种情况的交集部分、并集部分.‎ A(B)‎ A B B A A B ‎ B A 反思：‎ ‎（1）A∩B与A、B、B∩A有什么关系？‎ ‎（2）A∪B与集合A、B、B∪A有什么关系？‎ ‎（3）A∩A＝ ；A∪A＝ .‎ ‎ A∩＝ ；A∪＝ .‎ ‎※ 典型例题 例1 设，，求A∩B、A∪B.‎ 变式：若A＝{x|-5≤x≤8}，，则A∩B= ；A∪B= .‎ 小结：有关不等式解集的运算可以借助数轴来研究.‎ 例2 设，，求A∩B.‎ 变式：‎ ‎（1）若，，则 ；‎ ‎（2）若，，则 .‎ 反思：例2及变式的结论说明了什么几何意义？‎ ‎※ 动手试试 练1. 设集合.求A∩B、A∪B.‎ 练2. 学校里开运动会，设A={|是参加跳高的同学}，B={|是参加跳远的同学}，C={|是参加投掷的同学}，学校规定，在上述比赛中，每个同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释与的含义.‎ 三、总结提升 ‎※ 学习小结 ‎1. 交集与并集的概念、符号、图示、性质；‎ ‎2. 求交集、并集的两种方法：数轴、Venn图.‎ ‎※ 知识拓展 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 你能结合Venn图，分析出上述集合运算的性质吗？‎ ‎ 学习评价 ‎ ‎※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.‎ ‎ A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ‎※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：‎ ‎1. 设那么等于（ ）.‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2. 已知集合M＝｛(x, y)|x+y=2｝，N={(x, y)|x－y=4},那么集合M∩N为（ ）.‎ A. x=3, y=－1 B. (3，－1) C.｛3，－1｝ D.｛(3，－1)｝‎ ‎3. 设，则等于（ ）.‎ A. {0,1,2,6}　　 B. {3,7,8,}‎ C. {1,3,7,8}　　　 D. {1,3,6,7,8}‎ ‎4. 设，，若，求实数a的取值范围是 .‎ ‎5. 设，则= .‎ ‎ 课后作业 ‎ ‎1. 设平面内直线上点的集合为，直线上点的集合为，试分别说明下面三种情况时直线与直线的位置关系？‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎2. 若关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，且A∩B={}，求.‎ ‎§‎1.1.3‎ 集合的基本运算（2）‎ ‎ 学习目标 ‎ ‎1. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；‎ ‎2. 能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.‎ ‎ 学习过程 ‎ 一、课前准备 ‎（预习教材P10~ P11，找出疑惑之处）‎ 复习1：集合相关概念及运算.‎ ‎① 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的 ，记作 .‎ ‎ 若集合，存在元素，则称集合A是集合B的 ，记作 .‎ ‎ 若，则 .‎ ‎② 两个集合的 部分、 部分，分别是它们交集、并集，用符号语言表示为：‎ ‎ ；‎ ‎ .‎ 复习2：已知A＝{x|x＋3>0}，B＝{x|x≤－3}，则A、B、R有何关系？‎ 二、新课导学 ‎※ 学习探究 探究：设U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U、A、B有何关系？‎ 新知：全集、补集.‎ ‎① 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U. ‎ ‎② 补集：已知集合U, 集合AU，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫作A相对于U的补集（complementary set），记作：，读作：“A在U中补集”，即.‎ 补集的Venn图表示如右：‎ ‎ 说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念，补集的概念必须要有全集的限制.‎ 试试：‎ ‎（1）U={2,3,4}，A={4,3}，B=，则= ，= ；‎ ‎（2）设U＝{x|x<8，且x∈N}，A＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则＝ ；‎ ‎（3）设集合，则= ；‎ ‎（4）设U＝{三角形}，A＝{锐角三角形}，则＝ .‎ 反思：‎ ‎（1）在解不等式时，一般把什么作为全集？在研究图形集合时，一般把什么作为全集？‎ ‎（2）Q的补集如何表示？意为什么？‎ ‎※ 典型例题 例1 设U＝{x|x<13，且x∈N}，A＝{8的正约数}，B＝{12的正约数}，求、.‎ 例2 设U=R，A＝{x|－1

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